FSICA EXPERIMENTAL I Jos Fernando Fragalli Departamento de

FÍSICA EXPERIMENTAL I José Fernando Fragalli Departamento de Física – Udesc/Joinville TEORIA DE ERROS “ A Ciência está escrita neste grande livro colocado sempre diante dos nossos olhos – o Universo – mas não podemos lê-lo sem aprender a linguagem e entender os símbolos em termos dos quais está escrito. Este livro está escrito na linguagem matemática” – Galileu Galilei Física Experimental I – Teoria de Erros

TEORIA DE ERROS 1. Introdução 2. Classificação dos Erros 3. Medidas Experimentais 4. Propagação de Erros Física Experimental I – Teoria de Erros

TEORIA DE ERROS 1. INTRODUÇÃO Objetivo das medidas experimentais O objetivo da imensa maioria dos experimentos que são executados é fazer um estudo quantitativo das propriedades do sistema observado. Esse estudo é realizado através de inúmeras medições das grandezas físicas de interesse do experimentador. Exemplo de um laboratório experimental Física Experimental I – Teoria de Erros 3

TEORIA DE ERROS 1. INTRODUÇÃO O uso de aparelhos de medida Neste processo são utilizados aparelhos de medida adequados e, posteriormente, os dados obtidos são tratados e analisados. Os instrumentos de medida podem ter diferentes graus de precisão, mas, por mais preciso que qualquer instrumento seja, os dados experimentais sempre contém erros. Exemplo de um paquímetro Exemplo de um micrômetro Física Experimental I – Teoria de Erros 4

TEORIA DE ERROS 1. INTRODUÇÃO A importância do erro em medidas Considerar simplesmente um número como medida (direta ou indireta) de uma grandeza, sem avaliar o erro de que foi afetada esta medida, não tem muito significado. É necessário, portanto, avaliar o erro que certamente existe, associado ao resultado da medição. Escalas de um paquímetro Medida com paquímetro e nônio Física Experimental I – Teoria de Erros 5

TEORIA DE ERROS 1. INTRODUÇÃO Fatores que influenciam os erros de medida A tarefa de determinação do erro em uma grandeza medida não é simples, porque o ato de medir é sempre acompanhado da interferência dos mais diversos fatores. Esses fatores influenciam com intensidade o resultado da medida. Erro no equipamento levando a uma medida errada maior ou menor Erros de paralaxe levando a uma medida errada no tamanho do lápis Física Experimental I – Teoria de Erros 6

TEORIA DE ERROS 1. INTRODUÇÃO Medida exata. . esta desconhecida Sejam quais forem os tipos de experimentos, na sua grande maioria, é impossível analisar ou indicar todos os fatores que tem influência no resultado da medida. Isto faz com que o valor real do erro na grandeza medida permaneça desconhecido. Medida exata, esta desconhecida Erro de zeragem influenciando o erro experimental Física Experimental I – Teoria de Erros 7

TEORIA DE ERROS 1. INTRODUÇÃO Cercar as fontes de erro, o desafio no laboratório Como consequência, a teoria de erros limita-se a estimar o erro máximo de que a medida pode ser acometida. O grau de certeza desta estimativa do erro depende, entre outras coisas, da quantidade de fatores que se levam em conta, e que têm influência no resultado das medidas. Medida do diâmetro de um anel feita com um paquímetro Comprar o pãozinho também é uma forma de medir Física Experimental I – Teoria de Erros 8

TEORIA DE ERROS 1. INTRODUÇÃO A estatística matemática Atualmente, qualquer experimentador que faça medições não pode deixar de aplicar os métodos matemáticos de tratamento dos dados experimentais. Deve-se, no entanto, aceitar que a estatística matemática não é perfeita. A definição de média Estatística nos negócios Física Experimental I – Teoria de Erros 9

TEORIA DE ERROS 1. INTRODUÇÃO A arte de mentir com números. . será? Daí o fato de que, até agora, não existem recomendações universalmente aceitas, com respeito à representação de resultados de investigações experimentais. As normas que a seguir são apresentadas, apesar de não serem únicas, deverão ser seguidas nesta disciplina. Para que serve a estatística. . . Física Experimental I – Teoria de Erros 10

TEORIA DE ERROS 1. Introdução 2. Classificação dos Erros 3. Medidas Experimentais 4. Propagação de Erros Física Experimental I – Teoria de Erros

