Fraktale i atraktory Agnieszka Bruska Katarzyna Chmielewska Agnieszka

Fraktale i atraktory. Agnieszka Bruska Katarzyna Chmielewska Agnieszka Gospodarska Anna Jasińska

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują określać fraktal jako zbiór, który: • ma nietrywialną strukturę w każdej skali, • struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej geometrii euklidesowej, • jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to przybliżonym lub stochastycznym, • jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar topologiczny, • ma względnie prostą definicję rekurencyjną, • ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp. ) wygląd.

Występowanie fraktali • Prawdziwe fraktale istnieją tylko w świecie idealnych konstrukcji matematycznych, ale w świecie przyrody istnieje wiele tworów przypominających je swoim kształtem, np. struktura płatka śniegu, liścia paproci czy korony drzew. Innym przykładem na występowanie struktur samopodobnych w przyrodzie jest kalafior. Zarówno jego duży kwiat, jak i tworzące go elementy (małe kwiatki) mają identyczny kształt. Również linia brzegowa lub masyw górski, widziane z odpowiedniej wysokości, wykazują fraktalną strukturę kształtu.

Ciekawe przykłady występowania fraktali w naturze.

Własności • samopodobieństwo, to znaczy podobieństwo fraktala do jego części. • zbiory fraktalne mogą być samoafiniczne, tj. część zbioru może być obrazem całości przez pewne przekształcenie afiniczne • Dla figur samopodobnych można określić wielkość zwaną wymiarem samopodobieństwa lub wymiarem pudełkowym • jeżeli fraktal składa się z N części, które łączą się między sobą na obszarze miary Lebesgue'a zero i są podobne w skali r do całego fraktala to wymiar Hausdorffa fraktala będzie równy log N/log r • Niektóre fraktale są zbiorami o mierze Lebesgue'a równej zero. Dotyczy to fraktali klasycznych, np. trójkąt Sierpińskiego i zbiór Cantora mają miarę Lebesgue'a równą zero.

Wymiar topologiczny • dowolny wymiar d należący do N, oznacza ilość liczb potrzebnych do opisania współrzędnych punktu w przestrzeni d-wymiarowej. Z tej definicji jasno wynika, że punkt ma wymiar 0, odcinek i okrąg mają wymiar 1, kwadrat, koło są dwu-wymiarowe, natomiast sześcian czy ostrosłup trójwymiarowe.

Wymiar Hausdorffa-Besicovitcha Wymiar samopodobieństwa • definiujemy jako logarytm przy podstawie równej skali podobieństwa z liczby określającej , , ile razy większa jest figura wyjściowa od figury podobnej".

Przeanalizujmy odcinek a o jednostkowej długości. Teraz przypatrzmy się odcinkowi b, który jest podobny do odcinka a w skali 2. Można zatem powiedzieć, że odcinek b składa się z dwóch odcinków a, czyli inaczej, że ma dwa fragmenty identyczne jak oryginalny odcinek a Teraz rozważmy kwadrat o boku a. Tak samo patrzymy na drugi kwadrat o boku b, podobny do poprzedniego także w skali 2. Tym razem jednak, powstały kwadrat składa się z czterech kwadratów identycznych jak kwadrat a.

Jako trzeci przykład zbadamy sześcian. Po konstrukcji podobnego sześcianu widzimy, że ten zawiera już osiem sześcianów identycznych jak pierwotny.

Wymiar pudełkowy • Wymiar pudełkowy (objętościowy, pojemnościowy) zdefiniowany przez Kołmogorowa jest uogólnieniem intuicyjnego pojęcia wymiaru. Pozwala on na obliczanie wymiaru dla zbiorów, dla których ustalenie wymiaru drogą nieformalną nie jest sprawą oczywistą (np. dla zbioru Cantora). Jest on oparty na koncepcji zliczania ilości tzw. , , pudełek", którymi pokrywa się badany zbiór.

• Niech A będzie podzbiorem n- wymiarowej przestrzeni euklidesowej (np. dla n = 2: płaszczyzny). Niech ponadto A będzie zwarty i niepusty. • Oznaczmy przez iloczyn kartezjański n przedziałów o długości Zbiór taki nazywamy kostką n-wymiarową • Niech oznacza najmniejszą możliwą liczbę kostek (zwanych także, skąd pochodzi nazwa wymiaru, , , pudełkami") potrzebnych do pokrycia zbioru A. Zatem jest najmniejszą liczbą naturalną taką, że

• przy czym -krotne dodawanie oznacza że sumujemy ze sobą wielokrotnie ten sam zbiór, ale wiele takich samych zbiorów (nie ma tu mowy o ich przestrzennym ułożeniu) • Wymiarem pudełkowym d zbioru A nazywamy granicę Powyższa granica jest dobrze określona, co wynika ze zwartośći zbioru A

• Wygodnym sposobem obliczania wymiaru dwuwymiarowego zbioru A jest przedstawienie go na siatce, której oczka mają rozmiar a następnie zliczanie, ile oczek siatki potrzeba do pokrycia zbioru. Niemniej w przykładzie niektórych fraktali wystarczy wziąć pod uwagę sposób, w jaki są one tworzone, sprowadza się to wtedy do wymiaru samopodobieństwa.

