Fondamenti di Informatica I Monica Bianchini ENIAC 1946

Fondamenti di Informatica I Monica Bianchini ENIAC (1946 ca. ) Dipartimento di Ingegneria dell’Informazione E-mail: monica@dii. unisi. it Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 1

Sommario Introduzione il calcolo automatico dalla preistoria ai giorni nostri L’algebra di Boole da Analisi Matematica della Logica (1847) al progetto degli elaboratori digitali Sistemi di numerazione da additivo a posizionale, da decimale a binario, a esadecimale: l’alfabeto dell’elaboratore UNIVAC (1951) La rappresentazione dei dati e l’aritmetica degli elaboratori dai bit ai numeri, ai testi, alle immagini, alla musica, ai video in digitale Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 2

Introduzione Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 3

Cenni storici 1 Anche se la presenza “invasiva” dell’informatica nella vita di tutti i giorni è un fenomeno relativamente recente, non recente è la necessità di avere a disposizione strumenti e metodi per contare rapidamente, elaborare dati, “calcolare” Le prime testimonianze di strumenti per contare risalgono a 30. 000 anni fa I primi esempi di algoritmi procedure di calcolo “automatico” sono stati ritrovati in Mesopotamia su tavolette babilonesi risalenti al 1800 1600 a. C. Il sogno di costruire macchine capaci di effettuare calcoli automatici affonda le radici nel pensiero filosofico del ‘ 600: Pascal e Leibniz non solo affrontarono il problema, già studiato da Cartesio, di automatizzare il ragionamento logico matematico, ma si cimentarono nella realizzazione di semplici macchine per calcolare (capaci di effettuare somme e sottrazioni) Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 4

Cenni storici 2 La macchina alle differenze, differenze concepita da Babbage nel 1833, rappresenta il primo esempio di macchina programmabile di utilità generale La prima programmatrice nella storia dell’informatica è Ada Augusta Byron, contessa di Lovelace In seguito, lo stesso Babbage progetta la macchina analitica (mai realizzata, troppo complessa e critica la sua costruzione per le tecnologie meccaniche dell’epoca) Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 5

Cenni storici 3 Fu Herman Hollerith, nel 1890, a sviluppare la macchina a schede perforate, perforate per compiere le statistiche del censimento decennale degli Stati Uniti I dati venivano immessi su schede di cartone opportunamente perforate, le stesse schede che sono state usate fino a due decenni or sono Le schede venivano successivamente “contate” da una sorta di pantografo che permetteva diversi tipi di elaborazioni (totali, medie, statistiche, etc. ) Si impiegarono due anni e mezzo ad analizzare i dati (contro i sette anni del censimento del 1880), nonostante l’incremento di popolazione da 50 a 63 milioni Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 6

Cenni storici 4 Successivamente la macchina a schede perforate venne utilizzata con successo per i censimenti in Austria, Norvegia e Russia, tanto che Hollerith decise di fondare una società: la Computing Tabulating Recording Company che, nel 1923, divenne l’International Business Machine, o IBM Nel 1932, il tedesco Konrad Zuse realizza una macchina elettromeccanica in grado di eseguire calcoli controllo programmato, ed introduce il sistema di numerazione binario (la cui algebra era stata definita da Leibniz e da Boole) Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 7

Cenni storici 5 Durante la seconda guerra mondiale, fioriscono i progetti di elaboratori da utilizzarsi per scopi bellici Enigma, Enigma realizzata dai tedeschi per codificare le comunicazioni militari Red Purple, Purple di costruzione giapponese Computer Colossus, Colossus costruito dagli inglesi per la decifrazione dei messaggi tedeschi, alla cui progettazione e realizzazione collaborò Alan Turing, Turing permise la vittoria anglo americana sull’Atlantico Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 La macchina Enigma 8

Cenni storici 6 Con l’invenzione del tubo a vuoto (1904), del transistor (1947) e, infine, dei circuiti integrati (1969), l’evoluzione dei computer divenne inarrestabile Attualmente la potenza di calcolo degli elaboratori decuplica ogni 5 6 anni (…ma non può durare, almeno con le tecnologie in uso) Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 9

Cenni storici 7 La costruzione dei primi calcolatori risale all’inizio degli anni ‘ 40, grazie alla tecnologia elettronica; i primi esemplari venivano programmati mediante connessioni elettriche e commutatori (ENIAC, ENIAC Mark I) I Il nome di Von Neumann è legato invece ai primi calcolatori a programma memorizzato realizzati alla fine degli anni ‘ 40 (EDSAC, EDSAC Whirlwind, Whirlwind IAS, IAS UNIVAC) UNIVAC Per la prima volta, vige il principio di unitarietà di rappresentazione di dati e istruzioni, che vengono codificati, all’interno dell’elaboratore, in maniera indistinguibile La diffusione dei calcolatori a livello mondiale è avvenuta nei decenni ‘ 60 e ‘ 70 Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 10

Cenni storici 8 ENIAC (1946) Whirlwind (1949) Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 Mark I (1948) IAS (1952) EDSAC (1949) UNIVAC (1952) 11

Cenni storici 9 Tuttavia, l’esplosione dell’informatica come fenomeno di massa è datata 1981, anno in cui l’IBM introdusse un tipo particolare di elaboratore: il Personal Computer (PC) La particolarità dei PC consisteva nell’essere “assemblati” con componenti facilmente reperibili sul mercato (e quindi a basso costo) Possibilità per qualsiasi casa produttrice di costruire “cloni” Attualmente i PC, o meglio il loro componente fondamentale il microprocessore è utilizzato in tutti i settori applicativi (non solo per elaborare dati): Telefoni cellulari Ricevitori satellitari digitali Bancomat e carte di credito Lavatrici e forni a microonde Computer di bordo e ABS. . . Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 12

Cenni storici 10 L’esigenza di realizzare sistemi di elaborazione dotati di più processori operanti in parallelo è stata sentita fin dalla preistoria dell’informatica In una relazione dello scienziato, generale e uomo politico italiano Menabrea, datata 1842, sulla macchina analitica di Babbage, si fa riferimento alla possibilità di usare più macchine dello stesso tipo in parallelo, per accelerare calcoli lunghi e ripetitivi Solo la riduzione dei costi dell’hardware ha consentito, verso la fine degli anni ‘ 60, l’effettiva costruzione dei primi supercalcolatori, come le macchine CDC 6600 e Illiac e, successivamente, il Cray e le macchine vettoriali A partire dagli anni ‘ 90, gli ulteriori sviluppi della microelettronica hanno permesso la realizzazione di calcolatori a parallelismo massiccio e a “grana fine”, caratterizzati dall’interconnessione di decine di migliaia di unità di elaborazione estremamente elementari: le reti neurali, neurali capaci di “simulare” il comportamento del cervello umano, sulla base degli studi di Mc. Culloch e Pitts (1943) Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 13

