Fsica para Universitrios Mecnica Wolfgang Bauer Gary D

Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Movimento em uma dimensão Primeiro caso (capítulo anterior): movimento linear simples Caso especial 1: movimento com aceleração 0 Caso especial 2: movimento com aceleração constante 2 a: queda livre com a=-g Outros casos para mais tarde: 1) Movimento circular Movimento em um plano bidimensional Movimento 2 D redutível a movimento 1 D a partir da introdução de um novo conjunto de coordenadas ao plano (coordenadas polares) 2) Oscilações de um objeto ligado a uma mola Movimento devido à força que é proporcional ao deslocamento = "Força restauradora"

Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Sistema de coordenadas Em geral, usamos um sistema de coordenadas Cartesianas tridimensional, com os eixos x, y e z O sistema de coordenadas deve ser Ortogonal: ângulos de 90º entre cada par de eixos Destro

Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Trabalhando componentes Vetor posição Vetor velocidade Vetor aceleração

Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Velocidade e aceleração em um plano Uma diferença marcante entre velocidade ao longo de uma linha e velocidade em duas ou mais dimensões é que ela pode mudar de orientação e de módulo. Qualquer mudança na velocidade gera aceleração, mesmo que o módulo da velocidade não se altere

Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Movimento de projéteis Movimento 3 D especial: a projeção horizontal (no plano xy) é uma linha reta <=> movimento em um plano Podemos atribuir um novo sistema de coordenadas de forma que o eixo x deste sistema de coordenadas seja uma projeção horizontal da trajetória do eixo y, apontando diretamente para cima Movimento 3 D efetivamente reduzido a 2 D Exemplo: a gravidade é a única força, agindo na direção do eixo z

Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Bola quicando Fotografia com luz estroboscópica mostra a trajetória de uma bola no ar

Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Movimento de projéteis 2 Vetor posição Vetor velocidade Vetor aceleração Dois tipos de movimento diferentes em duas direções: Queda livre na direção vertical (eixo y) Movimento com velocidade constante (= aceleração zero) na direção horizontal (eixo x)

Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Movimento ideal de projéteis "Ideal" refere-se à ausência de qualquer resistência do vento ou outros efeitos de resistência. Única força atuando: gravidade Foto / ilustração: Chris Hill arremessando um lance livre durante o "Basket. Bowl", em 2003

Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Independência de movimento xy No movimento ideal de projéteis, o movimento nas componentes x e y independem entre si Isto não é uma afirmação trivial É preciso ser mostrada através de um experimento Caso contrário, nossa descrição matemática precisará ser modificada Só é verdade para o movimento ideal de projéteis se desprezamos a resistência do ar Com a resistência do ar, a força de resistência é proporcional a v 2, o que faz com que o movimento nas direções x e y dependa um do outro.

Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Equações para o movimento ideal de projéteis Aceleração(a ser futuramente explicada) Aceleração ao longo de cada eixo: Movimento horizontal: velocidade constante Movimento vertical: queda livre Use a notação convencional:

Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Trajetória de voo Vamos descrever a forma da trajetória no plano xy Procedimento: resolva a equação Agora acrescente isto ao y(t): y = f(x 2, x 1, x 0) => a forma da função é uma parábola para o tempo:

Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Trajetória de voo (2) Simplifique: mova a origem para que x 0=0 Inclua Resultado:

Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Trajetória de voo (3) Confirmação visual Chafariz no terminal do Aeroporto Metropolitano de Detroit Wayne County (DTW)

Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias v(t) Olhe para as componentes de x e y separadamente A componente horizontal da velocidade permanece constante no tempo -> linha horizontal A componente vertical cai com o v(t) tempo, com declividade -g vy 0 Nota: se a velocidade vertical inicia positiva, ela vai atingir vx 0 um ponto em que será 0. t = vy 0/g vx(t) De cli vy(t) vid a t de = -g

Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias v(t) e trajetória Sobreponha imagens dos vetores velocidade em uma trajetória com diferentes tempos Setas verdes: Setas vermelhas: componente horizontal de v componente vertical de v Setas azuis: vetor velocidade Importante: o vetor velocidade forma uma tangente em cada ponto da trajetória Nota: no ápice da trajetória, vy troca de sinal

Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Análise do movimento de projéteis No filme abaixo, lançamos uma bola e observamos sua trajetória no que diz respeito ao sistema de coordenadas xy em cm y (cm) x (cm)

Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Análise do movimento de projéteis (2) Verificamos a posição da bola em cada quadro e fazemos um gráfico com os resultados Quadro 1 t=0 s Quadro 7 t = 0, 2 s Quadro 14 t = 0, 47 s Quadro 21 t = 0, 67 s

Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Análise do movimento de projéteis (2) Podemos calcular a velocidade como uma função de tempo

Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Dependências em relação à velocidade (1) Qual a dependência do módulo do vetor velocidade sobre o tempo e as coordenadas? Dependência das coordenadas: Módulo do vetor velocidade:

Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Dependências em relação à velocidade (2) Use o resultado e insira a dependência em relação à coordenada y sobre o tempo, Resultado:

Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Altura máxima e trajetória Ponto de partida: trajetória Obtenha a derivada de y referente a x: Encontre a raiz da derivada para determinar o ponto de máximo e mínimo:

Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Altura máxima e trajetória Ponto de partida: trajetória Obtenha a derivada de y referente a x: Encontre a raiz da derivada para determinar o ponto de máximo e mínimo:

Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Altura máxima e trajetória (2) Resultado: Nos convença de que a 2 a derivada é menor do que 0: x. H é mesmo o ponto onde a altura máxima é atingida

Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Altura máxima e trajetória (3) Questão: Qual é a altura máxima? Resposta: Visto que , finalmente encontramos:

Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Ilustração Represente a altura máxima H como função do ângulo de lançamento (para uma dada v 0)

Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Alcance O alcance, R, de um projétil é definido como a distância horizontal entre o ponto de lançamento e o ponto onde o projétil atinge a mesma altura de onde começou, y(R)=y 0:

Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Alcance O alcance, R, de um projétil é definido como a distância horizontal entre o ponto de lançamento e o ponto onde o projétil atinge a mesma altura de onde começou, y(R)=y 0:

Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Alcance máximo Em qual ângulo o alcance máximo é atingido (para uma dada v 0)? Obtenha a derivada de R referente ao ângulo: É 0 quando Ou seja, o lançamento deve ser a 45 graus Sendo assim, o alcance máximo de um projétil ideal é:

Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Ilustração Represente o alcance como uma função do ângulo de lançamento

Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo: arremesso no beisebol “Frozen rope” = expressão usada para descrever um arremesso especialmente forte da segunda ou terceira base para a primeira Questão: Sabemos que não é possível arremessar uma bola em linha reta, mas sim seguindo uma parábola; qual o desvio da trajetória com relação a uma linha reta? Resposta: Considere o arremesso a 90 mph = 40, 2 m/s Distância da segunda base para a primeira = 27, 4 m = d 12 Fórmula do alcance (em que R = d 13)

Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo: arremesso no beisebol (2) Agora use este ângulo para obter a altura: Aqui nós consideramos a altura de 6 pés = 1, 83 m da qual a bola é arremessada. O meio da trajetória é em 57 cm de altura (~ 2 pés) O arremesso da terceira base para a primeira tem a mesma velocidade: ângulo de lançamento 6, 81° e altura máxima 1, 16 m (~ 4 pés) acima do ponto em que a bola foi arremessada.

Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo: rebatendo no beisebol Questão: Se a bola é rebatida com um ângulo de lançamento de 35° e velocidade escalar inicial de 110 mph, que distância a bola percorrerá? Quanto tempo ela ficará no ar? Qual será sua velocidade escalar no pico da trajetória? Qual será sua velocidade escalar quando aterrissar? Resposta: (por ora, despreze a resistência do ar; voltaremos a ela mais tarde) Converta em unidades do SI: v 0 =110 mph = 49, 2 m/s Alcance: Tempo no ar:

Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo: rebatendo no beisebol (2) Resposta (cont. ): No pico da trajetória, a velocidade tem somente sua componente horizontal: A velocidade escalar é a mesma na aterrissagem e no lançamento, aqui de 49, 2 m/s Lembre-se de que, em geral E já que y=y 0 quando a bola aterrisa, obtemos v=v 0.

Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias “Atire” no macaco Onde é preciso mirar, se quisermos acertar um macaco, considerando que ele soltará o galho que está segurando assim que ouvir o som do disparo da arma?

Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo: atire no macaco O macaco soltou-se de uma altura de 2, 5 m, a bola foi lançada de uma altura de 1 m. A distância entre o arremessador e o macaco é de 4 m. Questão: Se a bola é lançada com uma velocidade escalar inicial de 8 m/s, em que altura o macaco será atingido? 4 m 1 m 2, 5 m

Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo: atire no macaco (2) Resposta: Primeiro, calculamos quanto tempo a bola leva para chegar até o macaco. Eles estão a 4 m de distância, e a bola se move a 8 m/s => leva 0, 5 s para a bola encontrar o macaco (o fato de ambos estarem em queda livre no dado instante é irrelevante!) Em segundo, podemos usar para a posição do macaco em queda. 4 m Obtemos: y = 2, 5 m-9, 81· 0, 52/2 m = 1, 27 m 1 m 2, 5 m

Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Movimento realista de projéteis No que diz respeito ao movimento ideal de projéteis, bolas de praia e de beisebol tem a mesma trajetória Resistência do ar: força de resistência, proporcional a v 2 Leva a curvas balísticas Exemplo: bolas de beisebol lançadas com 35º e 90 ou 110 mph

Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Movimento realista de projéteis (2) Rotação do projétil A rotação de uma bola de futebol americano contribui para a sua estabilidade No tênis, o topspin (efeito que se dá à bola ao atingi-la de baixo para cima) faz com que a bola caia mas rápido, e o backspin (efeito que causa rotação da bola para trás) faz com que a bola caia mais devagar do que o esperado pelo movimento ideal de projéteis A propósito: a “bola rápida ascendente” não ascende de verdade; ela é, no entanto, arremessada com bastante backspin e cai mais devagar do que o esperado Slide anterior: as curvas foram calculadas com um valor inicial de backspin realista de 2. 000 rpm O sidespin (efeito dado na lateral da bola) causa slices e hooks no golf e bolas curvas no beisebol Causa de mudanças de trajetória devido à rotação: moléculas de ar se deslocando de maneira diferente na superfície do projétil em rotação

Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo: problema da moeda (1) Primeira parte: movimento em linha reta com aceleração constante (eixo x = plano inclinado) Adquire velocidade ao longo do plano Segunda parte: movimento ideal de projéteis

Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo: problema da moeda (2) Movimento em linha reta

Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo: problema da moeda (3) Movimento ideal de projéteis (positivo) valor de x-x 0 tal que y(x) = 0? => Equação quadrática de x para resolver

Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Referenciais em movimento Até então: movemos a origem do sistema de coordenadas para uma localização conveniente para os cálculos Exemplo: mudar x 0 para que x 0 = 0 no ponto de partida da trajetória de um projétil Até agora sempre mantivemos o sistema de coordenadas na mesma localização durante o movimento queremos descrever. Mas existem algumas situações nas quais um sistema de coordenadas em movimento é necessário Exemplo: Um avião aterrissando sobre um porta-aviões em movimento

Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo: esteira rolante de aeroportos Uma pessoa andando a uma velocidade move-se junto na esteira rolante A superfície da esteira se move com em relação ao terminal. As duas velocidades se somam como vetores Velocidade de uma pessoa medida por alguém parado no terminal: , medida por um observador que

Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Referenciais em movimento Exige que o referencial (=sistema de coordenadas) mova-se com velocidade constante em relação ao sistema de coordenadas que está em repouso Então as acelerações medidas em ambos os referenciais são a mesma Exemplo da esteira rolante de aeroportos novamente Se De obtemos:

Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Três dimensões Dois sistemas de coordenadas x, y, z e x’, y’, z’ que tem seus eixos paralelos e que se encontram em t=0 A origem de x’, y’, z’ move-se com velocidade constante em relação a x, y, z Após um tempo t, a origem de x’, y’, z’ está localizada no A adição dos vetores nos dá a transformação entre os referenciais

Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Três dimensões (2) Velocidades: Acelerações:

Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Aeronave em um vento transversal Uma aeronave se move com uma velocidade escalar de 160 m/s no sentido nordeste. O vento está soprando a 32, 0 m/s no sentido oeste

Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Aeronave em um vento transversal (2) Uma aeronave se move com uma velocidade escalar de 160 m/s no sentido nordeste. O vento está soprando a 32, 0 m/s no sentido oeste Questão: Qual é o vetor velocidade – velocidade escalar e orientação – da aeronave em relação ao solo? Resposta: Em um sistema de coordenadas que se move com o vento, a aeronave tem as componentes de velocidade: Componentes de velocidade do vento:

Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Aeronave em um vento transversal (3) Some-as para encontrar a velocidade da aeronave em relação ao solo: Sentido e módulo absolutos: (comparado com 160 m/s e 45°, uma redução de 21 m/s e um desvio de 9. 4° do curso original)

Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Aeronave em um vento transversal (4) Questão: Qual o desvio de curso devido ao vento considerando que o avião voe por duas horas? Resposta: Jeito mais fácil: perceba que o desvio de curso se dá devido à velocidade do vento (no sentido oeste) vezes 7. 200 s:

Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Dirigindo na chuva Quando se dirige na chuva, é possível perceber que a chuva quase sempre vem na nossa direção. Por quê? Mais uma vez, isto é consequência dos referenciais em movimento. Visão de um observador parado na rua Visão de dentro do carro -vcarro é a velocidade do referencial

Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Exemplo: dirigindo na chuva Está chovendo e não há vento. Gotas de chuva de 0, 8 polegadas de diâmetro (típicas) estão caindo com uma velocidade terminal de 14 mph (6, 26 m/s) Um carro está dirigindo na chuva (a direção não importa!) a uma velocidade de 25 mph (11, 2 m/s). Com qual ângulo em relação à horizontal a chuva bate no carro?

Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Projéteis em referenciais em movimento Tiro com arco: com o alvo a 25 m de distância, atire uma flecha com velocidade inicial de 90 m/s, na direção horizontal, mirada exatamente no centro do alvo. O alvo move-se a 3 m/s da esquerda para a direita. Questão: Onde a flecha acerta?

Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Projéteis em referenciais em movimento (2) Resposta: Leva t = 25 m/(90 m/s) = 0, 28 s para a flehca chegar até o alvo A flecha cai 0, 5· 9, 81· 0, 282 m = 0, 38 m O movimento do alvo é um referencial em movimento => desvio lateral da flecha de vt = 3 m/s 0, 28 s = 0, 83 m Mire aqui!

Física para Universitários: Mecânica – Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall & Helio Dias Travessia de balsa O capitão de uma balsa quer viajar diretamente através de um rio que flui para leste com uma velocidade escalar de 1, 07 m/s. Ele começa na margem sul do rio e quer chegar até a margem norte viajando em linha reta. O barco tem velocidade escalar de 6, 34 m/s referente à água. Para qual direção, em graus, o capitão deve guiar o barco? Note que a 90º está o leste, a 180º está o sul, a 270º está o oeste, e a 360º está o norte.