Fotografa Area Inclinada Propiedades y Teoremas Propiedades esenciales

Fotografía Aérea Inclinada. Propiedades y Teoremas Propiedades esenciales de las figuras perspectivas planas: - 2 figuras planas están en posición perspectiva si: a) se corresponden punto a punto (homólogos) b) la recta que une dos puntos h. pasa por un punto fijo (punto de vista) - Propiedades de 2 secciones planas de un mismo haz de vértice S: 1) A un punto de una figura le corresponde un punto único en la otra 2) A una recta de un plano le corresponde una recta en el otro a b 3) Dos rectas homólogas r y R se cortan en la recta de intersección D de los dos planos A B 4) A un haz de rectas concurrentes en un plano le corresponde otro en el otro plano siendo los vértices puntos homólogos.

Definiciones importantes -Punto nadiral (n): Vertical en S p. Su homólogo es N -Isocentro (i). Su homólogo es I -Línea de máxima pendiente (de la foto): win -Línea de fuga u horizontal principal del fotograma: (plano horizontal que pasa por S) p -Punto de fuga (F): línea de fuga línea de máxima pendiente h S h t f w n línea de fuga u horizontal principal recta a : horizontal perpendicular ┴ a NY b’ i línea de máxima pendiente F A’ recta b : paralela a NY recta c : vertical a’ c’ -Sus imágenes son: vertical p Y c W b P X b’ : pasa por el punto de fuga F c’ : pasa por el nadir n I N a a’ : ┴ línea de máxima pendiente

Conclusiones importantes 1) Las verticales (como c) aparecen radiadas desde el nadir en una foto inclinada 2) Una cuadrícula de líneas horizontales y verticales paralelas a NY y NX dan imágenes como las que aparecen en la figura. Propiedad fundamental del isocentro: Los ángulos imagen con vértice en el isocentro, coinciden con los del terreno. En la foto: F Punto de fuga edificio suelo w w n línea principal n

Propiedad fundamental del isocentro: Los ángulos imagen con vértice en el isocentro de una foto inclinada, coinciden con los del terreno de vértice I, siempre que este sea horizontal. En la foto: Los triángulos Sin y Siw son iguales d ’ La recta de intersección de los planos imagen y terreno queda cortada en el punto K por las rectas win y WIN por lo que el triángulo i. IK es isósceles. Y por tanto los planos p y P están igualmente inclinados sobre la arista del diedro. d’ Al cortar a un diedro por planos igualmente inclinados sobre su arista se obtienen ángulos iguales, así = ’ D D’

Sistema auxiliar en fotos inclinadas y El sistema xy es el sistema fiducial El sistema x’y’ es el auxiliar, el eje y’ coincide con la línea de máxima pendiente de la foto Y’ En el triángulo rayado verticalmente el cateto grande = ya • cos a x O S n En el triángulo rayado grande el cateto pequeño = xa • sen Por tanto: y’a = xa • sen + ya • cos + f • tant De forma similar se obtiene: C x’ t f O f • tant n x’a = xa • cos - ya • sen

Desplazamiento de la imagen debido a la inclinación Los triángulos Swi y Sw’i son rectángulos e iguales por tener Sw=Sw’=f. Por tanto Si es bisectriz de w. Sn y por tanto i es el isocentro S t f a’ e = e’ al f w w’ e ’ i in rig oo b e b” Fot b’ Por semejanza de triángulos se llega a: Foto vertical a r = ib”= ib dr = b”b’ Al ser rsent muy pequeño frente a f nos queda: A N B dr = r 2 · sen t/f

Desplazamiento de la imagen debido al relieve Los desplazamientos debidos al relieve, dr, se radian desde el nadir y dependen de: S aa’ = dr na’ = r f * Altura de vuelo a n * Altitud del punto a’ * Inclinación de la cámara y * Posición de la imagen H Las fotos verticales el ángulo de inclinación es menor de 3 g y wn ≤ 8 mm por lo que se puede utilizar la fórmula para fotos verticales: N 1 A dh N A’ A” dr = r. dh/H

Escala de una fotografía inclinada En el esquema, el plano kk’aa’ es la foto estrictamente vertical equivalente (plano horizontal que pasa por a) S fv En la figura: ND: nadir en el datum NDY, NDX: plano horizontal a: imagen de A aa’ es perpendicular a la línea de máxima pendiente aa’kk’: plano horizontal fv= Sk = Sn-kn ; ¿cuánto vale fv? t y’ f a’ k n k’ w a a” x’ H Sn = f/cos t Por otro lado: na’ = ya’ , kn = ya’ sent Y A’ A K ND h. A A” X entonces, fv = Sn – kn = (f/cos t) – ya’ sen t Y por tanto, la escala de la foto inclinada:

Sustituyendo: t Que para t = 0 queda: y por tanto: igual que en foto vertical

Coordenadas Terreno a partir de medidas realizadas en la Fotografía Inclinada Partiendo de la figura anterior: S fv t y’ f a’ k n k’ w Sistema de coordenadas (x’, y’): y’ : Línea de máxima pendiente x’ : perpendicular a y’ que pasa por n -Coordenadas Terreno de un punto medido en la foto inclinada: a a” x’ H Y A’ A K ND h. A A” X

Problema Una foto se ha tomado con una cámara de 152, 4 mm de focal desde una altura de vuelo de 2266 m. El ángulo de inclinación t es de 2, 53º. El punto A tiene una altitud de 437 m y las coordenadas imagen respecto al sistema auxiliar son: xa = -110, 8 mm ya = 30, 4 mm. ¿Cuál es la escala en el punto a? Considerar coincidente el sistema auxiliar con el fiducial. cos t= 0, 999025246 seno t= 0, 04414248

Se ha tomado una fotografía con una cámara de focal 152, 4 mm desde una altura de 2500 m respecto al nivel del mar. Los ángulos de inclinación y giro son 2º, 5 y 218º respectivamente. El punto A tiene una altitud de 434 m y sus coordenadas imagen respecto al sistema fiducial son: xa = -7, 24 mm ya = 8, 71 mm ¿Cuál es la escala en el punto a?

Se ha medido un punto b en la fotografía anterior y sus coordenadas respecto al sistema fiducial son xb = 7, 85 mm yb = -4, 52 mm. La altitud del punto B es de 484 m. calcular las coordenadas terreno de A y B y la distancia horizontal AB.

Realizar una tabla para las focales de 90, 150 y 300 mm donde para una distancia desde el isocentro dada y un ángulo de inclinación dado calcular el desplazamiento de los puntos imagen producido por la inclinación de la cámara tg r cm 1 3 5 7 9 11 1 2 3 4 5

Realizar una tabla para las focales de 90, 150 y 300 mm donde para una distancia desde el nadir dada y unas escalas de fotografía dadas calcular el desplazamiento de los puntos imagen producido por las altitudes de los puntos del terreno que se indican. h (m) r cm 400 500 600 700 1 3 5 7 9 11 EF = 1/10000, EF = 1/18000 y EF = 1/40000 800