Cenni storici 11 Cray 1 (1976) Illiac (1955) Cray X 1 (2002) CDC 6600 (1963) PC IBM (1981) Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 Portatile e Palmare (oggi) 14

Frasi celebri ed altro… “Penso che ci sia mercato nel mondo per non più di cinque computer. ” (Thomas Watson, Presidente di IBM, 1943) “Ho girato avanti e indietro questa nazione (USA) e ho parlato con la gente. Vi assicuro che questa moda dell’elaborazione automatica non vedrà l’anno prossimo. ” (Editor di libri scientifici di Prentice Hall, 1947) “Nel futuro i computer verranno a pesare non più di una tonnellata e mezzo. ” (Popular Mechanichs, 1949) Nel 1976, il New York Times pubblicò un libro dal titolo La scienza nel ventesimo secolo, secolo nel quale il calcolatore veniva menzionato una sola volta e indirettamente, in relazione al calcolo delle orbite dei pianeti “Non c’è ragione perché qualcuno possa volere un computer a casa sua. ” (Ken Olson, fondatore di Digital, 1977) Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 15

Che cos’è l’informatica 1 Informatica fusione delle parole informazione e automatica l’insieme delle discipline che studiano gli strumenti per l’elaborazione automatica dell’informazione e i metodi per un loro uso corretto ed efficace L’informatica è la scienza della rappresentazione e dell’elaborazione dell’informazione L’accento sull’ “informazione” fornisce una spiegazione del perché l’informatica sia ormai parte integrante di molte attività umane: laddove deve essere gestita dell’informazione, l’informatica è un valido strumento di supporto Il termine “scienza” sottolinea il fatto che, nell’informatica, l’elaborazione dell’informazione avviene in maniera sistematica e rigorosa, e pertanto può essere automatizzata Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 16

Che cos’è l’informatica 2 L’informatica non è, quindi, la scienza e la tecnologia dei calcolatori elettronici: il calcolatore è lo strumento che la rende “operativa” L’elaboratore (computer, calcolatore) è un’apparecchiatura digitale, digitale elettronica ed automatica capace di effettuare trasformazioni sui dati: Digitale: Digitale i dati sono rappresentati mediante un alfabeto finito, costituito da cifre (digit), digit che ne permette il trattamento mediante regole matematiche Elettronica: Elettronica realizzazione tramite tecnologie di tipo elettronico Automatica: Automatica capacità di eseguire una successione di operazioni senza interventi esterni “La disumanità del computer sta nel fatto che, una volta programmato e messo in funzione, si comporta in maniera perfettamente onesta. ” (Isaac Asimov) Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 17

L’architettura di Von Neumann La capacità dell’elaboratore di eseguire successioni di operazioni in modo automatico è determinata dalla presenza di un dispositivo di memoria Nella memoria sono registrati i dati e. . . la descrizione delle operazioni da eseguire su di essi (nell’ordine secondo cui devono essere eseguite): il programma, programma la “ricetta” usata dall’elaboratore per svolgere il suo compito Il programma viene interpretato dall’unità di controllo Modello di Von Neumann Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 18

La macchina universale Programma: Programma sequenza di operazioni atte a predisporre l’elaboratore alla soluzione di una determinata classe di problemi Il programma è la descrizione di un algoritmo in una forma comprensibile all’elaboratore Algoritmo: Algoritmo sequenza finita di istruzioni attraverso le quali un operatore umano è capace di risolvere ogni problema di una data classe; non è direttamente eseguibile dall’elaboratore L’elaboratore è una macchina universale: universale cambiando il programma residente in memoria, è in grado di risolvere problemi di natura diversa (una classe di problemi per ogni programma) Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 19

Ancora sull’informatica. . . L’informatica è lo studio sistematico degli algoritmi che descrivono e trasformano l’informazione: la loro teoria, analisi, progetto, efficienza, realizzazione (ACM Association for Computing Machinery) Nota: Nota È possibile svolgere un’attività concettualmente di tipo informatico senza l’ausilio del calcolatore, per esempio nel progettare ed applicare regole precise per svolgere operazioni aritmetiche con carta e penna; l’elaboratore, tuttavia, è uno strumento di calcolo potente, che permette la gestione di quantità di informazioni altrimenti intrattabili Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 20

L’algebra di Boole Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 21

Algebra Booleana Contempla due costanti 0 e 1 (falso e vero) vero Corrispondono a due stati che si escludono a vicenda Possono descrivere lo stato di apertura o chiusura di un generico contatto o di un circuito a più contatti 0 1 Si definiscono delle operazioni fra i valori booleani: AND, AND OR, OR NOT sono gli operatori fondamentali Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 22

L’operazione di OR Si definisce l’operazione di somma logica (OR): il valore della somma logica è il simbolo 1 se il valore di almeno uno degli operandi è il simbolo 1 0 0 0 1 1 1 Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 0 0 0 1 0+0 0+1 1 1 0 1 1+0 1+1 23

L’operazione di AND Si definisce l’operazione di prodotto logico (AND): il valore del prodotto logico è il simbolo 1 se il valore di tutti gli operandi è il simbolo 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 0 1 1 1 24

La negazione NOT Si definisce l’operatore di negazione (NOT): l’operatore inverte il valore della costante su cui opera 0 1 1 0 Dalla definizione… 0 0 1 1 Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 25

Variabili binarie Una variabile binaria indipendente può assumere uno dei due valori 0 e 1 0 x 1 Date n variabili binarie indipendenti, la loro somma logica (OR) è 1 se almeno una xi vale 1 x 1 + x 2 + …+ x n = Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 0 se x 1= x 2= …= xn = 0 26

AND e NOT con variabili binarie Date n variabili binarie indipendenti, il loro prodotto logico (AND) è 0 se almeno una xi vale 0 x 1 x 2 … x n = 1 se x 1= x 2= …= xn = 1 La negazione di una variabile x è x=0 x=1 Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 se se x=1 x=0 27

Alcune identità Si verificano x 1 x x 0 0 x x + 1 1 x + 0 x x + x x Ad esempio… x 0 x 1 x 0 1 0 x 1 1 1 1 OK! Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 28

Altre proprietà Per gli operatori AND e OR valgono le seguenti proprietà: commutativa x 1+x 2 x 2+x 1 associativa x 1+x 2+x 3 x 1+(x 2+x 3) distributiva del prodotto rispetto alla somma x 1 x 2 x 3 x 1 (x 2 x 3) x 1 x 2 + x 1 x 3 x 1 (x 2+x 3) Per l’operatore NOT si provano le seguenti identità: x + x 1 x x 0 x x Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 29

