Freie Universitt Berlin Seminar ber Algorithmen Potentialfunktion Seminar

Freie Universität Berlin Seminar über Algorithmen „Potentialfunktion“ „Seminar über Algorithmen“, Institut für Informatik SS 2006 1 Ioannis Kyrykos 1

Freie • • Universität Berlin Wiederholung § § Diskretes Load Balancing Nash Equilibria § Die „Tit for Tat“ Strategie Potentialfunktion in Load Balancing Potentialfunktion in Netzwerken Ein kleines Beispiel aus der Biologie „Seminar über Algorithmen“, Institut für Informatik SS 06 2 Ioannis Kyrykos 2

Freie Universität Berlin Wir betrachten das folgende Problem einer Lastverteilung von: • n Jobtypen und • auf m maschine • pj ist die gesamte Last des Typs j und Sj {1, . . . , m} ist die Menge der Maschinen auf denen j verteilt werden darf. „Seminar über Algorithmen“, Institut für Informatik SS 06 3 Ioannis Kyrykos 3

Freie Universität Berlin • die Jobs sind diskret (atomar). • xij ist der Job vom Typ , j der auf der Maschine i verteilt wurde Die mögliche Lösung des Problems wäre die Menge aller xij>=0 für alle i, j Lösung: Eine Lösung des Beispiels ist: x 11, x 12, x 23 „Seminar über Algorithmen“, Institut für Informatik SS 06 4 Ioannis Kyrykos 4

Freie Universität Berlin • ri(L) ist eine monoton wachsende Funktion, die Antwortzeit jeder Maschine unter der Last L gibt. • Nash Gleichgewicht beschreibt einen Zustand eines strategischen Gleichgewichts, von dem ausgehend kein einzelner Spieler für sich einen Vorteil erzielen kann, indem er allein seine Strategie verändert • Nash Gleichgewicht beim Load Balancing Für alle xij > 0 und k Sj ri(Li) rk(Lk + xij) Beispiel: Jobs/User Maschinen Für den Job von Typ 2 S 2 ={1, 2} wobei r 2(L 2) r 1(L 1+x 12) für ri(Li) = i*Li und alle User haben Größe 1 „Seminar über Algorithmen“, Institut für Informatik SS 06 5 Ioannis Kyrykos 5

Freie Universität Berlin • Unser Ziel ist es, eine optimale Lösung (Verteilung) zu finden. Eine Lastverteilung, die dem System eine gesamte minimale Antwortzeit gibt. • Wir nehmen an, dass alle Jobs atomar und gleich groß sind. Also ist xij eine Ganzzahl, und die Summe pj von allen xij ist auch eine Ganzzahl. • Die Potentialfunktion ist: „Seminar über Algorithmen“, Institut für Informatik SS 06 6 Ioannis Kyrykos 6

Freie Universität Berlin • Wenn ein Job j von einer Maschine zu einer anderen geht, dann spiegelt die Änderung der Verarbeitungszeit des j, wider. erreicht dann, einen Minimumwert, wenn alle Jobs minimale Verarbeitungszeit brauchen. Also ist die optimale Lösung alle xij , die minimieren. Die schattierte Fläche ist: „Seminar über Algorithmen“, Institut für Informatik SS 06 7 Ioannis Kyrykos 7

Freie Universität Berlin Theorem 1: Wenn eine Jobeinheit xij von einer Maschine i zu einer Maschine k verschoben wird, dann ist die Reduzierung der Antwortzeit für den Job j gleich der Abfall der Funktion. Beweis: Wenn eine Jobeinheit von der Maschine i auf die Maschine k verschoben wird, ist der Abfall der Antwortzeit des j Jobs : ri(Li) – rk(Lk +1) Die Funktion wird genau gleich reduziert 2 1 Beispiel: ri(Li) = Li 1 - 2 = 7 - 6 = 1 rj 1 – rj 2 = 3 – 2 = 1 „Seminar über Algorithmen“, Institut für Informatik SS 06 8 Ioannis Kyrykos 8

