FSICA 2 BACHILLERATO TEMA 2 3 PARTE LEY

FÍSICA 2º BACHILLERATO TEMA 2 (3ª PARTE) LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL APLICACIONES CARLOS MARTÍN ARTEAGA

TEMA 2. LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL APLICACIONES: MOVIMIENTOS DE SATÉLITES Y PLANETAS VELOCIDAD DE ESCAPE Velocidad de Escape: Velocidad mínima que debe adquirir un cuerpo para que escape de la atracción terrestre. Para conseguir que un cohete lanzado desde la superficie de la Tierra salga del campo gravitatorio de esta, habrá que comunicarle una gran velocidad. En el lanzamiento de un cohete la energía mecánica no varía. A medida que la nave espacial se aleja de la Tierra, aumenta su energía potencial a costa de su energía cinética, de forma que la energía mecánica se conserve, ya que nos movemos bajo una fuerza conservativa. La velocidad mínima de lanzamiento desde la superficie de la Tierra para que un objeto abandone la atracción terrestre (h = ∞) tiene que ser tal que al llegar al lugar que está “fuera de atracción” toda su energía cinética se haya convertido en el valor máximo de energía potencial (Ep = 0).

TEMA 2. LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL APLICACIONES: MOVIMIENTOS DE SATÉLITES Y PLANETAS VELOCIDAD DE ESCAPE Velocidad de Escape desde la superficie de la Tierra (se conserva la Energía Mecánica): Si la velocidad de lanzamiento es mayor que la velocidad de escape, la energía mecánica es mayor que cero, y el cohete llegará a una distancia «infinita» con cierta velocidad.

TEMA 2. LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL APLICACIONES: MOVIMIENTOS DE SATÉLITES Y PLANETAS VELOCIDAD DE ESCAPE Velocidad de Escape desde una altura h sobre la superficie de la Tierra (se conserva la Energía Mecánica):

TEMA 2. LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL APLICACIONES: MOVIMIENTOS DE SATÉLITES Y PLANETAS VELOCIDAD DE LANZAMIENTO Velocidad que hay que comunicar a un objeto para que alcance una altura h. Para su cálculo se aplica el principio de conservación de la energía. La energía mecánica se mantiene: al ascender, la energía cinética que se le comunica al objeto en el lanzamiento se va convirtiendo en energía potencial hasta que la energía cinética se hace 0, es decir hasta que el objeto se para (eso significa que la velocidad es 0).

TEMA 2. LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL APLICACIONES: MOVIMIENTOS DE SATÉLITES Y PLANETAS EJERCICIO RESUELTO Un satélite describe una órbita circular alrededor de un planeta desconocido con un periodo de 24 h. La aceleración de la gravedad en la superficie del planeta es 3, 71 m s− 2 y su radio es 3393 km. Determina: a) El radio de la órbita. b) La velocidad de escape desde la superficie del planeta. a) En una órbita circular se cumple que la fuerza centrípeta es igual a la fuerza gravitatoria: Aplicando la ley de la gravitación universal, obtenemos el valor de G·MP:

TEMA 2. LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL APLICACIONES: MOVIMIENTOS DE SATÉLITES Y PLANETAS EJERCICIO RESUELTO Un satélite describe una órbita circular alrededor de un planeta desconocido con un periodo de 24 h. La aceleración de la gravedad en la superficie del planeta es 3, 71 m s− 2 y su radio es 3393 km. Determina: a) El radio de la órbita. b) La velocidad de escape desde la superficie del planeta. b) Aplicando el principio de conservación de la energía mecánica del satélite, obtenemos su velocidad de escape:

TEMA 2. LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL APLICACIONES: MOVIMIENTOS DE SATÉLITES Y PLANETAS CÁLCULO DE LA MASA DE UN PLANETA CONOCIENDO EL RADIO DE ÓRBITA Y EL PERÍODO DE ALGUNO DE SUS SATÉLITES: Como Y como EJEMPLO Calcula la masa de la Tierra sabiendo que la distancia entre la Luna y la Tierra es de 3, 84· 108 m y el periodo de revolución de la Luna es de 27, 32 días, calcula la masa de la Tierra