Configurazioni delle variabili Date n variabili binarie indipendenti x 1, x 2, …, xn, queste possono assumere 2 n configurazioni distinte Ad esempio per n 3 si hanno 8 configurazioni 000 001 010 011 100 101 110 111 x 1 x 2 x 3 Una configurazione specifica è individuata univocamente da un AND (a valore 1) di tutte le variabili, dove quelle corrispondenti ai valori 0 compaiono negate 010 Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 x 1 x 2 x 3 30

Funzioni logiche Una variabile y è una funzione delle n variabili indipendenti x 1, x 2, …, xn, se esiste un criterio che fa corrispondere in modo univoco ad ognuna delle 2 n configurazioni delle xi un valore di y y = F(x 1, x 2, …, xn) Una rappresentazione esplicita di una funzione è la tabella di verità, verità in cui si elencano tutte le possibili combinazioni di x 1, x 2, …, xn, con associato il valore di y x 1 y = x 1+x 2 Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 0 0 1 1 x 2 0 1 y 0 1 1 1 31

Una tabella di verità Date tre variabili booleane (A, B, C), si scriva la funzione F che vale 1 quando solo due di esse hanno valore 1 A B C F 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 Si può scrivere la funzione come somma logica delle configurazioni corrispondenti agli 1 F(A, B, C) ABC Forma canonica: somma di prodotti (OR di AND) tutte le funzioni logiche si possono scrivere in questa forma Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 32

Un esempio: lo XOR La funzione XOR verifica la disuguaglianza di due variabili x 1 0 0 1 1 x 2 0 1 XOR 0 1 1 0 L’espressione come somma di prodotti è quindi. . . XOR = x 1 x 2 + x 1 x 2 Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 33

Un circuito con due interruttori I due interruttori corrispondono a due variabili (A, B) a valori booleani le variabili assumono i due valori 0 e 1 che corrispondono alle due posizioni dell’interruttore A A 0 0 1 1 B L A A B A 0 0 1 1 B 0 1 1 L B A=0 B=1 A=0 B=0 A 0 B L B A=1 B=0 Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 A A 0 0 1 1 B B L L = A B A=1 B=1 34

Un esercizio Progettare un circuito per accendere e spegnere una lampada da uno qualsiasi di tre interruttori indipendenti L = 0 Cambia lo stato di un interruttore qualsiasi 0 0 0 1 1 1 A 0 B 0 L = 1 0 0 0 1 1 1 A 0 Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 C 0 B 1 C 0 35

Analisi delle combinazioni Si considera cosa accade a partire dalla configurazione di partenza, cambiando lo stato di un interruttore per volta L = 0 L = 1 L = 0 A B C 0 0 1 1 L = 1 A B C 0 0 1 0 1 L = 1 A B C 1 1 1 L = 0 L = 1 A B C 1 0 0 1 1 0 Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 L = 0 36

Scrittura della funzione logica Dalle otto combinazioni si ottiene la tabella di verità della funzione logica A B C L 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 Si può scrivere la funzione L come somma logica di prodotti logici L A B C Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 37

Come collegare gli interruttori Si può manipolare l’espressione di L usando la proprietà distributiva dell’AND rispetto all’OR L A B C L A (B C B C) B C A B C 1 0 0 Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 B C A B C 1 0 1 38

Esercizio 1 Siano a 2, a 1, b 2, b 1 i bit che rappresentano due numeri interi positivi (A a 2 a 1 e B b 2 b 1). Sia r una variabile booleana che vale 1 se e solo A è maggiore di B (A B). Ad esempio, quando A 11 e B 10, allora a 2 1, a 1 1, b 2 1, b 1 0 e r 1. Si scriva la forma canonica che definisce r come funzione di a 2, a 1, b 2, b 1. Esercizio 2 I signori A, B, C e D fanno parte di un consiglio di amministrazione. Sapendo che hanno a disposizione le seguenti quote di possesso azionario A 40%, B 25%, C 20%, D 15%, formalizzare tramite tabella di verità (con successiva estrazione della forma canonica) la funzione booleana che decide quando il consiglio di amministrazione è in grado di approvare una mozione. Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 39

Esercizi (continua) Esercizio 3 Il direttore di una squadra di calcio vuol comprare 4 giocatori dal costo di 2, 5, 6 e 8 milioni di euro, ma ha a disposizione solo 8 milioni. Siano a 2, a 5, a 6, a 8 variabili booleane che valgono 1 se e solo se si acquistano, rispettivamente, i giocatori da 2, 5, 6, 8 milioni. Sia r una variabile che è vera se e solo se l’insieme di giocatori che si decide di comprare costa meno della cifra disponibile. Ad esempio, se a 2 1, a 5 1, a 6 0, a 8 0, allora r 1. Si scriva la forma canonica che definisce r come funzione delle variabili a 2, a 5, a 6, a 8. Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 40

Sistemi di numerazione Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 41

Ancora un po’ di preistoria… I primi esempi di utilizzo di sistemi di numerazione risalgono al neolitico, ovvero a circa 50. 000 anni fa In epoca preistorica, le più utilizzate furono le basi 2, 5, 10, 20, 12, e 60 Mentre le basi 2, 5 10 e 20 sono suggerite dalla fisiologia umana, 12 e 60 sembrano suggerite da scopi utilitaristici: 12 è divisibile per 1, 2, 3, 4, 6 e 12 mentre 60 per 1, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 15, 20, 30 e 60 Da notare che il 7 non compare mai nelle basi di numerazione e, in effetti, ebbe significati particolari, anche religiosi, presso i popoli antichi La base 12 è ancora utilizzata in certe misure di tempo, 60 nella misurazione di angoli e tempo Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 42

…E di storia Tra le prime testimonianze certe dell’utilizzo di concetti numerici avanzati vi sono le tavole numeriche babilonesi, elenchi di numeri utilizzati per calcoli astronomici e di agrimensura, risalenti al X secolo a. C. Tuttavia nelle culture dell’antica Mesopotamia esistevano tabelle per le addizioni e le sottrazioni già durante il regno di Sargon I, intorno al 2350 a. C. Il documento più significativo dell’antico Egitto è il papiro di Ahmes o Ahmose, dal nome dello scriba che lo compose nel 1650 a. C. Lo stesso Ahmes sostiene inoltre che il suo materiale è tratto da un documento anteriore, e fa risalire l’originale ad Imhotep, medico e architetto del faraone Djoser della III dinastia, e quindi al 2650 a. C. circa Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 43

I numeri in Mesopotamia 1 Appartengono alla civiltà dei Sumeri varie tavolette che contengono i più antichi segni numerali usati dall’uomo e risalgono al 3500 3000 a. C. I simboli fondamentali usati nella numerazione sumera corrispondono ai numeri 1, 10, 600, 36000 La numerazione è additiva, cioè i numeri si scrivono disponendo uno accanto all’altro i simboli fondamentali Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 44

