FRAKTALE FIGURY LISSAJOUSA Magdalena Szorc informatyka 2 PROGRAM

FRAKTALE FIGURY LISSAJOUSA Magdalena Szorc informatyka + 2

PROGRAM WYKŁADU 1. POJĘCIE FRAKTALA 2. RYSOWANIE FIGUR FRAKTALNYCH a) Krzywa Kocha b) Krzywa smocza c) Trójkąt Sierpińskiego 3. POJĘCIE KRZYWEJ LISSAJOUS 4. RODZAJE KRZYWEJ LISSAJOUS informatyka + 3

POJĘCIE FRAKTALA o Fraktale to twory geometryczne, które wykazują samopodobieństwo, to znaczy, że fragment figury jest podobny do niej całej. Fraktal powstaje w wyniku nieskończonego ciągu operacji (co jest oczywiście nie do zrealizowania przy pomocy komputera), ale w praktyce wystarczy ich kilka tysięcy, aby zobaczyć istotne cechy takiej figury. o Fraktale na płaszczyźnie możemy rysować na dwa sposoby: jako zbiory punktów lub jako zbiory odcinków. Zajmiemy się najpierwszym przypadkiem. informatyka + 4

RYSOWANIE FIGUR FRAKTALNYCH o Należy stworzyć (prawie) nieskończonego ciągu punktów zgodnie z pewnymi regułami. ü Wybór punktu początkowego jest zupełnie bez znaczenia. Wystarczy więc wybrać dowolny punkt P(x, y), zaznaczyć go na płaszczyźnie i obliczyć współrzędne następnego punktu o współrzędnych (x', y') według poniższych wzorów: x' = ax + by + c y' = dx + ey + f ü Zestaw ustalonych parametrów (a, b, c, d, e, f) wyznacza nam sposób „przejścia” do nowego punktu. Nowy punkt zaznaczamy na płaszczyźnie i obliczamy współrzędne kolejnego punktu, i tak dalej. Im więcej punktów wyznaczymy, tym rysunek będzie wyraźniejszy. informatyka + 5

RYSOWANIE FIGUR FRAKTALNYCH ü Obraz fraktalny powstanie wówczas, gdy będziemy dysponować dwoma (lub więcej) zestawami odpowiednio dobranych parametrów (a, b, c, d, e, f) i w sposób losowy dokonamy wyboru, który zestaw zastosujemy. A teraz czas na kilka prostych wzorów generujących znane fraktale. informatyka + 6

RYSOWANIE FIGUR FRAKTALNYCH Krzywa Kocha: x' = 0, 5 x + 0, 29 y y' = 0, 29 x - 0, 5 y lub x' = 0, 5 x – 0, 29 y + 1, 5 y' = – 0, 29 x – 0, 5 y + 0, 87 0. 9 0. 8 0. 7 0. 6 0. 5 0. 4 0. 3 0. 2 0. 1 0 0 0. 5 1 1. 5 informatyka + 2 2. 5 7 3

RYSOWANIE FIGUR FRAKTALNYCH Krzywa smocza: x' = -0, 4 x – 1 y' = -0, 4 y + 0, 1 lub x' = 0, 76 x – 0, 4 y y' = 0, 4 x + 0, 76 y Wyboru wzorów należy dokonać z równym prawdopodobieństwem, zatem można przyjąć, że jeśli liczba losowa jest mniejsza od 0, 5, -1. 2 wtedy wybieramy pierwszy wzór, a przeciwnym przypadku – drugi wzór. 0. 4 0. 2 0 -1 -0. 8 -0. 6 -0. 4 -0. 2 0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 informatyka + 8 -0. 8 0. 2 0. 4

RYSOWANIE FIGUR FRAKTALNYCH Trójkąt Sierpińskiego: x' = λx lub x' = λx + 2 y' = λy + √ 3 lub x' = λx + 1 y' = λy + √ 3 3. 5 3 2. 5 2 1. 5 1 0. 5 0 0 0. 5 1 1. 5 2 2. 5 informatyka + 3 3. 5 9 4

POJĘCIE KRZYWEJ LISSAJOUS o Krzywa Lissajous (bądź Bowditcha) – krzywa parametryczna opisująca drgania harmoniczne, dana wzorem: x(t) = Asin(at+δ) y(t) = Bsin(bt) o Nazwy pochodzą od nazwisk Nathaniela Bowditcha, który opisał rodzinę tych krzywych w 1899, oraz Jules'a Antoine'a Lissajous, który badał je używając do tego drgających kamertonów z umocowanymi do nich zwierciadełkami. Krzywe te nazywane są też figurami Lissajous. informatyka + Źródło: http: //pl. wikipedia. org 10

RODZAJE KRZYWEJ LISSAJOUS o Kształt krzywych jest szczególnie uzależniony od współczynnika a/b. Dla współczynnika równego 1, krzywa jest elipsą, ze specjalnymi przypadkami okrąg: A=B, δ=π2 oraz odcinek: δ=0. Inne wartości współczynnika dają bardziej złożone krzywe, które są zamknięte, tylko gdy ab jest liczbą wymierną. Przykłady krzywych Lissajous o parametrach δ=π2, a – nieparzyste, b – parzyste, |a−b|=1. a = 1, b = 2 =6 a = 3, b = 2 a = 3, b = 4 11 informatyka + a = 5, b