TEORIA DE ERROS 2. CLASSIFICAÇÃO DOS ERROS Generalidades sobre os erros Não existem, e nem poderiam existir, instrumentos que permitam medir uma grandeza física sem erro algum. Além desse erro, que é inerente ao aparelho, quando se realiza uma medida cometem-se outros tipos de erros. Não se deve, no entanto, confundir erro com engano, também chamado erro grosseiro, pois este aparece devido à falta de habilidade do experimentador, e é perfeitamente evitável. Deve-se interpretar o termo ERROS, então, como representativo daqueles erros que são inevitáveis. Física Experimental I – Teoria de Erros 12

TEORIA DE ERROS 2. CLASSIFICAÇÃO DOS ERROS Definições Como vimos, todas as medidas que realizamos trazem consigo um erro associado ou ao instrumento de medida ou ao processo de medição, ou a ambos. Neste sentido, os erros podem ser divididos em três categorias: a) erros de escala; b) erros sistemáticos; c) erros aleatórios. Física Experimental I – Teoria de Erros 13

TEORIA DE ERROS 2. CLASSIFICAÇÃO DOS ERROS Erros de escala ( x. ESC): ocorrem sempre, e estão associados aos instrumentos de medida utilizados no processo de medição. Logo, erro de escala é aquele devido ao limite de precisão do instrumento de medida. Para todos os efeitos, em um instrumento analógico vamos considerar esse erro como sendo igual à metade da menor divisão da escala de medida. Já para um instrumento digital esse erro é, em geral, uma percentagem da medida obtida. Física Experimental I – Teoria de Erros 14

TEORIA DE ERROS 2. CLASSIFICAÇÃO DOS ERROS Erros de escala: um exemplo Por exemplo, em uma régua centimetrada, a menor divisão da escala é 1 cm. Assim, o erro de escala de uma régua centimetrada é igual a 0, 5 cm. Qual é o valor da medida do comprimento L da haste azul da figura ao lado? Régua centimetrada L = (7, 4 0, 5) cm Física Experimental I – Teoria de Erros 15

TEORIA DE ERROS 2. CLASSIFICAÇÃO DOS ERROS Erros de escala: outro exemplo Seja agora uma régua milimetrada, a menor divisão da escala é 1 mm. Assim, o erro de escala de uma régua milimetrada é igual a 0, 5 mm. Régua milimetrada Qual é o valor da medida do comprimento L da haste cinza da figura ao lado? L = (83, 6 0, 5) mm Física Experimental I – Teoria de Erros 16

TEORIA DE ERROS 2. CLASSIFICAÇÃO DOS ERROS Erro sistemático Erros sistemáticos ( x. SIS): ocorrem quando todos os valores medidos são muito maiores ou muito menores do que o valor real esperado. No caso dos erros de escala, eles perturba todas as medidas sempre da mesma forma, fazendo com que os valores obtidos se afastem do valor provável em um sentido definido, sempre para mais ou sempre para menos. Como o erro sistemático segue um certo comportamento padrão, é possível descobrir sua origem e eliminá-lo. Em geral, os erros sistemáticos estão associados a equipamentos mal aferidos e/ou com defeitos. Física Experimental I – Teoria de Erros 17

TEORIA DE ERROS 2. CLASSIFICAÇÃO DOS ERROS Erro aleatório Erros aleatórios ( x. ALE): ocorrem totalmente ao acaso, portanto, sem qualquer sentido ou previsibilidade. Esse erro é o resultado da soma de pequenas perturbações que são inevitáveis, tais como vibrações, calor, campos externos, oxidações, e outros fatores fora do controle do experimentador e, na maioria das vezes, sem o seu conhecimento. Esses erros são impossíveis de evitar, o que significa que temos que conviver com eles e aprender a tratá-los da maneira adequada. Física Experimental I – Teoria de Erros 18

TEORIA DE ERROS 2. CLASSIFICAÇÃO DOS ERROS Como minimizar os diferentes tipos de erros Em relação aos erros de escala ( x. ESC), eles são inerentes ao processo de medição e, portanto sempre devem ser considerados. Em relação aos erros sistemáticos ( x. SIS), a única alternativa para resolver a sua existência é identificar o que os causou e refazer as medidas experimentais já realizadas. Já em relação ao erro aleatório ( x. ALE), estes devem ser tratados com técnicas estatísticas. Isto significa repetir N vezes uma medida em idênticas condições, calcular a média e os respectivos desvios destas medidas. Física Experimental I – Teoria de Erros 19