I numeri in Mesopotamia 2 Un ruolo speciale spetta ai numeri 10 e 60: caratteristica ereditata dal sistema babilonese I Babilonesi usavano infatti la scrittura cuneiforme, con due simboli fondamentali, un cuneo verticale per le unità e una parentesi uncinata per le decine: si rappresentavano i numeri da 1 a 59 Per i numeri successivi, si ha la prima testimonianza dell’uso di una notazione posizionale Non si introducevano infatti altri simboli, ma si affiancavano gruppi di cunei per indicare le successive potenze del 60 Si tratta dunque di un sistema di numerazione posizionale in base 60 Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 45

I numeri in Mesopotamia 3 Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 46

I numeri in Mesopotamia 4 Ad esempio: = 7322 Il sistema di spaziatura consentiva di risolvere le ambiguità di interpretazione dei raggruppamenti Ai tempi di Alessandro Magno era però invalso anche l’uso di un simbolo (due cunei obliqui) per indicare un posto vuoto; questo simbolo svolgeva alcune funzioni del nostro zero, ma non tutte: veniva usato fra colonne e mai per indicare colonne vuote alla fine della sequenza Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 47

I numeri nell’antico Egitto 1 La matematica egizia utilizzava la base 10, ed impiegava simboli diversi per rappresentare le diverse potenze del 10, da 1 a 106 I geroglifici utilizzati erano: Pastoia per bestiame o giogo Rotolo di fune Bastoncino Ninfea o fiore di loto Uomo a braccia levate, simbolo del dio Heh Dito Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 Girino o rana 48

I numeri nell’antico Egitto 2 I numeri venivano formati raggruppando i simboli, generalmente posti in ordine dal più piccolo al più grande, da sinistra a destra Il sistema di numerazione non è, tuttavia, posizionale L’ordine dei simboli che rappresentano le potenze del 10 può essere alterato senza cambiare il valore della quantità rappresentata L’ordine è una sorta di convenzione linguistica, senza significato matematico Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 49

I numeri nell’antico Egitto 3 =131. 200 Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 50

I numeri nell’antico Egitto 4 Esempi di operazioni Addizione: Addizione si effettua sommando i simboli uguali e, qualora si superi il valore 10, sostituendo i dieci simboli con il simbolo opportuno (quello subito “superiore” nella gerarchia) Moltiplicazione: Moltiplicazione utilizza un sistema che sottintende la base due si scompone il moltiplicatore in potenze di 2, poi si raddoppia il moltiplicando tante volte quante necessario, e infine si esegue la somma Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 51

I numeri nell’antico Egitto 5 Esempio: Esempio 7 13 13 =91 Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 52

I numeri nell’antica Grecia 1 Nella civiltà greca classica sono noti due principali sistemi di numerazione Il primo, più antico, è noto come attico ed è per molti aspetti simile a quello in uso presso i Romani; utilizzava infatti accanto ai simboli fondamentali per l’ 1 e le potenze di 10 fino a 10000, un simbolo speciale per il 5, che combinato con i precedenti, dava altri simboli anche per 50, 5000, 50000 Compaiono testimonianze di questo sistema dal V al I secolo a. C. ma, a partire dal III secolo, si diffonde anche il sistema detto ionico o alfabetico Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 53

I numeri nell’antica Grecia 2 Il sistema ionico si serve di ventisette simboli alfabetici (alcuni dei quali arcaici e non più usati nella Grecia classica) per indicare le unità da 1 a 9, le decine da 10 a 90, le centinaia da 100 a 900 Si usavano poi nuovamente le prime nove lettere precedute da un apice in basso per indicare i multipli di 1000, e per esprimere numeri ancora più grandi si ricorreva al simbolo M (iniziale di miriade) che indicava la moltiplicazione per 10000 del numero che seguiva ð Sistema di numerazione decimale additivo Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 54

I numeri nell’antica Grecia 3 Ad esempio: = 67. 766. 776 Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 55

I numeri nell’antica Roma 1 Nel sistema di numerazione romano, a base decimale, ci si serviva, come è noto, anche di simboli speciali per indicare 5, 500 Alcune antiche epigrafi inducono a ritenere che i segni usati fossero inizialmente segni speciali, forse di origine etrusca, che solo successivamente furono identificati con le lettere I, V, X, L, C, D, M I V X L C D 1 5 10 50 100 500 Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 M 1000 56

I numeri nell’antica Roma 2 La scrittura dei numeri avveniva combinando additivamente i segni Per agevolare scrittura e lettura si diffuse più tardi un sistema sottrattivo già utilizzato, ad esempio, dagli Assiri (che ha traccia anche nelle forme verbali come ad esempio “undeviginti”, stessa cosa di “decem et novem”) Un simbolo posto alla sinistra di un simbolo di quantità maggiore viene sottratto, così IX e VIIII indicano entrambi il numero 9 Ancora in epoca tarda, un segno che prese l’aspetto di una linea orizzontale posta sopra le lettere serviva per indicarne la moltiplicazione per 1000 Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 57

Dall’India… il sistema decimale 1 La civiltà indiana, più antica delle civiltà classiche, è già documentata dal 3000 a. C. Sebbene l’uso della matematica dovessere ben sviluppato già in epoca arcaica, i primi testi che ci sono giunti risalgono al V secolo d. C. Non è però ancora chiaro dove e quando si sia sviluppato il sistema di notazione decimale posizionale che, in seguito, attraverso gli Arabi, Arabi si è diffuso in Europa Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 58

Dall’India… il sistema decimale 2 Tale sistema viene utilizzato nell’opera del matematico indiano vissuto attorno al 500 d. C. Aryabhata, la più antica che ci è pervenuta se si eccettuano frammenti sparsi di matematici anteriori, dove però manca ancora l’uso di un simbolo zero Testimonianze di scritture in forma posizionale si registrano anche prima del manuale di Aryabhata, mentre per avere datazioni sicure di forme complete in cui compare anche il simbolo zero occorre arrivare al IX secolo d. C. Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 59

Dall’India… il sistema decimale 3 L’idea di usare un numero limitato di simboli a cui dare valore diverso a seconda della posizione occupata può essere stata, secondo alcuni studiosi, sviluppata dagli Indiani per conoscenza diretta o ereditata dai Greci del sistema sessagesimale babilonese Gli Indiani avrebbero allora iniziato ad utilizzare solamente i primi 9 simboli del loro sistema decimale in caratteri Brahmi, in uso dal III secolo a. C. Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 60

Dall’India… il sistema decimale 4 I simboli assumono forme diverse a seconda delle zone e dei periodi, ma sono comunque quelli che gli Arabi più tardi utilizzarono e che, dalla forma araba, sono passati in Europa, fino alla forma definitiva resa uniforme dalla stampa nel XV secolo Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 61

