Fra Euklid til CABRI En geometrisk reise Verdens
Fra Euklid til CABRI En geometrisk reise
Verdens eldste matematiske setning… a 2 + b 2 = c 2
Euklids postulater • I. Mellom to punkter kan trekkes en rett linje. • II. En rett linje kan forlenges ubegrenset. • III. For ethvert punkt og enhver avstand kan det produseres en sirkel. • IV. Alle rette vinkler er lik hverandre. • V. Hvis to rette linjer skjærer en tredje linje på en slik måte at de indre skjæringsvinkler på samme side er mindre enn to rette vinkler, så vil de to linjene, hvis de forlenges ubegrenset, skjære hverandre på den siden hvor vinklene er mindre enn to rette.
Parallellpostulatet
Elementene, Proposisjon 32, Bok 1: Summen av vinklene i en trekant er lik summen av to rette vinkler. Ð A + Ð B + Ð C = 2 R
Playfair’s postulat • For hver linje m og hvert punkt P som ikke ligger på m finnes det nøyaktig en linje l gjennom P som er parallell med m.
Teorem: (Nasiraddin al-Tusi, 13. århundre) Hvis vinkelsummen i enhver trekant er lik summen av to rette vinkler, så holder parallellpostulatet.
Hyperbolsk parallellpostulat • For hver linje l og hvert punkt P som ikke ligger på l, finnes minst to linjer m og n som går gjennom P og som begge er parallelle til l.
Hyperbolsk geometri • Euklids postulater I – IV + Hyperbolsk parallellpostulat • Teorem. Vinkelsummen i alle trekanter er mindre enn 180 grader.
Poincaré-modellen • Det hyperbolske plan H: det indre av enhetssirkelen. • Punkter er punkter i H. • Linjer (h-linjer): alle sirkelbuer i H som møter enhetssirkelen ortogonalt.
h-linjer i det hyperbolske plan
Postulat I i H
En trekant i H
Postulat H
En firkantreise…
. . . som er vellykket
Et konstruksjonsproblem (lenke) • Gitt en trekant ABC, konstruer et kvadrat med to hjørner på grunnlinjen AB, og de to andre hjørnene ett på hver av de to andre sidene.
En forbausende setning. . . • Morleys teorem • Hvis vinklene i en trekant tredeles så vil skjæringspunktene mellom tilliggende tredelingslinjer danne en likesidet trekant.
Litteratur og henvisninger
- Slides: 21
