Fonctions de transfert Conception dun asservissement Franois BONDU

Fonctions de transfert Conception d’un asservissement François BONDU CNRS francois. bondu@univ-rennes 1. fr Collaboration VIRGO Institut de Physique de Rennes Equipe photonique et lasers Université de Rennes 1 Alfred Perot (1863 -1926) Charles Fabry (1867 -1945) Avril 2009 1

Plan I. Éléments des boucles Systèmes « LTI » – fonctions de transfert Densités spectrales Capteurs et actionneurs La cavité FP comme capteur fonctions de transfert pour déplacement et fréquence II. Boucles d’asservissement Calculs de boucle fermée Critères de stabilité boucle simple ex. de boucles imbriquées Prescriptions pour la conception d’une boucle Mesures dans une boucle d’asservissement 2

I. Éléments de boucles 1. Systèmes LTI – fonctions de transfert (1/2) Fsys signal entrée signal en sortie Linéarisation autour d’un point de fonctionnement Système linéaire invariant dans le temps : } Fonctions propres : 3

I. Éléments de boucles 1. Systèmes LTI – fonctions de transfert (2/2) Fonctions propres : Fsys signal entrée Signal en sortie Décomposition d’un signal sur la base des fonctions propres : transformée de Fourier Fonction de transfert du système : Où est une fonction continue de f (“unwrap” en Matlab®) 4

I. Éléments de boucles 2. Densités spectrales (1/3) Fsys bruit en entrée bruit en sortie Fonction d’autocorrélation : Transformée de Fourier de la fonction d’autocorrélation : est une fonction réelle paire 5

I. Éléments de boucles 2. Densités spectrales (2/3) Densité spectrale de puissance : définie pour les fréquences positives seulement Densité spectrale linéaire : nombre réel positif Fsys bruit en entrée bruit en sortie 6

I. Éléments de boucles 2. Densités spectrales (3/3) Dans la pratique, une méthode pour calculer la DSL: résolution en fréquence : 1/Tinteg s unité DSL longueur fréquence onde gravitationnelle mètres Hertz 1 m/√Hz Hz/√Hz 1/√Hz 7

I. Éléments de boucles 3. Capteurs et actionneurs (1/3) Capteur : bruit + référence S(f) + + ñc(f) tension (V) grandeur physique La qualité du capteur dépend - de son bruit de mesure - de sa sensibilité S(f) - de la stabilité de sa référence Exemple : cavité FP pour mesurer la fréquence d’un laser bruit de photon finesse - bruit thermique de la cale d’espacement - bruit thermique des couches minces des miroirs - bruit accélérométrique 8

I. Éléments de boucles 3. Capteurs et actionneurs (2/3) bruit Capteur : + référence S(f) + + ñc(f) tension (V) grandeur physique densité spectrale de résolution : Une grande sensibilité S(f) peut rendre négligeable l’effet du bruit de lecture de la mesure Ex: mesure de fréquence sur une cavité FP rigide couplée optimalement, F=1000, P=20 m. W, L=30 cm résolution limitée par bruit thermique jusqu’à f=10 k. Hz 9

I. Éléments de boucles 3. Capteurs et actionneurs (3/3) Actionneurs : “driver” tension (V) grandeur physique D(f) Actionneur de déplacement : bande passante limitée par la mécanique : - pendules (fres ~ 1 Hz) - miroirs montés sur cristaux piezo-électriques (fres ~30 k. Hz et harmoniques) 10

I. Éléments de boucles 4. La cavité Fabry-Perot comme capteur (1/5) - Mesure de longueurs d’onde (spectroscopie) - Mesure d’épaisseur d’étalons standards, du mètre étalon (5 fois plus précis que Michelson) - Mesure de la masse du dm 3 d’eau - Mise en évidence de l’effet Doppler-Fizeau - Raies d’émission du soleil, rotation différentielle, décalage vers le rouge, température - Eclat de la voie lactée - Rotation et température de la nébuleuse d’Orion - Découverte de la couche d’ozone dans l’atmosphère 11

I. Éléments de boucles 4. La cavité Fabry-Perot comme capteur (2/5) Pour les faisceaux gaussiens : comparaison entre le mode incident et le mode résonnant Mesure de front d’onde (distribution transverse de puissance) - mesure d’agitation transverse et angulaire de faisceau Mesure de longueur d’onde Mesure de longueur Mesure de rayon de courbure de miroir Mesure différentielle de réflectivités de miroirs Mesure d’ondes gravitationnelles (avec des miroirs inertiels) 12

