FORMAS BILINEALES Y CUADRTICAS Y SUS APLICACIONES EN

FORMAS BILINEALES Y CUADRÁTICAS Y SUS APLICACIONES EN SECCIONES CÓNICAS Y SUPERFICIES CUÁDRICAS

¿QUÉ ES UNA FORMA BILINEAL?

Sea K un cuerpo y V un K-espacio vectorial La función f: V x V K es una forma bilineal sobre V si y sólo si es lineal sobre los dos argumentos. Es decir, f es bilineal si y sólo si satisface que: f (ax+bx’, y)= af (x, y) + bf (x’, y) f (x, cy + dy’)=cf (x, y) + df (x, y’) Para todos a b c d pertenecientes a K y x x’ y y’ pertenecientes a V De esta definición se desprende que f (ax, y) = af (x, y) = f (x, ay)

MATRIZ DE UNA FORMA BILINEAL Sea T una forma bilineal en un espacio V y sea {e 1, e 2, …, en} una base de V. Sinx, y e V son de la forma x= S i=1 xiei y= S n j=1 yjej n n Entonces la forma T(x, y) = T(S i=1 xiei , S j=1 yjej) = S i=1 xi S j=1 yj T(ei, ej) y T(ei, ej)=aij los cuales forman una matriz cuadrada T llamada matriz de la forma bilineal T en la base {e 1, e 2, …, en} a 11 a 12. . a 1 n a 21 a 22. . a 2 n : : : an 1 an 2. . ann T(x, y)=Xt. AY

Forma bilineal simétrica Una forma bilineal es simétrica si y sólo si f (x, y) = f (y, x) cualesquiera que sean x e y en V PROPIEDAD La matriz A e Knxn representa una forma bilineal simétrica si y sólo si A es simétrica

1 Sea f la forma bilineal simétrica asociada a A f simétrica f(x, y)=f(y, x) Xt. AY = Yt. AX = (Yt. AX)t - por ser Yt. AX un escalar (Yt. AX)=Xt. At. Y – por ser traspuesta de producto Xt. At. Y=Xt. At. Y Xt(A-At)Y=0 para todos X, Y pertenecientes a Knx 1 en consecuencia A-At=0 A=At 2 Si A es simétrica entonces f(x, y)=Xt. AY=(Xt. AY)t=Yt. At. X=Yt. AX= f(y, x)

Una forma bilineal se dice antisimétrica si cumple f (x, y) = -f (y, x) Toda forma bilineal se puede escribir como suma de una simétrica y una antisimétrica DEMOSTRACIÓN Sea A(x, y) forma bilineal. Tomo B(x, y)= A(x, y) + A(y, x) y C=A(x, y) – A(y, x) B es simétrica y C antisimétrica. B(x, y) + C(x, y) = 2 A(x, y)= (B(x, y) + C(x, y))/2

Formas Hermitianas Si V es un C-espacio vectorial la forma f: Vx. V C es una forma hermitiana si y sólo si V es simétrica respecto del primer argumento y tiene simetría conjugada O sea -f (ax + bx’, y) = af(x, y) + bf(x’, y) -f (x, y) = f(y, x) Una forma hermitiana se puede escribir como f(x, y)=Xt. AY siendo A la matriz de la forma, la cual cumple A=At

FORMAS CUADRÁTICAS Una forma cuadrática sobre V es toda función simétrica de la forma f(x, x) para x perteneciente a V. f(x, x)= Xt. AX Se obtiene A(x, x)= SSaijxixj El desarrollo de la forma, en términos de las variables x 1, x 2, . . . , xn corresponde a un polinomio de grado 2, donde los coeficientes de los términos cuadráticos son los elementos de la diagonal de la matriz simétrica correspondiente, y cada coeficiente de un término rectangular xixj es el duplo del elemento aij de la misma

Se denomina matriz de una forma cuadrática en una base {e 1, …, en} a la matriz de la forma bilineal simétrica que la genera en la misma base. Como la forma bilineal dada antes es simétrica y genera a A(x, x)= SSaijxixj Entonces la matriz de una forma cuadrática tiene la siguiente forma a 11 (a 12)/2…(a 1 n)/2 (a 12)/2 a 22…(a 2 n)/2 : : : : : : : (a 1 n)/2 (a 2 n)/2…ann

Formas bilineales y cuadráticas en un espacio euclídeo Sea A : Ex. E R una forma bilineal en un espacio euclídeo E con producto escalar (, ). Existe una aplicación lineal A’: E E tal que A(x, y)=(x, A’(y)). Además las matrices de A y A’ en una misma base ortonormal coinciden.