Wymiar pudełkowy zbioru Cantora • Zbiór Cantora powstaje w wyniku iteracji. Na każdym jej kroku zbiór dzieli się na dwa mniejsze, a każdy z tych nowo utworzonych zbiorów jest trzykrotnie mniejszy, niż zbioru z poprzedniego etapu procesu. Stąd, jeśli przyjmiemy (gdzie n oznacza etap konstrukcji zbioru), to otrzymamy • Możemy więc napisać Widać stąd, że wymiar zbioru Cantora nie jest liczbą całkowitą.

Generowanie fraktali • Najprostszą metodą tworzenia fraktali jest wykorzystanie zbioru przekształceń afinicznych będących przekształceniami zwężającymi (kontrakcjami). Transformując dowolny, niepusty zbiór S zgodnie z regułą (tworząc ciąg zbiorów): • S 0 = S W granicy otrzymujemy: atraktor układu, który w szczególności może być fraktalem

• Zbiór nazywamy w tym przypadku systemem przekształceń iterowanych (IFS), zaś otrzymany w powyższej granicy fraktal jest atraktorem tego systemu. Jego istnienie wynika z twierdzenia Banacha o punkcie stałym odwzorowania zwężającego. W ten sposób można wygenerować m. in. następujące fraktale: zbiór Cantora, krzywa Kocha, smok Heighwaya, trójkąt Sierpińskiego, kostka Mengera, paproć Barnsleya.

• W praktyce aby wygenerować fraktal wybieramy dowolny punkt x i transformujemy go kilka razy za każdym razem losując odpowiednio przekształcenie Fi: Procedurę tę powtarzamy np. kilka tysięcy razy. W szczególnych przypadkach dla efektu wizualnego może być istotny sposób losowania przekształceń.

Np. dla paproci Barnsleya przekształcenia Fi, i=1. . 4 losuje się z częstościami 85%, 7%, 1% odpowiednio .

Zbiory Julii i Mandelbrota • Zbiory takie jak zbiór Mandelbrota, zbiór Julii czy "płonący statek" są podzbiorami płaszczyzny zespolonej. Dla każdego punktu p określa się pewien ciąg zn(p). Od zbieżności tego ciągu zależy czy punkt należy do zbioru (fraktala). Ciąg określa się wzorem rekurencyjnym: z 0(p) = f(p) zn + 1(p) = g(zn)

• Od postaci funkcji f i g zależy rodzaj fraktala. • Za punkty należące do danego zbioru uznaje się te, dla których Przykłady:

"płonący statek":

"Klasycznymi fraktalami", badanymi (czasem długo) przed powstaniem samego pojęcia fraktal, są m. in. : • zbiór Cantora i związane z nim "diabelskie schody"; krzywe: funkcja Weierstrassa, krzywa Kocha, krzywa Peano, krzywa C Levy'ego; trójkąt Sierpińskiego, dywan Sierpińskiego, w oryginale opisane przez autora jako krzywe na płaszczyźnie, fakt "niewidoczny" we współczesnych konstrukcjach. Uogólnienie "trójwymiarowe" dywanu to kostka Mengera; smok Heighwaya zbiór Julii

Klasyczny zbiór Cantora • Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.

• Klasyczny zbiór Cantora to podzbiór przedziału domkniętego liczb rzeczywistych , skonstruowany w następujący sposób (definicja indukcyjna): w pierwszej iteracji przedział [0, 1] dzielimy na trzy równe części i wyrzucamy część środkową (otwartą). Pozostaje zbiór

• W drugim kroku tę samą operację (dzielenia i wyrzucania) wykonujemy na dwóch pozostałych częściach. W kroku n-tym operację wykonujemy na wszystkich otrzymanych do tej pory 2 n odcinkach o długości 1 / 3 n.

Wymiar fraktalny zbioru Cantora • Łatwo zauważyć, że jest on podobny do swojej , , połowy" w skali 3, ale długość tejże , , połówki" jest 2 razy mniejsza od wyjściowego zbioru (na zbiór C składają się dwie takie części). Zatem: • d = log 32 = 0, 631. . .