TEORIA DE ERROS 2. CLASSIFICAÇÃO DOS ERROS Como expressar o erro Como vimos, a medida de uma grandeza sempre deve conter o valor do erro associado a ela. G = (M M) U G Grandeza M Medida ΔM Erro da medida U Unidade Como os erros sistemáticos implicam na repetição do processo de medida, a expressão do erro de uma medida deve levar em conta apenas os erros aleatórios e de escala. Física Experimental I – Teoria de Erros 20

TEORIA DE ERROS 1. Introdução 2. Classificação dos Erros 3. Medidas Experimentais 4. Propagação de Erros Física Experimental I – Teoria de Erros

TEORIA DE ERROS 3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS O tratamento dos erros aleatórios Considere que, durante a realização de uma série de medidas, as seguintes condições são observadas: a) não ocorreram erros grosseiros; b) os erros sistemáticos também não existem; c) os erros de escala são de ordem inferior aos erros aleatórios, d) todas as fontes de erro contribuíram para aumentar ou diminuir, aleatoriamente, a medida realizada. Neste caso o experimentador é obrigado a avaliar erro aleatório, e incluí-lo nos dados obtidos no experimento. Física Experimental I – Teoria de Erros 22

TEORIA DE ERROS 3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS Como minimizar os diferentes tipos de erros Vamos introduzir uma sequência matemática baseada no procedimento estatístico usualmente indicado para o tratamento de medidas experimentais. Esta sequência deverá ser seguida para informar o resultado final quando a mesma medida é obtida após a repetição do procedimento nas mesmas condições experimentais. Nestes casos, expressamos o valor por meio de dados que representam significativamente a grandeza física e têm a propriedade de transmitir uma informação compreensível para outras pessoas: a média, o desvio da medida, etc. Física Experimental I – Teoria de Erros 23

TEORIA DE ERROS 3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS Valor médio de uma medida Assim, uma forma de minimizar o erro aleatório é repetir N vezes o procedimento de medição. Quando isto é feito o resultado da medida é apresentado em termos do valor mais provável (valor médio) e dos desvios (desvio médio e desvio padrão). Definimos então o valor mais provável de uma grandeza (valor médio) como a média aritmética de N medidas realizadas com a mesma confiabilidade, cuja fórmula é apresentada ao lado. Física Experimental I – Teoria de Erros 24

TEORIA DE ERROS 3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS Valor verdadeiro de uma medida É possível mostrar que para um número infinito de medidas a média aritmética é o valor verdadeiro da medida. Mas, como na prática, realiza-se apenas um número N limitado de medidas, obtém-se assim apenas uma estimativa do valor verdadeiro e não um valor definitivo. Portanto, é usual chamar-se a média aritmética das N medidas de valor mais provável da grandeza. Física Experimental I – Teoria de Erros 25

TEORIA DE ERROS 3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS Erro aleatório Para um número infinito de medidas ocorre a anulação do erro randômico, pois a sua natureza aleatória faz com que o desvio seja ora para mais, ora para menos. Na prática é impossível fazer-se um número infinito de medidas, de maneira que a média corresponde ao valor mais provável da grandeza, e o erro aleatório não se anula. Deve-se, portanto, calcular este erro aleatório, e para isto existem vários procedimentos possíveis, os quais os principais serão descritos a seguir. Física Experimental I – Teoria de Erros 26

TEORIA DE ERROS 3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS Desvios A partir da definição de valor médio, definimos os conceitos de desvio de uma medida e seu desvio absoluto. Desvio de uma medida é a diferença entre o valor obtido na iésima medida e o valor médio grandeza, cuja fórmula é apresentada ao lado. Como o valor da medida pode estar abaixo ou acima do valor médio do conjunto de medidas, o desvio xi pode ser tanto negativo quanto positivo. Física Experimental I – Teoria de Erros 27

TEORIA DE ERROS 3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS Desvio absoluto É possível mostrar que a soma de todos os desvios é igual a zero, como mostra a equação ao lado. Por esta razão, a informação do desvio pura e simplesmente não é muito útil quando fazemos o tratamento estatístico de dados. Assim, define-se o desvio absoluto de uma medida como sendo o módulo do seu desvio, cuja equação é mostrada ao lado. Física Experimental I – Teoria de Erros 28

TEORIA DE ERROS 3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS Desvio médio Com a definição de desvio absoluto, passa-se à definição de desvio médio. Desvio médio de uma medida é a média aritmética dos desvios absolutos, e é expresso na fórmula mostrada ao lado. Com a definição de desvio médio indica-se o resultado de N medidas de mesma confiabilidade como expresso na equação mostrada ao lado. Física Experimental I – Teoria de Erros 29

