FP FORMAS DE SEGUNDO ORDEN FP6 Prof Jos

FP: FORMAS DE SEGUNDO ORDEN FP_6 Prof. José Juan Aliaga Maraver Universidad Politécnica de Madrid

Series de segundo orden Los puntos comunes a dos haces coplanarios de rectas, proyectivos entre sí, determinan una serie de puntos de segundo orden de base una curva denominada cónica proyectiva puntual. V 2 V 1 c 1 C A a 2 a 1 B b 2 b 1 c 2

Haces de segundo orden Las rectas comunes a dos series coplanarios de rectas, proyectivos entre sí, determinan un haz de rectas de segundo orden de base una curva denominada cónica proyectiva tangencial. A 1 r B 1 C 1 c a s b A 2 C 2 B 2

CIRCUNFERENCIA COMO SERIE DE SEGUNDO ORDEN Al proyectar desde cualquier par de puntos V 1 y V 2 de una circunferencia los puntos de la misma, se obtienen dos haces congruentes, y por lo tanto proyectivos V 2 (ABCD)=(a 1 b 1 c 1 d 1)=(a 2 b 2 c 2 d 2) V 1 A D B C d 2 d 1 c 2 c 1 a 1 b 2 a 2

Centro proyectivo El centro proyectivo de dos haces congruentes se encuentra en la intersección de las tangentes en los vértices V 1 y V 2 a la circunferencia determinada por los puntos A, B, C. . . de intersección de cada par de rectas homólogas C El segmento AB se observa desde cualquier punto de la circunferencia bajo un mismo ángulo. Igualmente el resto de segmentos BC, CD. . . V 2 V 1 Los haces son congruentes al ser iguales los respectivos ángulos entre rectas homólogas A D B C d 2 d 1 c 2 c 1 b 2 a 1 La razón doble entre cuatro rectas homólogas se conserva, por lo que son proyectivos dichos a 2 haces.

Series de primer orden y de segundo Se pueden relacionar los elementos de una serie (ABC. . . ) de primer orden y una serie de segundo orden mediante una proyección desde cualquier punto V de una circunferencia V L 2 (ABCD)=(A 1 B 1 C 1 D 1) A 2 B 2 A B C 2 C L

Series de segundo orden FP_6 P_01 Determinar otros dos puntos R y S, de la serie (ABC. . . ) de segundo orden, que se encuentren sobre las rectas r y s respectivamente. Enunciar el problema dual s r a V 1 A B V 2 C c b

FP_6 P_02 Series de segundo orden Una cónica está determinada por cinco puntos A, B, C, D y E. Determinar el punto I de salida de una recta r que parte del punto D. . Enunciar el problema dual r E A B D C

FP_6 P_03 Series de segundo orden Una cónica está determinada por cinco puntos A, B, C, D y E. Determinar la tangente en el punto D. Enunciar el problema dual E A B D C

FP_6 P_04 Series de segundo orden Una cónica está determinada por cuatro puntos B, C, D y E y la tangente t en uno de ellos. Determinar la tangente en el punto E. Enunciar el problema dual E B t D C