Fsica para Universitrios Mecnica Wolfgang Bauer Gary D
Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias O que veremos neste capítulo: O movimento de objetos que se deslocam em linha reta, em uma dimensão. Os conceitos de posição, deslocamento e distância. Os vetores de posição, velocidade e aceleração de um objeto se deslocando em linha reta. Como computar a velocidade e a aceleração de objetos se deslocando em linha reta. A descrição matemática do movimento com aceleração constante. A queda livre sem a resistência do ar.
Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Posição Vetores de movimento unidimensional têm apenas uma componente, por hora a componente x x x 0 Use o símbolo x para denotar o vetor posição Nota: não colocamos setas em vetores 1 D Todos os vetores posição são medidos em relação à origem do sistema de coordenadas, que pode ser escolhida arbitrariamente O vetor x pode ser positivo ou negativo (seu módulo, no entanto, é sempre positivo) Exemplos de vetores posição 1 d adequados (unidades m do SI, + ou -) X(t) O vetor posição é uma função de tempo Notação do vetor posição dependendo do tempo: x(t) Notação: Vetor x em algum tempo específico t 1: x(t 1)=x 1 X(t 1) t 1 t
Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Representação gráfica Exemplo: Um carro se move por uma estrada (vista superior) Quando o carro passa pelo ponto azul, começamos a contar o tempo e a marcar sua posição em intervalos de tempo regulares XXXXXXXXXXX Caso 1: velocidade constante Caso 2: acelerando Caso 3: parando
Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Gráficos do vetor posição Podemos considerar somente a localização do centro do carro e obter um gráfico vetor posição x tempo Típico de movimento com velocidade constante
Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Deslocamento = diferença entre a posição final e a posição inicial, O deslocamento é um vetor, assim como a posição; ele pode ser negativo O deslocamento é independente da localização da origem do sistema de coordenadas (ao contrário da posição) O deslocamento de um ponto b para um ponto a é exatamente o negativo de ir do ponto a ao ponto b:
Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Distância No movimento unidimensional, a distância é o valor absoluto da componente x do vetor deslocamento Para o movimento em várias dimensões, calculamos o comprimento do vetor deslocamento conforme mostrado no Capítulo 1 A distância é sempre positiva (ou 0) Distância é uma escalar, deslocamento é um vetor
Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo: viagem de ida e volta (1) A distância entre Des Moines, Iowa e Iowa City é de 113, 5 milhas ou 182, 6 km Uma linha reta com uma boa aproximação Questão: Se fizermos uma viagem de Des Moines a Iowa City e de volta a Des Moines, qual a distância total e o deslocamento total desta viagem?
Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo: viagem de ida e volta (2) Resposta: Distância: distância total = soma da distância de Des Moines a Iowa City mais a distância de Iowa City a Des Moines. Cada distância é 182, 6 km => distância total da viagem de ida e volta é 2*182, 6 km, 365, 2 km. Deslocamento: Considere a origem do sistema de coordenadas como Des Moines (e importa onde a colocamos? ) => x. D= 0 km O vetor posição de Iowa City tem então o valor x. I=+182, 6 km. O vetor deslocamento para ir de Des Moines a Iowa City O vetor deslocamento para a viagem de volta O deslocamento total da viagem de ida e volta é a soma dos dois deslocamentos x
Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Vetor velocidade Velocidade média Deslocamento dividido pelo intervalo de tempo que ele levou para ocorrer Velocidade (instantânea) Obtida por meio de um limite à medida que o intervalo de tempo se aproxima de zero
Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Vetor aceleração Aceleração Média Mudança de velocidade dividida pelo intervalo de tempo Aceleração (instantânea) Obtida por meio de um limite à medida que o intervalo de tempo se aproxima de zero
Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Lembretes de cálculo (da matemática básica) Polinômios: Funções trigonométricas: Exponenciais, logaritmos: Regra do produto: Regra da cadeia:
Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo: velocidade (1) Durante o intervalo de tempo de 0 a 10 s, o vetor posição de um carro na estrada é dado por Questão: Qual é o seu vetor velocidade? Resposta: Tire a derivada
Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo: velocidade (2) Gráfico de e Nota: a posição é mínima quando a velocidade é zero! Esperado pelo cálculo
Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Velocidade escalar é o valor absoluto do vetor velocidade Velocidade é um vetor, velocidade escalar é o módulo Relação com a distância
Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo: percursos de natação (1) Suponha que uma nadadora termine os primeiros 50 m dos 100 m em nado livre em 38, 2 s. Assim que ela chega ao lado oposto da piscina de 50 m de comprimento, ela volta e nada até o ponto de partida em 42, 5 s. Questão: Qual a velocidade média e a velocidade escalar média da nadadora para a ida do início até o lado oposto da piscina, a volta e o percurso total?
Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo: percursos de natação (2) Resposta: Primeira parte: A nadadora começa em x = 0 e nada até x = 50 m. Ela leva 38, 2 s. Velocidade média Velocidade escalar média
Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo: percursos de natação (3) Segunda parte: A nadadora começa em x = 50 m e nada até x = 0 m. Ela leva 42, 5 s. Velocidade média Velocidade escalar média !
Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo: percursos de natação (4) Todo o percurso: A nadadora começa em x = 0 m, nada até x = 50 m, e nada de volta até 0. Ela leva 38, 2 s + 42, 5 s = 80, 7 s. Velocidade média: 0 Deslocamento é 0 Também podemos encontrar isso calculando a média ponderada pelo tempo Velocidade escalar média: use a distância =100 m e o tempo total (temos outra vez o mesmo resultado obtido através da média ponderada)
Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo: 100 m rasos Recorde mundial de Carl Lewis, no Campeonato Mundial de Atletismo de 1991 Ajuste: v =11, 58 m/s
Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Relações inversas Comece com a definição v=dx/dt e integre ambos os lados: É possível encontrar a posição, se sabemos a velocidade em função do tempo e a posição em t=0 Integração similar para obter a velocidade a partir da aceleração
Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Movimento linear com aceleração constante Do que se trata? Já vimos grande parte dos casos! Use a fórmula da integral e deixe a = constante: A velocidade é linear no tempo Integre a velocidade para encontrar o vetor posição: A posição é quadrática no tempo
Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Velocidade média Se a velocidade depende linearmente do tempo, qual a velocidade média no intervalo de t 0 a t? Resposta: Então, entre 0 e t: V(t)
Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Posição e velocidade média Comece com: e Obtemos: Agora multiplique ambos os lados por t e some x 0: Obtemos x(t) na integração:
Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Expressão para v 2 Resolva para o tempo e obtenha: Substitua este resultado na expressão da posição: Subtraia x 0 de ambos os lados e multiplique por a:
Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Expressão para v 2 (cont. ) Resultado:
Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Resumo: cinco equações cinemáticas Movimento unidimensional com aceleração constante: Resolvem praticamente qualquer problema unidimensional
Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo: decolagem de avião (1) Experimento: medir a aceleração durante a decolagem de um avião Resultado: Aceleração constante é uma boa aproximação a = 4, 3 m/s 2
Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo: decolagem de avião (2) Questão 1: Presumindo uma aceleração constante de a =4, 3 m/s 2, começando do repouso, qual é a velocidade de decolagem da aeronave alcançada depois dos 18 s? Resposta 1: A aeronave acelera de um ponto de partida parado: velocidade inicial é igual a 0
Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo: decolagem de avião (3) Questão 2: Que distância o avião percorreu até a decolagem? Resposta 2: A pista principal no aeroporto de Lansing tem 7500 pés
Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Vetores de posição, velocidade e aceleração Relacionados por derivadas e integrais
Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Resumo: cinco equações cinemáticas Movimento unidimensional com aceleração constante: Resolvem praticamente qualquer problema unidimensional
Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo: corrida de dragster (1)
Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo: corrida de dragster (2) Acelerando a partir do repouso, um carro de corrida de dragster pode atingir 333, 2 milhas por hora (= 148, 9 m/s), um recorde estabelecido em 2003, no final de um quarto de milha (= 402, 3 m). Para este exemplo, vamos considerar aceleração constante. Questão 1: Qual é o valor da aceleração? Resposta 1: Neste caso, é conveniente usar e solucionar a aceleração
Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo: corrida de dragster (3) Questão 2: Quanto tempo leva para que o carro de corrida complete um quarto de milha do ponto de partida? Resposta 2: Como a velocidade final é de 148, 9 m/s, a velocidade média é Agora podemos usar A resposta verdadeira, medida na pista é t 4, 5 s A pressuposição de aceleração constante não está correta
Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Queda livre Movimento particular com aceleração constante em 1 d a = -g, com g = 9, 81 m/s 2 Notação de convenção: chamamos o eixo vertical de y Equações cinemáticas para este caso Use estas para aceleração constante: x a y -g y x
Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Estudando a queda livre com um computador Podemos estudar a queda livre usando um computador (física computacional) No filme à direita, usamos um computador para estudar a queda livre Jogamos um computador a partir do repouso de uma altura de 12, 7 m O computador cai em queda livre
Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Estudando a queda livre com um computador (2) Digitalizamos os quadros (30 quadros por segundo) A curva amarela foi desenhada usando a equação
Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Considerações sobre a queda livre Todos os objetos caem com a mesma velocidade, porque a=-g = constante É preciso eliminar a resistência d o ar para observar isto Experimento => cálculo de g David Scott, Comandante do Apollo 15, Agosto de 1971 No espaço, praticamente não há gravidade Por que todos os objetos flutuam? Sem força total: velocidade constante independente da massa
Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Bola atirada verticalmente (1) Uma bola é jogada verticalmente para cima com velocidade inicial de 27, 0 m/s. Questão 1: Desprezando a resistência do ar, por quanto tempo a bola fica no ar? Resposta 1: Ainda que inicialmente a bola esteja subindo, este é um caso de queda livre!
Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Bola atirada verticalmente (2) Questão 2: Qual a altura máxima atingida pela bola? Resposta 2: O que caracteriza o ponto de altura máxima?
Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Bola atirada verticalmente (3) Questão 3: Na verdade, a bola bateu em um pássaro em sua trajetória ascendente quando tinha metade de sua velocidade inicial. Em que altura isto ocorreu? Resposta 3: Já queremos relacionar informações sobre velocidade e altura, usemos a última equação cinemática: Poderíamos ter usado:
Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Vetores de velocidade e aceleração A resposta do último questionário pode ser entendida a partir deste desenho
Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Aquathlon (1) O Aquathlon consiste em duas partes, uma prova de natação (distância b) seguida de uma corrida (distância a). O atleta nada com velocidade escalar e corre com velocidade escalar Questão: Que ângulo resultará no menor tempo de chegada? Resposta: 1) A linha vermelha pontilhada marca a menor distância entre o ponto de partida e a linha de chegada.
Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Aquathlon (2) Tempo correspondente 2) Nadar direto para a margem e depois correr 3) Trajeto arbitrário entre os dois extremos: caracterizado por Nadar a distância de O tempo total é e correr a distância de
Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Aquathlon (2)
Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Aquathlon (3) Para encontrar o tempo mínimo, obtemos a derivada de t( ) referente a (primeira parte) (segunda parte) Agora encontramos o ângulo O resultado do melhor trajeto não depende das distâncias a e b m em que a derivada é zerada Divirta-se com cálculo! Mas sim da razão entre as velocidades escalares na água v 1 e em terra v 2
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