TEORIA DE ERROS 3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS Desvio padrão Pode-se perguntar o quanto é boa a estimativa dada pelo valor médio da medida, ou seja, com que precisão este valor médio é uma estimativa do valor verdadeiro da medida. A definição da grandeza chamada desvio padrão contribui para essa interpretação, pois dá ideia da dispersão das medidas em torno do valor médio. O desvio padrão de um conjunto de N medidas de uma grandeza é dado pela equação ao lado. Física Experimental I – Teoria de Erros 30

TEORIA DE ERROS 3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS O significado do desvio padrão A definição de desvio padrão informa a incerteza com que um dado conjunto de medidas é realizado, e não a média. O desvio padrão informa indiretamente sobre a precisão do instrumento de medida e o rigor com que o processo de medição é executado. De certo modo, o desvio padrão fornece uma estimativa sobre a confiabilidade do valor médio do conjunto das N medidas realizadas. Física Experimental I – Teoria de Erros 31

TEORIA DE ERROS 3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS Desvio padrão e erro aleatório Assim, na apresentação do resultado de um conjunto de N medidas de uma dada grandeza, deve-se informar a precisão atribuída ao valor verdadeiro calculado a partir do desvio padrão destas medidas de igual confiabilidade. Como o desvio padrão está associado à dispersão dos valores obtidos, dá-se preferência a ele como expressão do erro aleatório. Física Experimental I – Teoria de Erros 32

TEORIA DE ERROS 3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS Exemplo Considere que a medição do comprimento L de objetos idênticos, realizada com o auxílio de uma régua centimetrada, forneceu as leituras mostradas abaixo. Física Experimental I – Teoria de Erros 33

TEORIA DE ERROS 3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS Cálculo com a ajuda de planilha Vamos aplicar as definições feitas acima e determinar as grandezas estatísticas abaixo. a) o valor médio do comprimento do objeto; b) os desvios de cada medida em relação ao valor médio; c) os desvios absolutos de cada medida em relação ao valor médio; d) o desvio médio destas medidas; e) o desvio padrão destas medidas. Física Experimental I – Teoria de Erros 34

TEORIA DE ERROS 3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS Cálculo do valor médio a) O cálculo do valor médio do comprimento do objeto. N = 50 A partir da tabela calculamos o valor da soma contida na equação acima. Observe que ao obter este resultado, nós obedecemos o critério de arredondamento de uma soma, arredondando até a primeira casa decimal. Física Experimental I – Teoria de Erros 35

TEORIA DE ERROS 3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS Ainda o cálculo do valor médio a) O cálculo do valor médio do comprimento do objeto. Calculemos então o valor médio dos comprimentos. Este resultado não é correto! Observe que o resultado acima mostra que medimos o comprimento dos objetos com uma precisão de centésimos de centímetros, quando na verdade estamos usando apenas uma régua centimetrada. Física Experimental I – Teoria de Erros 36

TEORIA DE ERROS 3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS O valor médio expresso de forma correta a) O cálculo do valor médio do comprimento do objeto. O valor médio a ser apresentado corretamente tem que levar em conta a acurácia do equipamento de medida. No caso em questão, como o experimentador usou uma régua centimetrada, a acurácia da medida não pode ser superior a décimos de centímetro. Física Experimental I – Teoria de Erros 37

TEORIA DE ERROS 3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS Cálculo dos desvios b) Cálculo dos desvios de cada medida em relação ao valor médio e de sua soma. A partir da tabela calculamos o valor de cada item Li, usando a equação ao lado e o valor médio dos comprimentos, calculado anteriormente. Podemos calcular também a soma de todos estes desvios. Física Experimental I – Teoria de Erros 38

TEORIA DE ERROS 3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS Soma dos desvios é nula (ou desprezível) b) O cálculo dos desvios de cada medida em relação ao valor médio e de sua soma. A partir deste resultado, podemos calcular o valor médio dos desvios. Esta informação não contém qualquer utilidade, pois o objetivo destes cálculos estatísticos é estimar o erro máximo, que nunca pode ser igual a zero. Física Experimental I – Teoria de Erros 39

TEORIA DE ERROS 3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS Cálculo dos desvios absolutos c) O cálculo dos desvios absolutos de cada medida em relação ao valor médio e de sua soma. A partir da tabela calculamos o valor de cada módulo de Li, usando a equação ao lado e o valor médio dos comprimentos, calculado anteriormente. Podemos calcular também a soma do módulo de todos estes desvios. Física Experimental I – Teoria de Erros 40