Freie Universität Berlin • Wir nennen Potentialspiel ein Spiel, das eine Potentialfunktion besitzt, die Änderungen der Spieler trägt. • Folgerung: Die Existenz einer Potentialfunktion impliziert 1. 2. Wenn wir mit einer beliebigen Verteilung der Jobs anfangen, erreichen wir ein Nash Gleichgewicht in endlicher Zeit. Eine Lösung mit Minimum ist ein Nash Gleichgewicht „Seminar über Algorithmen“, Institut für Informatik SS 06 9 Ioannis Kyrykos 9

Freie Universität Berlin Verallgemeinerung: pj besteht aus sehr kleinen Jobeinheiten -> „Seminar über Algorithmen“, Institut für Informatik SS 06 10 Ioannis Kyrykos 10

Freie Universität Berlin • Jetzt muss bewiesen werden, dass falls die Antwortzeit des Jobs j sich ändert, indem ein sehr kleines Teil von dem j auf ein andere Maschine verschoben wird, ändert sich auch der Wert der Funktion. • Theorem 2 Wenn ein Job j ein xij >0 hat und k Sj und die Nash Kondition ( ri(Li) > rk(Lk)) noch nicht erfüllt ist, dann wird abfallen, falls eine sehr kleine Einheit von j xij nach xkj geschaltet wird. Beweis Aber es gilt Gleich gilt: ri(Li) > rk(Lk) => „Seminar über Algorithmen“, Institut für Informatik SS 06 Also 0, das von xij abgezogen und auf xkj addiert wird und abfällt 11 Ioannis Kyrykos 11

Freie Universität Berlin Die Existenz einer Potentialfunktion impliziert: 1. Eine Lösung mit Minimum -Wert ist ein Nash Gleichgewicht Beweis: Falls die Lösung mit -Wert kein Nash Gleichgewicht wäre, könnte man (Theorem 2) den -Wert noch mehr reduzieren. Aber -Wert hat schon einen Minimum Wert. „Seminar über Algorithmen“, Institut für Informatik SS 06 12 Ioannis Kyrykos 12

Freie Universität Berlin Die Existenz einer Potentialfunktion impliziert: 2. Es existiert ein Nash Gleichgewicht. Beweis: Die Funktion ist stetig, und die Menge der möglichen Lösungen ist begrenzt. D. h die Potentialfunktion erreicht einen Minimumwert => existiert ein Nash Gleichgewicht „Seminar über Algorithmen“, Institut für Informatik SS 06 13 Ioannis Kyrykos 13

Universität Berlin Freie Die Existenz einer Potentialfunktion impliziert: 3. Wir können in Polynomialzeit ein Nash Gleichgewicht finden Beweis: Wir können eine konvexe Funktion über eine konvexe Menge in Polynomialzeit minimieren. • Für alle i, und ist eine streng monoton wachsende Funktion. Eine differenzierbare Funktion ist auf einem Intervall (streng) konvex dann und nur dann wenn ihre Ableitung auf dem Intervall monoton wachsend ist. Also , als Summe von konvexen Funktionen, ist auch konvex. „Seminar über Algorithmen“, Institut für Informatik SS 06 14 Ioannis Kyrykos 14

Freie Universität Berlin • Die Menge aller möglichen Lasten L = {L 1, . . . , Lm} ist auch konvex, weil wenn L 1 und L 2 mögliche Lasten sind, dann soll *L 1 + (1 - )*L 2 für alle 0 1 auch eine mögliche Last sein. Aber *x 1 + (1 - )*x 2 erfüllt die folgende Gleichung: Also *x 1 + (1 - )*x 2 ist eine gültige Lösung -> *L 1 + (1 - )*L 2 ist auch eine gültige Lösung. Also L ist konvex „Seminar über Algorithmen“, Institut für Informatik SS 06 15 Ioannis Kyrykos 15

Freie Universität Berlin Wiederholung: Das Braess Paradox Ohne UV Verbindung Verzögerung 1, 5 „Seminar über Algorithmen“, Institut für Informatik SS 06 Mit der blauen Verbindung Verzögerung 2. 16 Ioannis Kyrykos 16