I. Éléments de boucles 4. La cavité Fabry-Perot comme capteur de longueur / de fréquence (3/5) Porteuse résonnante dans la cavité Bandes latérales non résonnantes C LSB Laser USB E. O. modulator Mirror 1 ~ LSB RF synthesizer Mirror 2 C USB référence mesure 13

I. Éléments de boucles 4. La cavité Fabry-Perot comme capteur de longueur / de fréquence (4/5) Fonction de transfert en réflexion pour les ondes lumineuses : a : varie avec la chemin optique, la fréquence, une onde gravitationnelle L 1 : pertes dans le miroir d’entrée a: déphasage sur un aller-retour r 1, r 2 : réflectivités des miroirs en amplitude z: réflexion à résonance en amplitude f : écart à la résonance 14

I. Éléments de boucles 4. La cavité Fabry-Perot comme capteur de longueur / de fréquence (5/5) Fonction de transfert pour les ondes lumineuses : REFLECTION T 1 = 12% T 2 = 5% L =0 (finesse = 35) TRANSMISSION 15

I. Éléments de boucles 5. Fonction de transfert d’une cavité Fabry-Perot a. Bruit de fréquence (1/3) porteuse Onde entrante : fmod f : écart à la résonance Signal Pound Drever Hall - électronique - puissance du laser - indice de modulation de phase - couplage de la cavité (visibilité = 1 - z 2) 16 - pôle de la cavité

I. Éléments de boucles 5. Fonction de transfert d’une cavité Fabry-Perot a. Bruit de fréquence (2/3) porteuse Onde entrante : fmod fmes Fonction de transfert, pour une porteuse à résonance : 17

I. Éléments de boucles 5. Fonction de transfert d’une cavité Fabry-Perot a. Bruit de fréquence (3/3) Mesure précise - du pôle de la cavité - de sa longueur module - du rayon de courbure effectif - du couplage d’impédance - fraction d’énergie sur un mode désaligné - fraction d’énergie sur un mode désadapté en front d’onde transverse f / ISL Fréquence de modulation Désalignement de la cavité Intervalle spectral libre désalignement + modulation 18

I. Éléments de boucles 5. Fonction de transfert d’une cavité Fabry-Perot b. Bruit de longueur -- miroir d’entrée -- miroir de fond 19

Plan I. Éléments des boucles Systèmes « LTI » – fonctions de transfert Densités spectrales Capteurs et actionneurs La cavité FP comme capteur fonctions de transfert pour déplacement et fréquence II. Boucles d’asservissement Calculs de boucle fermée Critères de stabilité boucle simple ex. de boucles imbriquées Prescriptions pour la conception d’une boucle Mesures dans une boucle d’asservissement 20

II. Boucles d’asservissement 1. Calculs de boucle fermée (1/3) Magnet-coil laser Phase modulator 6 MHz R. F. phase shifter mixer A D C digital filter D A C Control 21

II. Boucles d’asservissement 1. Calculs de boucle fermée (2/3) Phase modulator laser Actuation 6 MHz R. F. phase shifter Sensing mixer A D C digital filter D A C Control Correction filter nlaser + - SPDH ncavity n 0/Lcavity sensing e zseismic Cfilter Factuation Correction filter actuation zcavity 22

II. Boucles d’asservissement 1. Calculs de boucle fermée (3/3) nlaser NB: sont sous-entendus : • les ~ sur les DSL • la dépendance en f des FT • les facteurs devant les DSL sont des valeurs absolues nc + - SPDH e Cfilter Factuation zseismic zcavity n 0/Lcavity Fonction de transfert en boucle ouverte : Boucle “efficace” : |G|>>1 Le signal d’erreur compare Les fluctuations de longueur de la cavité Le signal de correction mesure la“suivent” longueur d’ondeparasites du laser avec les fluctuations lales longueur d’onde mode résonnant fluctuations de longueur d’onde du laser, avec le facteur dedu calibration Factuation dans la elles cavité, lorsque le gain de boucle est grand ; là où dominent au bruit de la lecture près. lai. e. perturbation sismique est très atténuée. là où boucle est utile NB : il s’agit de la DSL de l’écart 23

II. Boucles d’asservissement 2. Critères de stabilité : a. « placement » des pôles et zéros 1) On approxime GOLTF par une fraction rationnelle N(f)/D(f) 2) La fonction G/(1+G) ou 1/(1+G) ne doit pas avoir de pôle à partie réelle positive exponentielle divergente dans le domaine temps équivalent à : Le polynôme N(f) + D(f) ne doit pas avoir de zéro à partie réelle positive Inconvénients : - pas très facile à visualiser si les pôles et zéros sont répartis sur plusieurs décades - robustesse pas facilement identifiable - l’approximation peut être dangereuse si il y a des retards importants Vérification utile en cas de doute si la fonction est complexe 24