Krzywa Kocha • jest to brzeg figury - fraktala, przypominającego płatek śniegu. • Krzywa ta jest nieskończenie długa, lecz ogranicza ona skończoną powierzchnię • "Trudno to sobie wyobrazić, ale ta krzywa nie zawiera żadnych odcinków - w każdym swym punkcie ma 'zagięcie', a więc w żadnym swym punkcie nie ma stycznej. "

Tworzenie Krzywej Kocha • Krzywa Kocha powstaje z odcinka, poprzez podzielenie go na 3 części i zastąpenie środkowej ząbkiem (o ramieniu długości równej 1/3 odcinka) takim, że wraz z usuwaną częścią tworzy trójkąt równoboczny. Krok ten jest powtarzany w nieskończoność dla każdego fragmentu odcinka.

Krok 0 • Krzywa Kocha w kroku zerowym (k=0) jest odcinkiem. Zostanie on podzielony na 3 równe części, a środkową zastąpią dwa odcinki długości 1/3 l, nachylone względem niej pod kątem 60°. Wraz z wyciętym fragmentem mogłyby one utworzyć trójkąt równoboczny.

Krok 1 • Krzywa Kocha w kroku pierwszym (k=1), po transofmacji zawiera 4 odcinki, każdy równy 1/3 l. W kolejnym kroku każdy z tych odcinków ponownie zostanie podzielonyna 3 części, a środkową znów zastąpimy dwoma odcinkami.

Krok 2 • Krzywa Kocha w kroku drugim (k=2) zawiera już 16 odcinków, każdy długości 1/9 l. W kolejnym kroku (k=3) powstanie 64 odcinków, każdy długości 1/27 l itd.

Wymiar Krzywej Kocha • W każdej skali krzywa Kocha zawiera w sobie 4 (N=4) kopie, każda długości 1/3 (s=1/3) całości. Tak więc wymiar fraktalny krzywej Kocha wynosi:

Trójkąt Sierpińskiego • Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka Sierpińskiego) jest jednym z najprostszych fraktali, znanym na długo przed powstaniem tego pojęcia.

Konstrukcja trójkąta Sierpińskiego • Krok pierwszy Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny o długości boku np. 1. Środki boków trójkąta łączymy odcinkami. Otrzymaliśmy cztery trójkąty równoboczne, każdy o długości boku . Usuwamy środkowy trójkąt.

Krok drugi • Każdy z pozostałych trzech mniejszych trójkątów dzielimy znowu na cztery równe trójkąty. Ich wierzchołkami są środki boków trójkątów otrzymanych w pierwszym kroku. Usuwamy środkowe trójkąty

Kolejne kroki • W kolejnych krokach postępujemy podobnie jak poprzednio. Po k krokach trójkąt będzie miał aż dziur, którymi są usunięte trójkąty różnej wielkości. Rysunek poniżej pokazuje trójkąt po 5 krokach konstrukcji.

Gra w chaos • Ciekawym algorytmem pozwalającym otrzymać trójkąt Sierpińskiego jest gra w chaos. Narysujmy trzy punkty A, B i C tak, żeby nie leżały na jednej prostej. Wybierzmy dowolny punkt D, leżący wewnątrz trójkąta ABC (Możemy wybrać także punkt spoza wnętrza trójkąta, wtedy kilka pierwszych punktów nie będzie należała do Trójkąta Sierpińskiego). Następnie należy wielokrotnie powtórzyć następującą operację: losowo wybieramy jeden z punktów A, B lub C, rysujemy punkt w połowie odległości między D i wybranym punktem. Nowo narysowany punkt oznaczamy przez D

• Można wybrać jako początkowe D dowolny punkt trójkąta lub nawet płaszczyzny. Wtedy jednak nie uzyskamy trójkąta Sierpińskiego, a jedynie ciąg punktów zbieżny do trójkąta Sierpińskiego, czyli taki, że dla dowolnego ε>0 istnieje takie N, że dla każdego n>N odległość a(n) od trójkąta Sierpińskiego jest nie większa niż ε. Liczba N zależy od ε oraz od początkowego D.

Dywan Sierpińskiego • to fraktal otrzymany z kwadratu za pomocą podzielenia go na dziewięć (3 x 3) mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego kwadratu i ponownego rekurencyjnego zastosowania tej samej procedury do każdego z pozostałych ośmiu kwadratów.

• Formalnie rzecz biorąc, oznacza to operację składającą się z nieskończonej ilości kroków, więc ściśle definiuje się w następujący sposób • Dywan Sierpińskiego jest domknięciem zbioru punktów (x, y), 0≤x≤ 1, 0≤y≤ 1 takich, że w rozwinięciu liczb x i y w trójkowym systemie liczbowym nigdzie nie występuje cyfra 1 na tym samym miejscu po przecinku.