Sistemi di numerazione posizionali: posizionali La base del sistema di numerazione Le cifre del sistema di numerazione Il numero è scritto specificando le cifre in ordine ed il suo valore dipende dalla posizione relativa delle cifre Esempio: Esempio Il sistema decimale (Base 10) Cifre : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5641 5· 103 + 6· 102 + 4· 101 + 1· 100 Posizione: 3 2 1 0 Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 62

Sistemi in base B La base definisce il numero di cifre diverse nel sistema di numerazione La cifra di minor valore è sempre lo 0; le altre sono, nell’ordine, 1, 2, …, B 1; se B>10 occorre introdurre B 10 simboli in aggiunta alle cifre decimali Un numero intero N si rappresenta con la scrittura (cncn 1…c 2 c 1 c 0)B N = cn. Bn+cn 1 Bn 1+. . . +c 2 B 2+c 1 B 1+c 0 B 0 cn è la cifra più significativa, significativa c 0 la meno significativa Un numero frazionario N’ si rappresenta come (0, c 1 c 2…cn)B N’ = c 1 B 1+c 2 B 2+. . . +cn. B n Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 63

Numeri interi senza segno Con n cifre in base B si rappresentano tutti i numeri interi positivi da 0 a Bn 1 (Bn numeri distinti) Esempio: Esempio base 10 2 cifre: da 0 a 102 1 = 99 Esempio: Esempio base 2 2 cifre: da 0 a 22 1 = 3 Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 00 01 02 …. 98 99 102 = 100 valori 00 01 10 11 22 = 4 valori 64

Il sistema binario (B=2) La base 2 è la più piccola per un sistema di numerazione Cifre: 0 1 bit (binary digit) digit Esempi: Esempi Forma polinomia (101101)2 = 1 25 + 0 24 + 1 23 + 1 22 + 0 21 + 1 20 = 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = (45)10 (0, 0101)2 = 0 2 1 + 1 2 2 + 0 2 3 + 1 2 4 = 0 + 0, 25 + 0, 0625 = (0, 3125)10 (11, 101)2 = 1 21 + 1 20 + 1 2 1 + 0 2 2 + 1 2 3 = 2 + 1 + 0, 5 + 0, 125 = (3, 625)10 Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 65

Dal bit al byte Un byte è un insieme di 8 bit (un numero binario a 8 cifre) b 7 b 6 b 5 b 4 b 3 b 2 b 1 b 0 Con un byte si rappresentano i numeri interi fra 0 e 28 1 255 00000001 00000010 00000011 ……………. 11111110 1111 28 256 valori distinti È l’elemento base con cui si rappresentano i dati nei calcolatori Si utilizzano sempre dimensioni multiple (di potenze del 2) del byte: 2 byte (16 bit), 4 byte (32 bit), 8 byte (64 bit)… Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 66

Dal byte al kilobyte Potenze del 2 24 = 16 28 = 256 216 = 65536 210 = 1024 (K=Kilo) 220 = 1048576 (M=Mega) 230 = 1073741824 (G=Giga) Cosa sono KB (Kilobyte), MB (Megabyte), GB (Gigabyte)? 1 1 KB = 210 byte = 1024 byte MB = 220 byte = 1048576 byte GB = 230 byte = 1073741824 byte TB = 240 byte = 1099511627776 byte (Terabyte) Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 67

Da decimale a binario Numeri interi Si divide ripetutamente il numero intero decimale per 2 fino ad ottenere un quoziente nullo; le cifre del numero binario sono i resti delle divisioni; la cifra più significativa è l’ultimo resto Esempio: Esempio convertire in binario (43)10 43 : 2 = 21 21 : 2 = 10 10 : 2 = 5 5: 2= 2 2: 2= 1 1: 2= 0 +1 +1 +0 +1 resti bit più significativo (43)10 = (101011)2 Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 68

Da decimale a binario Numeri razionali Si moltiplica ripetutamente il numero frazionario decimale per 2, fino ad ottenere una parte decimale nulla o, dato che la condizione potrebbe non verificarsi mai, per un numero prefissato di volte; le cifre del numero binario sono le parti intere dei prodotti successivi; la cifra più significativa è il risultato della prima moltiplicazione Esempio: Esempio convertire in binario (0, 21875)10 e (0, 45)10 0, 21875 0, 4375 0, 875 0, 5 2 = 0 , 4375 2 = 0, 875 2 = 1, 0 (0, 21875)10 = (0, 00111)2 Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 0, 45 0, 90 0, 80 0, 60 0, 20 2 2 2 = = = 0, 9 1, 8 1, 6 1, 2 0, 4 etc. (0, 45)10 (0, 01110)2 69

Da binario a decimale Oltre all’espansione esplicita in potenze del 2 forma polinomia… polinomia (101011)2 = 1 25 + 0 24 + 1 23 + 0 22 + 1 21 + 1 20 = (43)10 …si può operare nel modo seguente: si raddoppia il bit più significativo e si aggiunge al secondo bit; si raddoppia la somma e si aggiunge al terzo bit… si continua fino al bit meno significativo Esempio: Esempio convertire in decimale (101011)2 bit più significativo 1 x 2= 2 x 2= 5 x 2= 10 x 2 = 21 x 2 = 2 + 0 4 + 1 10 + 0 20 + 1 42 + 1 = 43 (101011)2 = (43)10 Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 70

Sistema esadecimale La base 16 è molto usata in campo informatico Cifre: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F La corrispondenza in decimale delle cifre oltre il 9 è Esempio: Esempio A = (10)10 B = (11)10 C = (12)10 D = (13)10 E = (14)10 F = (15)10 (3 A 2 F)16 = 3 163 + 10 162 + 2 161 + 15 160 = 3 4096 + 10 256 + 2 16 + 15 = (14895)10 Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 71

Da binario a esadecimale Una cifra esadecimale corrisponde a 4 bit 0 corrisponde a 4 bit a 0 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 0 1 2 3 4 5 6 7 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 8 9 A B C D E F F corrisponde a 4 bit a 1 Si possono rappresentare numeri binari lunghi con poche cifre (1/4) La conversione da binario ad esadecimale è immediata, raggruppando le cifre binarie in gruppi di 4 (da destra) e sostituendole con le cifre esadecimali secondo la tabella precedente Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 72

Dai bit all’hex Un numero binario di 4 n bit corrisponde a un numero esadecimale di n cifre Esempio: Esempio 32 bit corrispondono a 8 cifre esadecimali 1101 1001 0001 1011 0100 0011 0111 1111 D 9 1 B 4 3 7 F (D 91 B 437 F)16 Esempio: Esempio 16 bit corrispondono a 4 cifre esadecimali 0000 1111 0 0 F F (00 FF)16 Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 73