Freie Universität Berlin Ein Netzwerkfluss kann als ein gerichteter Graph dargestellt werden, wie im Beispiel des Braess Paradox. • Definition eines egoistischen Netzwerkflusses. • Gerichteter Graph G = (V, E) • k Typen von User • User i hat Ausgangspunkt si und Ziel ti in V • Jeder User ist sehr klein • dem(i) ist das Volumen der User von Typ i • Jede Kante hat eine Latenz le(x), die eine Funktion ist des Flusses x (Anzahl der User) auf der Kante e • Wir nehmen an, dass le(x) eine stetig monoton wachsende Funktion ist • Note: i j si sj oder ti tj „Seminar über Algorithmen“, Institut für Informatik SS 06 17 Ioannis Kyrykos 17

Freie Universität Berlin Für einem gültigen Fluss im Netz muss gelten: Der gesamte Fluss auf einer Kante ist: „Seminar über Algorithmen“, Institut für Informatik SS 06 18 Ioannis Kyrykos 18

Freie Universität Berlin Die Verzögerung auf der Kante spiegelt den gesamten Fluss der User auf der Kante wieder: Nash Gleichgewicht: Ein Fluss ist Nash Gleichgewicht, wenn die folgende Aussage gilt: Typ i, alle Wege P vom si -> ti mit fp 0 erfüllt ( Wege Q vom si -> ti, l. P(f) l. Q(f)) „Seminar über Algorithmen“, Institut für Informatik SS 06 19 Ioannis Kyrykos 19

Universität Berlin Freie Theorem 3. Eine Lösung ist ein Nash Gleichgewicht dann und nur dann wenn der Fluss die Potentialfunktion minimiert: Beispiel für le(x) = x = 2 +2 +2 +2 = 10 SV Sti Vti titj „Seminar über Algorithmen“, Institut für Informatik SS 06 20 Ioannis Kyrykos 20

Freie Universität Berlin „Seminar über Algorithmen“, Institut für Informatik SS 06 21 Ioannis Kyrykos 21

Freie Universität Berlin Das Gefangenendilemma. . . und die Strategie der Fische „Seminar über Algorithmen“, Institut für Informatik SS 06 22 Ioannis Kyrykos 22

Freie Universität Berlin Strategien: • Kooperieren • Verrat • Wie du mir so ich dir (Tit for Tat) Erster Zug selbständig, und bei allen folgenden Zügen macht man das, was der Mitspieler beim letzen Zug gemacht hat. Wo finden wir diese Strategie wieder? ? „Seminar über Algorithmen“, Institut für Informatik SS 06 23 Ioannis Kyrykos 23

Freie Universität Berlin Tit for Tat bei Stichlingen Verhalten von Stichlingen in Anwesenheit anderer größerer Fische, die entweder Räuber oder Friedfische sind. • Gewinn eine Annäherung: Informationsgewinn; je näher desto mehr Informationen • Verlust einer Annäherung: Wenn Räuber dann je näher, desto größer die Gefahr, gefressen zu werden Annäherung erfolgt schrittweise und abwechselnd. Das erinnert an Tit for Tat. Prinzipiell kooperativ, aber es gilt auch das „Wie du mir, so ich dir“ Verhalten. „Seminar über Algorithmen“, Institut für Informatik SS 06 24 Ioannis Kyrykos 24

Freie Universität Berlin Experimentelle Prüfung Ergebnis: Stärkere Annäherung bei Vorspiegelung von Kooperation „Seminar über Algorithmen“, Institut für Informatik SS 06 25 Ioannis Kyrykos 25

Freie Universität Berlin Quellen: http: //www 1. uni-hamburg. de/IWI/Folien. Thema 10. doc http: //www. uni-muenster. de/Biologie/Main/aktuell/Lubj. Skript%209. pdf http: //www. muslim-markt. de/wissenschaft/gefangenendilemma. htm http: //www. cs. cornell. edu/courses/cs 684/2005 fa/ http: //de. wikipedia. org/wiki/Gefangenendilemma http: //www. dbg. rt. bw. schule. de/lehrer/ritters/info/gedil. htm „Seminar über Algorithmen“, Institut für Informatik SS 06 26 Ioannis Kyrykos 26