FP INVOLUCIONES FP8 Prof Jos Juan Aliaga Maraver

FP: INVOLUCIONES FP_8 Prof. José Juan Aliaga Maraver Universidad Politécnica de Madrid

Involución • Una transformación convierte un elemento P 1 en P 2. • Si al aplicar la transformación a P 2= Q 1 (perteneciente Q 1 al primer conjunto) se obtiene P 1 diremos que es involutiva. F P 1 = Q 2 P 2 = Q 1 Q 2 F F INVOLUCIÓN NO INVOLUCIÓN

Centro y Potencia de involución • El punto límite de una involución es el centro de involución • Equidista de los puntos dobles en las involuciones hiperbólicas

Involuciones rectangulares Es una involución elíptica, no tiene elementos dobles b’ a’ a b

Centro de involución Cuatro puntos A, B, C y D, del plano pueden relacionarse mediante tres involuciones diferentes, de centros los puntos diagonales E, F y G, del cuadrivértice que determinan e A A’ E F B’ B En la figura se ha establecido una involución sobre una circunferencia, determinándose el eje proyectivo e y el centro de involución E. Cada punto A y su homólogo A’ se encuentran alineados con el centro E G

FP_8 P_01 Involución Determinar los puntos dobles de la involución establecida entre las series superpuestas s y s’. Enunciar el problema dual A B’ B A’

Involución FP_8 P_02 Determinar los puntos dobles de la involución establecida entre las series superpuestas de segundo orden. Enunciar el problema dual A A’ B’ B

Involución FP_8 P_03 Determinar el centro de involución establecido entre las series superpuestas de segundo orden. Enunciar el problema dual A B’ A’ B

FP_8 P_04 Involución Determinar los puntos dobles de la involución establecida entre las series superpuestas s y s’. Enunciar el problema dual A B’ B A’

FP_8 P_05 Proyectividad Sea la recta (s), paralela al plano de proyección, dada por las proyecciones en sistema central de dos de sus puntos, obtener el punto principal V”. (V) B A (B) (A) (s) B” s=s” A” P FIGURA DE ANÁLISIS B A B” A” s=s”

FP_8 P_06 Proyectividad Sea la recta (s) dada por las proyecciones en sistema central de dos de sus puntos, obtener el punto I de intersección de dicha recta. ) (B ) (A (V) ) (s A B V” B” A” s=s” P FIGURA DE ANÁLISIS A B V” B” A” s=s”

Proyectividad FP_8 P_07 Sea la recta (s) dada por las proyecciones de tres de sus puntos, obtener el punto de intersección de dicha recta y el V” del sistema central en el que está representada. ) (C (B ) ) (A (V) ) (s A B C C” B” A” s=s” P FIGURA DE ANÁLISIS A B C C” B” A” s=s”

Involución FP_8 P_08 En proyección cilíndrica tenemos dos pares de direcciones coplanarias y perpendiculares entre sí, a-a’ y b-b’. Obtener la dirección, también coplanaria, que sea perpendicular a r. Sistema axonométrico Perspectiva caballera b’ b’ a a b r a’ FIGURA DE ANÁLISIS b a’ r

Involución FP_8 P_09 En proyección cónica tenemos los puntos de fuga de dos pares de direcciones coplanarias y perpendiculares entre sí, Fa-Fa’ y Fb-Fb’. Obtener el punto principal, V”, alineado con los anteriores y la potencia de la involución. (V) (a) Fa Fb (b) r V” (a’) (b’) Fa’ Fb’ P FIGURA DE ANÁLISIS Fa Fb Fa’ Fb’

Polo y polar Q T 1 (ABPP’)=-1 R A P’ T 2 B P