TEORIA DE ERROS 3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS Cálculo do desvio médio d) O cálculo do desvio médio destas medidas. A partir deste resultado, podemos calcular o valor do desvio médio destas medidas. N = 50 Calculamos o valor do desvio médio a partir do valor da soma dos módulos desvios calculados acima. Física Experimental I – Teoria de Erros 41

TEORIA DE ERROS 3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS O desvio médio expresso de forma incorreta d) O cálculo do desvio médio destas medidas. Este resultado não é correto! Observe novamente aqui que o resultado acima mostra que medimos o comprimento dos objetos com uma precisão de milésimos de centímetros, quando na verdade estamos usando apenas uma régua centimetrada. Também o desvio médio a ser apresentado corretamente tem que levar em conta a acurácia do equipamento de medida. Física Experimental I – Teoria de Erros 42

TEORIA DE ERROS 3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS O desvio médio expresso de forma correta d) O cálculo do desvio médio destas medidas. O desvio médio a ser apresentado corretamente tem que levar em conta a acurácia do equipamento de medida. No caso em questão, como o experimentador usou uma régua centimetrada, a acurácia da medida não pode ser superior a décimos de centímetro. Física Experimental I – Teoria de Erros 43

TEORIA DE ERROS 3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS Cálculo do desvio padrão e) O cálculo do desvio padrão destas medidas. A partir deste resultado, podemos calcular o valor do desvio padrão destas medidas. N = 50 Calculamos o valor do desvio padrão partir do valor da soma dos quadrados desvios calculados acima. Física Experimental I – Teoria de Erros 44

TEORIA DE ERROS 3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS O desvio padrão expresso de forma incorreta e) O cálculo do desvio padrão destas medidas. Como nos casos anteriores, este resultado também não é correto! Observe novamente aqui que o resultado acima mostra que medimos o comprimento dos objetos com uma precisão de centésimos de centímetros, quando na verdade estamos usando apenas uma régua centimetrada. Também o desvio padrão a ser apresentado corretamente tem que levar em conta a acurácia do equipamento de medida. Física Experimental I – Teoria de Erros 45

TEORIA DE ERROS 3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS O desvio padrão expresso de forma correta e) O cálculo do desvio padrão destas medidas. O desvio padrão a ser apresentado corretamente tem que levar em conta a acurácia do equipamento de medida. No caso em questão, como o experimentador usou uma régua centimetrada, a acurácia da medida não pode ser superior a décimos de centímetro. Física Experimental I – Teoria de Erros 46

TEORIA DE ERROS 3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS Cálculo com a ajuda de planilha Com a ajuda de uma planilha de cálculo, facilmente conseguimos determinar: A partir destes resultados, expressamos o valor experimental a partir do valor médio das medidas de comprimento e do seu erro aleatório. Lembremos que vamos adotar o erro aleatório como sendo o desvio padrão das medidas. Física Experimental I – Teoria de Erros 47

TEORIA DE ERROS 3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS Erro percentual É frequente no laboratório realizarmos medidas de grandezas das quais existe um valor de referência, um valor esperado. Neste caso, definimos o erro relativo percentual a partir da equação abaixo. Para o cálculo deste erro relativo percentual E% usamos as regras de arredondamento, como foram definidas anteriormente. Física Experimental I – Teoria de Erros 48

TEORIA DE ERROS 3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS Erro relativo Por sua vez, como todas as medidas são obtidas com seus respectivos erros, é interessante determinar qual o peso deste erro frente ao valor expresso da medida. Neste caso, definimos o erro relativo a partir da equação abaixo. Para o cálculo deste erro relativo ER% usamos as regras de arredondamento como foram definidas anteriormente. Física Experimental I – Teoria de Erros 49

TEORIA DE ERROS 3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS Exemplo: cálculo do erro percentual Num dado experimento, medimos a aceleração da gravidade e obtemos o valor apresentado abaixo. Queremos determinar o erro percentual e o erro relativo desta medida. Para determinar o valor do erro percentual, usamos o valor medido para g = 9, 89 m/s 2, bem como o valor de referência para g = 9, 81 m/s 2. Física Experimental I – Teoria de Erros 50