Dywan jako krzywa • Zdumiewające jest to, że dywan Sierpińskiego jest krzywą według obecnie uznawanej definicji! Obecnie przyjmowana definicja krzywej jest równoważna (na płaszczyźnie) def. Cantora krzywych płaskich • Wymiar fraktalny dywanu Sierpińskiego wynosi ln 8/ln 3 = 1. 8928. . .

Pole powierzchni • Można udowodnić, że pole powierzchni dywanu Sierpińskiego wynosi 0. • Dowód: W kolejnych krokach konstrukcji fraktala usuwamy za każdym razem 8 n kwadratów o boku (1/3)n+1 każdy, czyli polu (1/9)n+1 każdy (n=0, 1, 2, . . . ). Tym samym pole pozostałej figury po n+1 iteracjach wynosi:

• Suma tego szeregu geometrycznego wynosi w nieskończoności: więc

Kostka Mengera • Kostka Mengera, gąbka Mengera – bryła fraktalna, trójwymiarowy odpowiednik zbioru Cantora i dywanu Sierpińskiego.

Definicja rekurencyjna • Precyzyjne określenie kostki Mengera jest następujące: • gdzie M 0 oznacza sześcian {(x, y, z) : 0 ≤ x, y, z ≤ 1}

Definicja nierekurencyjna • Kostkę Mengera można też zdefiniować w równoważny sposób nie używając rekurencji: Kostka Mengera to domknięcie zbioru punktów (x, y, z) takich, że 0 ≤ x, y, z ≤ 1 i w nieskończonych rozwinięciach współrzędnych x, y, z w trójkowym systemie liczbowym nigdzie na tej samej pozycji cyfra 1 nie występuje więcej niż jeden raz.

Konstrukcja 1. Dany jest sześcian

Tniemy go na 27 sześcianów równej wielkości płaszczyznami równoległymi do ścian

Usuwamy wszystkie sześciany przyległe do środków ścian pierwotnego sześcianu oraz sześcian znajdujący się w jego środku

Do każdego z 20 pozostałych sześcianów stosujemy poprzednią procedurę Po nieskończonej liczbie powtórzeń opisanych operacji otrzymujemy kostkę Mengera.

Własności • Wymiar fraktalny kostki Mengera wynosi: log 320 = ln 20 / ln 3 ≈ 2, 726833. • Każda ściana kostki jest dywanem Sierpińskiego. • Przekątna kostki jest zbiorem Cantora. • Kostka jest zwartym podzbiorem przestrzeni euklidesowej • a jej miara Lebesgue'a jest równa 0

Zbiór Julii • fraktal, będący podzbiorem płaszczyzny dwuwymiarowej. Mianem tym określa się każdy zbiór z pewnej rodziny zbiorów. http: //manta. univ. gda. pl/~mtruszcz/X/Julia/

Definicja • Zbiór tworzą te punkty dla których ciąg opisany równaniem rekurencyjnym • z 0 = p • Nie dąży do nieskończoności

• gdzie c – liczba zespolona będąca parametrem zbioru. Można wykazać, że jest to równoważne z: • Podsumowując jednym zdaniem:

• Dla różnych c otrzymuje się różne zbiory, stąd J jest rodziną zbiorów. • • • oto kilka przykładowych wartości parametru c: * fraktal dendrytowy: c=0+1 i * króliczy fraktal Douady'ego: c=-0. 123+0. 745 i * fraktal San Marco: c=-0. 75+0 i * dysk Siegela: c=-0. 391 -0. 587 i

Zbiór Mandelbrota • (żuk Mandelbrota, żuczek Mandelbrota) - fraktal, będący podzbiorem płaszczyzny zespolonej.

Konstrukcja • Zbiór tworzą te punkty dla których ciąg opisany równaniem rekurencyjnym: • z 0 = 0 nie dąży do nieskończoności:

• Można wykazać, że jest to równoważne z: • Podsumowując jednym zdaniem: Alternatywnie zbiór Mandelbrota definuje się jako punkty, które w rodzinie zbiorów Julii dają zbiory spójne.

Dziwny atraktor • atraktor chaotyczny jest to taki atraktor, który jest fraktalem. Jeśli w danym układzie dynamicznym występuje dziwny atraktor to jest to równoważne stwierdzeniu, że ten układ jest chaotyczny • Dziwny atraktor to taki, który jest wrażliwy na warunki początkowe. Dziwny atraktor jest zbudowany na nieskończonym zbiorze niestabilnych orbit okresowych, uporządkowanych w sposób hierarchiczny. Krótsze orbity dają zgrubne przybliżenie atraktora, zaś dłuższe ujawniają bardziej szczegółową jego topologiczną strukturę • Przykładem dziwnego atraktora jest np. atraktor Lorenza