Demostración Si A(aij)i, j=1 n es la matriz de la forma bilineal A en base {e 1, . . . , en} podemos escribir A(x, y)=SSaijxiyj x=Sxiei y=Syjej Sea A’ la aplicación lineal de E en E que tiene como matriz A en la base {e 1, . . . , en}, es decir A’(ej)= a 1 je 1 +. . . + anjen. Se tiene que (x, A’(y))=(Sxiei , A’(Syjej))= SSxiyj(ei , A’(ej)) = SS (ei, a 1 je 1 +. . . + anjen) = (x, A’(y))= SSxiyjaij

TEOREMA: Reducción a forma canónica Dada una forma cuadrática A(x, x) en un espacio euclídeo E existen números reales l 1, . . . , ln y una base ortonormal {u 1, …, un}de E tal que para x= S xiui Se tiene que A(x, x)= l 1 x 12 + l 2 x 22 +…+ lnxn 2 Demostración Se sabe que A(x, x) = (x, A’(x)) , A’ tiene la misma matriz que A en una base ortonormal, por ende, la matriz de A’ es simétrica. Como toda matriz simétrica es diagonalizable, entonces existe la base {u 1, …, un} tal que A’(x)= A(S xjuj) =S xj A’(uj)= S xjljuj donde son los autovalores de A’ A(x, x)=(x, A’(x))=(S xiui , S xjljuj ) = SSxixjlj (ui, uj) = Sxi 2 li y Sxi 2 li= l 1 x 12 + l 2 x 22 +. . . + lnxn 2

CÓNICAS Y CUÁDRICAS La expresión general de las cónicas es un polinomio de dos variables de la forma: a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 12 xy +a 1 x + a 2 y + a= 0 La generalización a tres dimensiones es de la forma: a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 33 z 2+ a 12 xy + a 13 xz + a 23 yz+a 1 x + a 2 y + a 3 z + a= 0 que recibe el nombre de superficie de segundo grado en R 3 o cuádrica. Los términos de orden 2 determinan una forma cuadrática A en R 3 cuya matriz es a 11 (a 12)/2 (a 13)/2 (a 12)/2 a 22 (a 23)/2 (a 13)/2 (a 23)/2 a 33

Si se escribe X=(x, y, z) y se reemplaza la parte lineal con L(X)= a 23 yz+a 1 x + a 2 y + a 3 z Entonces la ecuación anterior se puede escribir A(X, X) + L(X) + a = 0 Como A(X, X) es una forma cuadrática en el espacio euclídeo R 3 puede reducirse, en una base ortonormal, a una suma de cuadrados l 1 x 1 2 + l 2 y 1 2 + l 3 z 1 2 con los autovalores de la matriz de A. En esta nueva base la ecuación queda de la forma l 1 x 1 2 + l 2 y 1 2 + l 3 z 1 2 + b 1 x 1 + b 2 y 1 + b 3 z 1 + b = 0

CASO I = Todos los autovalores son distintos de cero Como todos los autovalores son distintos de cero, completando cuadrados en la ecuación se obtiene l 1(x 1 + b 1/2 l 1)2 + l 2(y 1 + b 2/2 l 2)2 + l 3(z 1 + b 3/2 l 3)2 = C Hacemos traslación x 2=x 1 + b 1/2 l 1 y 2=y 1 + b 2/2 l 2 z 2=z 1 + b 3/2 l 3 y entonces se puede escribir la forma como l 1 x 2 2 + l 2 y 2 2 + l 3 z 2 2 = C Forma canónica de superficie con centro en C

Si C no es 0 entonces en la ecuación se puede dividir por C y queda a b y c se denominan semiejes de la superficie excluyendo el caso en el que todos los términos son negativos ya que presenta un absurdo, se pueden presentar los siguientes casos