TEMA 2. LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL APLICACIONES: MOVIMIENTOS DE SATÉLITES Y PLANETAS EJERCICIO RESUELTO Un cohete de masa 2 kg se lanza verticalmente desde la superficie terrestre de tal manera que alcanza una altura máxima de 500 km. Despreciando el rozamiento con el aire, calcula: a) La velocidad del cuerpo en el momento del lanzamiento. Compárala con la velocidad de escape desde la superficie terrestre. b) La distancia a que se encuentra el cohete con respecto al centro de la Tierra, cuando su velocidad se reduce en un 10% con respecto a su velocidad de lanzamiento. Datos: radio terrestre = 6, 37 · 106 m; masa de la Tierra MT = 5, 97 · 1024 kg; constante de gravitación universal G = 6, 67 · 10− 11 Nm 2 kg– 2. a) Aplicamos el principio de la conservación de la energía mecánica. Em (en el punto de lanzamiento) = Em (en el punto más alto)

TEMA 2. LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL APLICACIONES: MOVIMIENTOS DE SATÉLITES Y PLANETAS EJERCICIO RESUELTO Un cohete de masa 2 kg se lanza verticalmente desde la superficie terrestre de tal manera que alcanza una altura máxima de 500 km. Despreciando el rozamiento con el aire, calcula: a) La velocidad del cuerpo en el momento del lanzamiento. Compárala con la velocidad de escape desde la superficie terrestre. b) La distancia a que se encuentra el cohete con respecto al centro de la Tierra, cuando su velocidad se reduce en un 10 % con respecto a su velocidad de lanzamiento. Datos: radio terrestre = 6, 37 · 106 m; masa de la Tierra MT = 5, 97 · 1024 kg; constante de gravitación universal G = 6, 67 · 10− 11 Nm 2 kg– 2. La velocidad de escape desde la superficie terrestre es: Es evidente que la velocidad de escape es mayor que la velocidad de lanzamiento obtenida anteriormente. La relación entre ellas es:

TEMA 2. LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL APLICACIONES: MOVIMIENTOS DE SATÉLITES Y PLANETAS EJERCICIO RESUELTO Un cohete de masa 2 kg se lanza verticalmente desde la superficie terrestre de tal manera que alcanza una altura máxima de 500 km. Despreciando el rozamiento con el aire, calcula: b) La distancia a que se encuentra el cohete con respecto al centro de la Tierra, cuando su velocidad se reduce en un 10 % con respecto a su velocidad de lanzamiento. b) Aplicamos el principio de conservación de la energía mecánica: Em en el punto de lanzamiento = Em en el punto pedido. Suponemos que el punto pedido se encuentra a una distancia x del centro de la Tierra.

TEMA 2. LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL APLICACIONES: MOVIMIENTOS DE SATÉLITES Y PLANETAS MODELO DEL POZO GRAVITATORIO «espacio libre gravitacional» Modelo del pozo gravitatorio: Modelo que nos permite entender la velocidad de escape y las órbitas circulares y elípticas de los satélites. Gráfica del pozo de Ep del espacio que rodea a una masa M como la de la Tierra. Velocidad límite v. LIM de un satélite: Es la velocidad mínima que tiene que tener un satélite que se encuentra a una altura h para que no caiga. Coincide con el valor de la velocidad para que la trayectoria sea circular. Gráfica Ep-r deducida a partir del modelo del pozo gravitatorio: Se trata de una hipérbola equilátera ya que Ep·r = –G·MT·m, es decir, Ep·r = constante.

TEMA 2. LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL APLICACIONES: MOVIMIENTOS DE SATÉLITES Y PLANETAS LANZAMIENTOS DE SATÉLITES ARTIFICIALES La colocación de un satélite en órbita se realiza en dos fases: 1. Se lleva el satélite a una órbita de baja altura h, mediante cohetes de lanzamiento. 2. Desde esa altura se lanza el satélite con una velocidad horizontal v 0. El tipo de trayectoria que toma el satélite depende del valor de v 0. Tipo de trayectoria que adquiere un satélite dependiendo de la velocidad horizontal v 0 con que se impulsa al satélite una vez alcanzada su altura h: • • • Si v 0 es pequeña. Trayectoria: Parábola. Cae sobre la superficie de la tierra describiendo un arco de parábola. Si v 0 = velocidad límite. Trayectoria: Circunferencia. Si v 0 > velocidad límite y v 0 < velocidad de escape. Trayectoria: Elipse, tanto más excéntrica cuanto mayor sea v 0. Si v 0 = veh (velocidad de escape correspondiente a la altura h). Trayectoria: Parábola. El satélite abandona la atracción gravitacional describiendo dicha parábola. Si v 0 >> velocidad límite: Trayectoria: Hipérbola, llega al infinito con una velocidad mayor que 0.