II. Boucles d’asservissement 2. Critères de stabilité : b. critère de Bode Marge de gain ↑ = 5. 6 Marge de phase de la fonction de transfert en B. O. au croisement du gain unité Marge de gain ↓ = 3. 7 f. GU = fréquence au gain unité = 32 Hz Inconvénients : - seulement si le gain unité n’est « croisé » qu’une seule fois - systèmes à phase minimale Facile, pour les systèmes courants (pas de résonance forte) MP = marge de phase = +41° 25

II. Boucles d’asservissement 2. Critères de stabilité : c. critère de Black-Nichols (1/3) Marge de gain ↑ = 5. 6 gain unité Marge de gain ↓ = 3. 7 MP = marge de phase = +41° laisser « le » point (-180, 1) sur la droite lorsqu’on parcourt la courbe vers les fréquences croissantes Inconvénient : - absence de lecture des fréquences Avantages : - facile - toutes les marges en un coup d’œil - surtensions en boucles fermée (amplification des bruits) 26

II. Boucles d’asservissement 2. Critères de stabilité : c. critère de Black-Nichols (2/3) Exemple de système avec une résonance (ça arrive !) Laisser tous les points (-180*(2 k+1), 1) sur la droite lorsqu’on parcourt la courbe vers les fréquences croissantes Bode ne “marche” pas Marges “confortables” : MG = 2 MP = 30° ( surtension =2) 27

II. Boucles d’asservissement 2. Critères de stabilité : c. critère de Black-Nichols (3/3) Cas très exceptionnel : filtres de Coulon 28

II. Boucles d’asservissement 2. Critères de stabilité : boucles imbriquées (1/2) Ex. Verrouillage d’un laser sur un FP avec des actionneurs de différentes rapidités 29

II. Boucles d’asservissement 2. Critères de stabilité : boucles imbriquées (2/2) Ex. Verrouillage d’un laser sur un FP avec des actionneurs de différentes rapidités avec La boucle lente contient un capteur effectif ; elle est indépendante de la réponse de la cavité. Pour que l’ensemble soit stable, il suffit que la fréquence de G. U. de la boucle rapide soit une décade au-dessus de celle de la boucle lente. 30

II. Boucles d’asservissement 3. Prescriptions pour la conception d’une boucle (1/3) 1. La “vitesse” de réponse de l’actionneur ou du capteur, éventuellement les retards, définissent la fréquence de gain unité. 2. Conception la forme de la FTBO pour remplir les spécifications : - sur le RMS du signal d’erreur - et/ou sur sa densité spectrale - ou tout autre fonction de la DSL 31

II. Boucles d’asservissement 3. Prescriptions pour la conception d’une boucle (2/3) Méthode itérative, pour un système dont on n’a pas une connaissance à priori de tous les paramètres : 1. On définit une première boucle, de forme simple, sans souci des spécifications ; on verrouille le système. 2. On mesure - la DSL du signal de correction - la DSL du signal d’erreur - la FTBO (fonction de transfert en boucle ouverte) => On ajuste le modèle informatique des éléments de la boucle à la mesure 3. On définit une nouvelle boucle plus performante telle qu’elle remplit les spécifications. Intégrateurs à très basse fréquence, jusqu’à ~f. GU/10 : annule les erreurs statiques de position, de vitesse, etc. 32

II. Boucles d’asservissement 3. Prescriptions pour la conception d’une boucle (3/3) Dans la pratique, on peut se trouver limité (saturation) par les dynamiques des électroniques, des échantillonneurs, etc. Solution 1 : filtres de pré-compensation (Dolby) Solution 2 : changement de fréquence de gain unité par ex : actionneurs multiples 33

II. Boucles d’asservissement 4. Mesures dans une boucle d’asservissement nlaser p + - e 1 SPDH zseismic scorr e 2 Cfilter Factuation zcavity n 0/Lcavity On ajoute une perturbation pendant que la boucle est fermée : - bruit blanc, bruit “blanc” dans une bande limitée, bruit coloré - sinus, et mesure avec ampli lock-in ou analyseur de réseau 34

Plan I. Éléments des boucles Systèmes « LTI » – fonctions de transfert Densités spectrales Capteurs et actionneurs La cavité FP comme capteur fonctions de transfert pour déplacement et fréquence II. Boucles d’asservissement Calculs de boucle fermée Critères de stabilité boucle simple ex. de boucles imbriquées Prescriptions pour la conception d’une boucle Mesures dans une boucle d’asservissement 35