TEORIA DE ERROS 3. MEDIDAS EXPERIMENTAIS Exemplo: cálculo do erro relativo Já para o cálculo do erro relativo, usamos o valor medido para de g = 9, 89 m/s 2, além do erro obtido no mesmo processo g = 0, 05 m/s 2. Física Experimental I – Teoria de Erros 51

TEORIA DE ERROS 1. Introdução 2. Classificação dos Erros 3. Medidas Experimentais 4. Propagação de Erros Física Experimental I – Teoria de Erros

TEORIA DE ERROS 4. PROPAGAÇÃO DOS ERROS Cálculo de erros em medidas indiretas Como já vimos, medidas indiretas são obtidas efetuandose operações matemáticas a partir de medidas obtidas diretamente do experimento. Geralmente a grandeza física de interesse (medida indireta) está relacionada matematicamente com outras grandezas físicas (medidas diretas). Isto significa que existe uma fórmula relacionando a grandeza associada à medida direta com as grandezas associadas às medidas indiretas. Física Experimental I – Teoria de Erros 53

TEORIA DE ERROS 4. PROPAGAÇÃO DOS ERROS O uso do cálculo das diferenciais Cada uma dessas medidas diretas, por sua vez, contém erros. Resulta daí que a medida indireta tem um erro que é o resultado da propagação dos erros das medidas diretas. Apresenta-se a seguir uma “receita” sem a dedução formal da fórmula, de como calcular o erro propagado em uma medida indireta. A fórmula a ser apresentada é obtida a partir do conceito de diferenciais, já visto na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I. Física Experimental I – Teoria de Erros 54

TEORIA DE ERROS 4. PROPAGAÇÃO DOS ERROS Medida indireta, uma função de várias variáveis Considere uma grandeza física Y (medida indireta) que depende de n outras grandezas físicas x 1, x 2, . . . , xn (medidas diretas), segundo a expressão matemática geral mostrada abaixo. Y Grandeza associada à medida indireta xi Grandezas associadas à medidas diretas Física Experimental I – Teoria de Erros 55

TEORIA DE ERROS 4. PROPAGAÇÃO DOS ERROS As diferenciais O erro associado à medida indireta Y ( Y) é calculado a partir da diferencial da função Y(x 1, x 2, …xn). Em outras palavras, trata-se o erro como sendo equivalente a diferencial de uma função matemática conhecida de múltiplas (n) variáveis. Na fórmula acima x 1, x 2, . . . , xn são os erros relativos a cada medida direta xi. Física Experimental I – Teoria de Erros 56

TEORIA DE ERROS 4. PROPAGAÇÃO DOS ERROS Exemplo 1 Considere a área de um retângulo, do qual foram medidas a largura a e o comprimento b, tendo sido obtidos os valores médios e os respectivos erros como mostrado abaixo. a = (12, 34 0, 02) cm b = (8, 95 0, 01) cm Como é conhecido, a expressão matemática para calcular a área do retângulo A é simplesmente o produto da largura a pelo comprimento b. Física Experimental I – Teoria de Erros 57

TEORIA DE ERROS 4. PROPAGAÇÃO DOS ERROS Exemplo 1 Com a fórmula para o cálculo da área A, podemos calcular o erro propagado A em função dos desvios das medidas da largura a e do comprimento b. Usamos a fórmula geral para o cálculo do erro propagado para escrever a expressão de A, como mostrado ao lado. Física Experimental I – Teoria de Erros 58

TEORIA DE ERROS 4. PROPAGAÇÃO DOS ERROS Exemplo 1 Agora podemos calcular numericamente o valor da área A, com os valores das medidas da largura a e do comprimento b. a = (12, 34 0, 02) cm a = 12, 34 cm b = (8, 95 0, 01) cm b = 8, 95 cm Usamos os critérios de arredondamento para expressar corretamente o valor da área A. Física Experimental I – Teoria de Erros 59

TEORIA DE ERROS 4. PROPAGAÇÃO DOS ERROS Exemplo 1 Podemos também calcular numericamente o valor do erro propagado A, a partir dos valores das medidas da largura a e do comprimento b e seus respectivos desvios. a = 12, 34 cm a = 0, 02 cm b = 8, 95 cm b = 0, 01 cm Física Experimental I – Teoria de Erros 60

TEORIA DE ERROS 4. PROPAGAÇÃO DOS ERROS Exemplo 1 Por fim, expressamos o valor da área A e seu respectivo erro propagado A. a = 12, 34 cm a = 0, 02 cm b = 8, 95 cm b = 0, 01 cm Física Experimental I – Teoria de Erros 61