TEMA 2. LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL APLICACIONES: MOVIMIENTOS DE SATÉLITES Y PLANETAS ENERGÍA DE ENLACE Energía de Enlace de un satélite: Energía mecánica que debe tener un satélite para mantenerse en una órbita cerrada: • a una altura h sobre la superficie terrestre si la órbita es circular o, • con un semieje mayor a en caso de ser elíptica. Es decir, con órbita estable. PARA UNA ÓRBITA CIRCULAR: Energía Cinética de un satélite en órbita: Energía Potencial de un satélite en órbita: Energía Mecánica de un satélite en órbita (ENERGÍA DE ENLACE): PARA UNA ÓRBITA ELÍPTICA: Energía de Enlace en el caso de órbitas elípticas: a Semieje mayor de la elipse

TEMA 2. LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL APLICACIONES: MOVIMIENTOS DE SATÉLITES Y PLANETAS CAMBIO DE ÓRBITA TRABAJO REALIZADO PARA CAMBIAR LA ÓRBITA DE UN SATÉLITE DE RADIO ri A rf Para que un satélite cambie de una órbita ri a otra distinta rf, habrá que realizar un trabajo equivalente a la diferencia entre las energías de enlace correspondientes:

TEMA 2. LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL CAMBIO DE ÓRBITA EJERCICIO RESUELTO Calcula la energía extra que debemos aportar a un satélite de 2400 kg para que pase de una órbita circular terrestre a 400 km de altura a otra a 1000 km de altura. La energía adicional es el trabajo exterior necesario para llevar el satélite de la órbita A a la órbita B; o sea, la diferencia de energía mecánica entre esos dos puntos: W = E (B) – E (A) (A B) m La energía mecánica es la suma de las energías cinética y potencial: La velocidad orbital al cuadrado viene dada por la siguiente expresión: Luego: Por tanto, la expresión del trabajo necesario queda como: Sustituyendo datos numéricos, resulta: m

TEMA 2. LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL APLICACIONES: MOVIMIENTOS DE SATÉLITES Y PLANETAS INGRAVIDEZ Ingravidez o Falta aparente de peso: Peso aparente medido por una balanza en un ascensor. Podemos hacerlo extensivo a un astronauta en una nave en órbita alrededor de la Tierra En todo momento la fuerza de reacción R que ejerce la báscula sobre la persona mide el peso de esta R = P y se da que, aplicando la 2ª ley de Newton: mg – R = ma Peso aparente en un ascensor parado: Peso aparente en un ascensor descendiendo con una aceleración a: Peso aparente en un ascensor cayendo libremente: a) En este caso a = 0: de la segunda ley de la dinámica se deduce: mg–R=ma⇒R=mg La báscula mide el peso real de la persona. b)Para este caso la ley de la dinámica sería: m g – R = m a ⇒ R = m (g – a) La báscula marcaría un peso aparente inferior al peso real. c) Es decir, a = g. m g – R = m a ⇒ R = m (g – a) = 0 La persona tendría una falta aparente de peso o se encontraría en estado de ingravidez respecto al ascensor. Cuando el ascensor desciende con aceleración, la báscula marca un peso aparente menor que el peso real

TEMA 2. LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL APLICACIONES: MOVIMIENTOS DE SATÉLITES Y PLANETAS INGRAVIDEZ El que una nave describa una órbita circular alrededor de la Tierra, se debe a que la gravedad es la fuerza centrípeta necesaria para que el movimiento circular tenga lugar. Por tanto, el astronauta tiene peso. La sensación de ausencia de peso respecto a la nave especial se debe a que no existe la fuerza de reacción hacia arriba que normalmente ejerce el suelo o una silla. La causa de esto es que la nave espacial está cayendo hacia la Tierra con la misma velocidad con que lo hace el astronauta y la fuerza atractiva entre nave y astronauta es prácticamente nula.