Ia) al cortar con planos paralelos al plano x 2 y 2 , es decir, z 2=d se obtienen elipses de la forma siempre que lcl > ldl De manera similar se puede proceder con x 2=d e y 2=d obteniendo elipses siempre que lal>ldl y lbl>ldl respectivamente La superficie descrita por esta ecuación es un ELIPSOIDE

Ib) al cortar por planos z=d se obtienen ecuaciones de elipses para todo d e R Al tomar x=0 se obtiene una hipérbola Al tomar y=0 se obtiene una hipérbola La superficie descrita por esta ecuación es un HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA

Ic) al cortar con planos z=d se obtienen hipérbolas de ecuación cuando y=0 se forma la hipérbola cuando x=d se obtiene elipse La superficie es un HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS siempre que ldl>lal

Si C=0 y todos los términos son positivos o negativos, la única solución es el punto (0, 0, 0) En el resto de los casos se puede suponer dos positivos y uno negativo Tomamos l 1 > 0 l 2>0 y l 3 < 0 y en la ecuación dividimos por l l 3 l obtenemos en planos z=d produce elipses si y=0 obtenemos rectas igual si hacemos x=0 La superficie descrita es un CONO ELÍPTICO

CASO II: Podemos suponer l 3 = 0 y completamos cuadrados en y obtenemos La traslación x 2=x 1 + b 1/2 l 1 y 2=y 1 + b 2/2 l 2 z 2 = z 1 Transforma la superficie anterior en l 1 x 2 2 + l 2 y 2 2 + b 3 z 2 = C

Pueden presentarse dos casos: a) b 3=/=0 b)b 3 = 0 a) Como b 3 =/=0 tomamos la traslación x 3=x 2 y 3=y 2 z 3= -z 2 + C/b 3 y la ecuación queda de la forma y se puede tomar considerando Esto nos deja dos casos i) ii)

i) Los planos z 3=d producen elipses siempre que d>0, si d=0 queda un punto, y si d<0 no hay intersección si y 3=0 se obtiene parábola si x 3=0 se obtiene parábola La ecuación produce un PARABOLOIDE ELÍPTICO

ii) el plano z 3=0 produce rectas si z 3=d, d>0 se obtienen hipérbolas con eje principal en dirección de x 3 si z 3= d, d<0 se obtienen hipérbolas con eje principal en dirección de y 3 El plano y=0 produce parábola z 3=x 32/a 2 El plano x=0 produce parábola z 3=-y 32/b 2 La ecuación produce PARABOLOIDE HIPERBÓLICO

b) Si b 3=0 la ecuación se escribe de la forma l 1 x 2 2 + l 2 y 2 2 = C Puesto que z no aparece, la ecuación representa una superficie degenerada, independientemente del plano z=d que se tome, la intersección será la cónica. Superficie CILÍNDRICA, dependiente de signos y valores de autovalores y de C Puede ser -CILINDRO ELÍPTICO generado por elipse -CILINDRO HIPERBÓLICO generado por hipérbola -DOS PLANOS QUE SE CORTAN generado por rectas -RECTA generada por punto

CASO III: supongamos l 2 = l 3 = 0 La ecuación se transforma en l 1 x 1 2 + b 1 x 1 + b 2 y 1 + b 3 z 1 + b = 0 La traslación x 2 = x 1 + b 1/2 l 1 y 2= y 1 z 2 = z 1 Transforma la ecuación en l 1 x 22 + b 2 y 2 + b 3 z 2 + b’ = 0

Si tomamos b 2=b 3=0 La ecuación se reduce a l 1 x 22 + b’ = 0 La cual tendrá dos resultados, uno solo, o ninguno, dependiendo de los valores y signos del autovalor y de b’. Como ahora tenemos z e y libres, la ecuación genera dos planos paralelos, un plano, o el conjunto vacío Si al menos uno de los b 2 b 3 es distinto de 0 realizamos transformación s la cual es una transformación ortogonal, y nos deja sin la variable z en como queda la ecuación.

Con la traslación queda Parábola Entonces, la superficie degenerada resultante es un CILINDRO PARABÓLICO