Da esadecimale a binario La conversione da esadecimale a binario si ottiene espandendo ciascuna cifra con i 4 bit corrispondenti Esempio: convertire in binario il numero esadecimale 0 x 0 c 8 f 0 x Notazione usata in molti linguaggi di programmazione (es. C e Java) per rappresentare numeri esadecimali 0 c 8 f 0000 1100 1000 1111 Il numero binario ha 4 x 4 16 bit Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 74

Esempi 1 In qualsiasi base, l’essere il sistema di numerazione posizionale impone che combinazioni diverse di cifre uguali rappresentino numeri diversi; ad esempio: (319)10 (193)10 (152)6 (512)6, infatti. . . (152)6=1 62+5 61+2 60=36+30+2=(68)10 (512)6=5 62+1 61+2 60=180+6+2=(188)10 Numeri che hanno identica rappresentazione, in basi diverse, hanno valori diversi: (234)10 (234)8 , infatti. . . (234)8 = 2 82 + 3 81 + 4 80 = 2 64 + 3 8 + 4 = 128+24+4 = (156)10 Osservazione: Osservazione più piccola è la base, minore è il valore del numero rappresentato dalla stessa sequenza di cifre Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 75

Esempi 2 La notazione posizionale si applica anche per il calcolo del valore dei numeri frazionari, infatti. . . (0, 872)10 = 8 10 1 + 7 10 2 + 2 10 3 = 8/10 + 7/100 + 2/1000 = 0, 8 + 0, 07 + 0, 002 Quante cifre occorreranno per rappresentare il numero decimale 36 in base 2? Sappiamo che con n cifre si rappresentano i numeri da 0 a 2 n 1, quindi. . . per per per n=1 (con una cifra) si rappresentano 0. . . 21 1 0, 1 n=2: 0. . . 22 1 0. . . 3 Effettivamente possiamo verificare che 3 n=3: 0. . . 2 1 0. . . 7 (100100)2=(36)10, infatti. . . n=4: 0. . . 24 1 0. . . 15 100100=1 25+0 24+0 23+1 22+0 21+0 20 n=5: 0. . . 25 1 0. . . 31 = 32 + 4 = 36 n=6: 0. . . 26 1 0. . . 63 con 6 cifre necessarie per la codifica del numero in base 2 Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 76

Esempi 3 Quesito: Quesito Per quale base B risulterà vera l’uguaglianza 17 + 41 + 22 = 102 ? Se i numeri sono rappresentati in base B, sappiamo che: (17)B = 1 B 1+7 B 0 = B+7 (41)B = 4 B 1+1 B 0 = 4 B+1 (22)B = 2 B 1+2 B 0 = 2 B+2 (102)B = 1 B 2+0 B 1+2 B 0 = B 2+2 da cui. . . B+7+4 B+1+2 B+2 = 7 B+10 = B 2+2 Si ottiene un’equazione di 2° grado: B 2 7 B 8 = 0 Risolvendo: = 49+32 = 81 (7+9)/2 = 8 È la soluzione! B = (7 )/2 = (7 9)/2 = 1 Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 Non può essere una base 77

La rappresentazione dei dati e l’aritmetica degli elaboratori Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 78

Numeri interi positivi I numeri interi positivi sono rappresentati all’interno dell’elaboratore utilizzando un multiplo del byte (generalmente 4/8 byte) Se l’intero si rappresenta con un numero di cifre minore, vengono aggiunti zeri nelle cifre più significative Esempio: Esempio 12 viene rappresentato in un byte come… 00001100 Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 79

Numeri con segno Per rappresentare numeri con segno, occorre utilizzare un bit per definire il segno del numero Si possono usare tecniche di codifica Modulo e segno Complemento a 2 Complemento a 1 Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 80

Modulo e segno Il bit più significativo rappresenta il segno: 0 per i numeri positivi, 1 per quelli negativi Esiste uno zero positivo (00… 0) e uno zero negativo (10… 0) Se si utilizzano n bit si rappresentano tutti i numeri compresi fra (2 n 1 1) e 2 n 1 1 Esempio: con 4 bit si rappresentano i numeri fra 7 ( (23 1)) e 7 (23 1) Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 0000 0 0001 1 0010 2 0011 3 0100 4 0101 5 0110 6 0111 7 positivi 1000 0 1001 1 1010 2 1011 3 1100 4 1101 5 1110 6 1111 7 negativi 81

Complemento a 2 Il complemento a 2 di un numero binario (N)2 a n cifre è il numero { 2 n (N)2 = 10…… 0 (N)2 Il complemento a 2 si calcola… n Effettuando il complemento a 1 del numero di partenza (negazione di ogni cifra): si trasforma ogni 0 in 1 e ogni 1 in 0 Aggiungendo 1 al numero ottenuto Oppure: a partire da destra, lasciando invariate tutte le cifre fino al primo 1 compreso, quindi invertendo il valore delle rimanenti 01010111 10101000 10101001 complemento a 1 1 Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 10000 01111 01010111 10101000 10101001 28 28 1 N 1 82

Interi in complemento a 2 I numeri positivi sono rappresentati (come) in modulo e segno I numeri negativi sono rappresentati in complemento a 2 la cifra più significativa ha sempre valore 1 Lo zero è rappresentato come numero positivo (con una sequenza di n zeri) Il campo dei numeri rappresentabili varia da 2 n 1 1 Esempio: numeri a 4 cifre 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 0 1 2 3 4 5 6 7 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 8 7 6 5 4 3 2 1 Nota: 0111 7 1000 8 83

Interi a 16 bit Numeri interi rappresentati su 16 bit in complemento a 2: Il numero intero positivo più grande è 215 1=(32767)10 0111 1111 0 x 7 F F F Il numero intero negativo più piccolo è 215=( 32768)10 1000 0000 0 x 8 0 0111 1111 + 1 1000 0000 Il numero intero – 1 è rappresentato come 1111 0 x F F Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 0000 + 1 0000 0001 84

Addizione binaria Le regole per l’addizione di due bit sono 0 0 1 1 + + 0 1 1 0 con riporto di 1 L’ultima regola è… (1)2 (10)2 … (1 1 2)10 !! Esempio Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 riporti 1 11 1 01011011+ 010110101 91+ 90 181 85

Sottrazione binaria 1 Le regole per la sottrazione di due bit sono 0 0 1 1 10 1 Esempio 0 1 con prestito di 1 dalla cifra precedente a sinistra 0 10 11001 10100 25 5 20 La sottrazione può divenire complicata: quando si ha una richiesta (di un prestito) sulla cifra precedente a sinistra, che è uno 0, l’operazione si propaga a sinistra fino alla prima cifra ad 1 del sottraendo Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 86

Sottrazione binaria – 2 Utilizzando la rappresentazione in complemento a 2, addizione e sottrazione sono trattate come un’unica operazione di somma algebrica si trascura il bit n 1 { N 1 N 2 = N 1 (2 n N 2) 2 n complemento a 2 di N 2: rappresentazione di ( N 2) u Si calcola il complemento a 2 di N 2 v Si somma N 1 con il complemento a 2 di N 2 w Si trascura il bit più significativo del risultato Esempio: (010001)2 (000101)2 = (17)10 (5)10 010001 111011 1001100 Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 (12)10 87

Rappresentazioni in complemento Sono utili perché l’operazione di somma algebrica può essere realizzata non curandosi del bit di segno In complemento a 1 (più semplice da calcolare)… Zero ha due rappresentazioni: 0000 e 1111 La somma bit funziona “quasi sempre” 00110 10101 = (6) ( 10) 11001 11010 = ( 6) ( 5) 11011 ( 4) 10011 ( 12) In complemento a 2… Zero ha una sola rappresentazione La somma bit funziona sempre Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 88

Overflow L’overflow si ha quando il risultato di un’operazione non è rappresentabile correttamente con n bit Esempio: 5 bit 14 10 24 [ 16, 15] 01110 01010 11000 8 8 10 18 11000 10110 101110 14 Per evitare l’overflow occorre aumentare il numero di bit utilizzati per rappresentare gli operandi C’è overflow se c’è riporto al di fuori del bit di segno e non sul bit di segno, o se c’è riporto sul bit di segno, ma non al di fuori Punteggio nei vecchi videogame… sorpresa per i campioni! 0111 1111 1 = 1000 0000 32767 1= 32768 Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 89

Moltiplicazione binaria Le regole per la moltiplicazione di due bit sono 0 0 1 1 Esempio 0 1 0 0 0 1 1100111 x 101 1100111 0000000 1100111 1000000011 Moltiplicare per 2 n corrisponde ad aggiungere n zeri in coda al moltiplicando 51 110011 x 10000 110000 16 24 Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 816 90

Divisione binaria ( La divisione binaria di A per B viene calcolata in modo analogo alla divisione decimale, così da ottenere un quoziente Q ed un resto R, tali che A B Q R La divisione binaria si compone di una serie di sottrazioni 110^ 1^ 1^ 0 101 111 1010 54 5 10 + 4 1 01 1 00 Dividere per 2 n equivale a scorrere il numero a destra di n posizioni; le cifre scartate costituiscono il resto 110011 10000 11 con resto 11 Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 51: 16 3 con resto 3 91

Esempio Quesito: Quesito Data una base B, si consideri il numero x (C 5 C 4 C 3 C 2 C 1 C 0)B, dove le singole cifre valgono: C 5 = B 1, C 4 = B 1, C 3 = B 1, C 2 = 0, C 1 = 0, C 0 = 0 Qual è la rappresentazione in base B del risultato dell’espressione (x/B 3) 1? Dividere per B 3, che per qualsiasi base si rappresenta come 1000, equivale a “shiftare” il numero di tre cifre a sinistra ð Rimangono quindi le tre cifre più significative, tutte uguali a B 1 ð Sommando 1, a causa dei riporti, si ottiene quindi come risultato dell’espressione 1000 B 3, qualsiasi sia il valore della base B Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 92

Esercizio 1 Assumendo che un elaboratore rappresenti i numeri interi con segno su quattro bit in complemento a 2, si calcolino entrambi i membri della seguente identità: (A C) B = (A B) C, con A=7, A=7 B=5, B=5 C=7 Si ottiene lo stesso risultato dal calcolo dei due membri? Discutere le motivazioni della risposta. Esercizio 2 a) b) Si determini, se esiste, la base b di un sistema di numerazione tale che (842)b = (1202)10 Si determini, se esiste, la base b 16 di un sistema di numerazione tale che (725)b (626)b = (224)10 Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 93

Numeri in virgola mobile La rappresentazione dei numeri in virgola mobile è in relazione con la notazione scientifica (es. 1. 2 102 120) La IEEE ha previsto uno standard per la rappresentazione in virgola mobile singola precisione (32 bit 4 byte) doppia precisione (64 bit 8 byte) quadrupla precisione (128 bit 16 byte) Singola precisione 31 23 22 0 8 bit Segno Il valore è Esponente (o Caratteristica) 23 bit Mantissa ( 1)S 1. M 2 E 127 se E 0 ( 1)S 0. M 2 126 se E=0 Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 Eccesso: vale 2 t 1 1, se t è il numero di cifre riservate alla caratteristica rappresentazione “interna” dell’esponente sempre positiva 94

Singola precisione Il numero più grande rappresentabile è 2128 (2 2 23) 2129 6. 81 1038 0 1111111111111111 2255 127 1. 111111111111 Il più piccolo numero positivo è 2 126 2 23 2 149 1. 4 10 45 0 0000000000000001 2 126 0. 000000000001 In totale si rappresentano 232 numeri distinti, metà positivi, metà negativi Circa metà dei numeri sono compresi fra 1 e 1 (E 127<0) 223 valori 0 0. 5 223 valori 1 Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 223 valori 2 4 95

L’aritmetica floating point: addizione Metodo per il calcolo dell’addizione 1. 2. 3. Se le caratteristiche dei numeri sono diverse, si considera il numero con caratteristica minore e… 1. 1 Si trasla la mantissa di un posto a destra 1. 2 Si incrementa la caratteristica di 1, fino a quando le due caratteristiche sono uguali, e corrispondono alla caratteristica del risultato La mantissa del risultato è ottenuta dalla somma delle due mantisse Se l’addizione comporta un riporto oltre la cifra più significativa, si trasla la mantissa del risultato a destra di un posto, il riporto nel bit più significativo, e si incrementa la caratteristica di 1 Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 96

Un esempio di addizione Supponiamo che per la rappresentazione floating–point vengano utilizzati otto bit, di cui uno per il segno, tre per la caratteristica e quattro per la mantissa 3. 25 0 1 1 0 1 s E 4 N = ( 1) 0. M 2 1. 125 1 0 0 1 0 1 La caratteristica del secondo operando è più piccola di una unità, quindi la mantissa deve scorrere di una posizione a destra 1001 0100 La caratteristica del risultato è 110 e la mantissa è 1101+ 0100 = 10001; la caratteristica deve essere aumentata di 1 e portata a 111, e la mantissa del risultato traslata a destra di una posizione: 0 1 1 0 Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 0 0 Codifica il numero 4 (dato che la caratteristica si rappresenta in eccesso a 4), ma il risultato corretto è 4. 375: errore di troncamento 97

L’aritmetica floating point: moltiplicazione Metodo per il calcolo della moltiplicazione 1. 2. 3. 4. 5. Si moltiplicano le due mantisse Si addizionano le due caratteristiche Si trasla a sinistra il prodotto delle due mantisse fino ad ottenere un 1 come cifra più significativa; si diminuisce la caratteristica di 1 per ogni traslazione eseguita Si tronca la mantissa al numero di bit utilizzati nella rappresentazione; la mantissa del prodotto è il risultato del troncamento Si sottrae l’eccesso alla somma delle caratteristiche, ottenendo la caratteristica del prodotto Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 98

Un esempio di moltiplicazione Supponiamo che per la rappresentazione floating–point vengano utilizzati otto bit, di cui uno per il segno, tre per la caratteristica e quattro per la mantissa 0. 203125 0 0 1 1 0 1 N = ( 1)s 0. M 2 E 4 1. 125 1 0 0 1 0 1 Moltiplicando le mantisse e sommando le caratteristiche si ottiene: M=01110101 E=111 La mantissa del risultato deve essere traslata di un posto a sinistra, e la somma delle caratteristiche deve essere decrementata di 1; infine la mantissa deve essere troncata alle 4 cifre significative e l’eccesso (100) sottratto alla caratteristica: 0 0 1 Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 1 1 0 Codifica il numero 0. 21875, ma il risultato corretto è 0. 228515625: errore di troncamento 99

L’aritmetica degli elaboratori 1 L’aritmetica “interna” degli elaboratori differisce notevolmente dall’aritmetica classica Sebbene le stesse operazioni possano essere realizzate secondo modalità diverse su elaboratori diversi, si riscontrano alcune caratteristiche comuni: Rappresentazione binaria dei numeri Rango finito dei numeri rappresentabili Precisione finita dei numeri Operazioni espresse in termini di operazioni più semplici Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 100

L’aritmetica degli elaboratori 2 Rango finito dei numeri rappresentabili Qualunque sia la codifica utilizzata, esistono sempre il più grande ed il più piccolo numero rappresentabile I limiti inferiore e superiore del rango di rappresentazione dipendono sia dal tipo di codifica, sia dal numero di bit utilizzati Se il risultato di un’operazione non appartiene al rango dei numeri rappresentabili, si dice che si è verificato un overflow (un underflow, underflow più precisamente, se il risultato è più piccolo del più piccolo numero rappresentabile) Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 101

L’aritmetica degli elaboratori 3 Precisione finita dei numeri La precisione della rappresentazione di un numero frazionario è una misura di quanto essa corrisponda al numero che deve essere rappresentato Negli elaboratori, i numeri frazionari sono rappresentati in virgola mobile (floating–point), floating–point utilizzando un numero finito di bit È plausibile che un numero reale non ammetta una rappresentazione finita, quindi dovrà essere codificato in maniera approssimata Negli elaboratori si rappresentano soltanto numeri razionali (fino ad una data precisione) Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 102

L’aritmetica degli elaboratori 4 Operazioni espresse in termini di operazioni più semplici La maggior parte degli elaboratori non possiede circuiti in grado di eseguire direttamente tutte le operazioni: La sottrazione si realizza per mezzo di una complementazione e di un’addizione La moltiplicazione si realizza per mezzo di una successione di addizioni e di shift (traslazioni) La divisione si realizza per mezzo di una successione di shift e sottrazioni Le operazioni più semplici sono eseguite direttamente da appositi circuiti (in hardware); hardware le operazioni più complesse sono realizzate mediante l’esecuzione di successioni di operazioni più semplici, sotto il controllo di programmi appositamente realizzati, e generalmente memorizzati permanentemente (in firmware) firmware Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 103

Codifica dei caratteri alfabetici – 1 Oltre ai numeri, molte applicazioni informatiche elaborano caratteri (simboli) Gli elaboratori elettronici trattano numeri Si codificano i caratteri e i simboli per mezzo di numeri Per poter scambiare dati (testi) in modo corretto, occorre definire uno standard di codifica Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 A 01000001 3 0011 $ 00100100 104

Codifica dei caratteri alfabetici – 2 Quando si scambiano dati, deve essere noto il tipo di codifica utilizzato La codifica deve prevedere le lettere dell’alfabeto, le cifre numeriche, i simboli, la punteggiatura, i caratteri speciali per certe lingue (æ, ã, ë, è, …) Lo standard di codifica più diffuso è il codice ASCII, ASCII per American Standard Code for Information Interchange Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 105

Codifica ASCII Definisce una tabella di corrispondenza fra ciascun carattere e un codice a 7 bit (128 caratteri) I caratteri, in genere, sono rappresentati con 1 byte (8 bit); i caratteri con il bit più significativo a 1 (quelli con codice dal 128 al 255) rappresentano un’estensione della codifica La tabella comprende sia caratteri di controllo (codici da 0 a 31) che caratteri stampabili I caratteri alfabetici/numerici hanno codici ordinati secondo l’ordine alfabetico/numerico 0 48 1 49 ……. 8 56 9 57 A 65 B 66 ……. Y 89 Z 90 a 97 b 98 ……. y 121 z 122 cifre maiuscole minuscole Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 106

Caratteri di controllo ASCII I caratteri di controllo (codice da 0 a 31) hanno funzioni speciali Si ottengono o con tasti specifici o con una sequenza Ctrl carattere Ctrl ^@ ^A …… ^G ^H ^I ^J ^K ^L ^M …… ^Z ^[ …… ^_ Dec 0 1 … 7 8 9 10 11 12 13 … 26 27 … 31 Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 Hex 0 1 … 7 8 9 A B C D … 1 A 1 B … 1 F Code NULL SOH …… BEL BS HT LF VT FF CR …… EOF ESC …… US Nota carattere nullo partenza blocco ………………… beep backspace tabulazione orizzontale line feed (cambio linea) tabulazione verticale form feed (alim. carta) carriage return (a capo) ………… fine file escape ……… separatore di unità 107

Caratteri ASCII stampabili Dec Hx Chr Dec Hx Chr 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 2 A 2 B 2 C 2 D 2 E 2 F SPACE ! ” # $ % & ’ ( ) * + , . / 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 3 A 3 B 3 C 3 D 3 E 3 F 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 : ; < = > ? 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 4 A 4 B 4 C 4 D 4 E 4 F @ A B C D E F G H I J K L M N O 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 5 A 5 B 5 C 5 D 5 E 5 F P Q R S T U V W X Y Z [ ] ^ _ 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 6 A 6 B 6 C 6 D 6 E 6 F ` a b c d e f g h i j k l m n o 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 7 A 7 B 7 C 7 D 7 E 7 F p q r s t u v w x y z { | } ~ DEL Nota: Nota il valore numerico di una cifra può essere calcolato come differenza del suo codice ASCII rispetto al codice ASCII della cifra 0 (es. ‘ 5’ ‘ 0’ 53 48 5) Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 108

Tabella ASCII estesa I codici oltre il 127 non sono compresi nello standard originario Fondamenti di Informatica I a. a. 2008 -09 109