Fonctionnement du bton arm en flexion 1 Le

Fonctionnement du béton armé en flexion 1

Le principe du béton armé en flexion ü le béton reprend les efforts de compression ü les aciers reprennent les efforts de traction. Un élément en béton armé est optimisé lorsque les matériaux béton et acier travaillent au maximum de leurs possibilités. (si l’acier travaille à seulement 80 % de ses possibilités, il faudra ajouter 20 % d’acier en plus pour assurer l’équilibre) 2

Diagramme contrainte – déformation de l’acier ( EC 2 ) : L’acier travaillera au maximum à partir d’une contrainte fyd L’Eurocode 2 limite généralement l’allongement unitaire de l’acier à 10 ‰ L’acier travaillera au maximun lorsque l (2. 174 ‰) < s < 10 ‰ : 3

Diagramme contrainte – déformation du béton ( EC 2 ) : Le béton travaillera au maximum à partir d’une contrainte c = fcu, c’est à dire pour un allongement unitaire du béton supérieur à c = 2 ‰. L’ Eurocode 2 limite l’allongement unitaire du béton à 3, 5 ‰ Le béton travaillera au maximun lorsque 2‰< c <3, 5 ‰ : 4

Il faudra donc dimensionner nos éléments de manière à respecter : l (2. 17 ‰) < s Acier < 10 ‰ 2 ‰ < c < 3, 5 ‰ Béton On respecte le règlement et on optimise l’élément en béton armé. 5

Prenons le cas d’un exemple d’une poutre classique soumise à la flexion. Le diagramme déformation de la section a l’allure suivante : 3. 5 2 y d 2. 17 10 Dans cet exemple, la section est ici bien dimensionnée car les déformations de l’acier et du béton sont dans les intervalles énoncés précédemment. Les matériaux travaillent donc de manière efficace. 6

Le moment de plastification Ml est le moment sollicitant une section permettant d’atteindre s = l = 2, 17 ‰ (limite de la zone élastique / plastique) Diagramme des déformations Diagramme des contraintes b 3, 5 ‰ 0, 8 yl yl d fcu Ml d Ast. fyd 2, 17 ‰ On obtient dans ce cas un axe neutre à une distance yl = 0. 618 d de la fibre supérieure de la poutre. Théorème de Thalès : 3, 5/yl = 10/(d-yl) Calcul de Ml : la section est en équilibre Ml = 0, 8 yl fcu b (d - 0, 4 yl) ⇨ Ml = 0, 372 b d² fcu d’ou yl = 0. 618 d ⇨ on pose Σ Mt/aciers = 0 avec yl=0. 618 d 7

Les aciers travaillent-t-il bien ? Comparons Mu à Ml : moment de plastification des aciers Si Mu < Ml ⇨ s > 2, 17 ‰ ⇨ les aciers W bien… 8

Diagramme des contraintes 2 inconnues ⇨ 2 équations b Σ F/x = 0 Σ Mt /aciers Σ F/x = 0 y =0 : 0, 8 y b fcu = fsu Ast Σ Mt/aciers = 0 0, 8 y fcu (1) : Mu = 0, 8 y b fcu (d – 0. 4 y) d Mu (2) Ast. fyd L’équation (2) donne y. L’équation (1) donnera ensuite Ast (2) : Mu = 0, 8 y b fcu (d – 0. 4 y) ⇨ y² - 2, 5 d y + ⇨ y (1) : ⇨ = 1, 25 d 1 - =0 (c’est la solution « cohérente » de l’équation) 0, 8 y b fcu = fcu Ast = 9

Remarques concernant les unités Le plus simple est de respecter les unités suivantes : ü Les longueurs (b, h, d, y) sont en mètres (m) ü Fck, Fyk, Fcu, Fyd sont en MPa, Mu en MN (Les « Mégas » s’annuleront entre eux) ü Les sections d’aciers Ast et Asc sont en m² ( multiplier ensuite par 104 si on veut des cm²) 10

Si Mu > Ml ⇨ s < 2, 17 ‰ ⇨ les aciers W mal ! z z Les charges sont trop importantes / poutre ⇨ besoin de plus de béton comprimé pour résister. ⇨ l’axe neutre descend. ⇨ le bras de levier entre le centre de poussée du béton et des aciers diminue ⇨ N’ayant pas de bras de levier suffisant, les aciers travaillent dans de mauvaises conditions ( s ≤ 2, 17 ‰) 11

Solutions pour optimiser dans la cas ou Mu > Ml On voudrait avoir Mu < Ml Ø fck sachant que ⇨ fcu ⇨ Ml = 0, 372 b d² fcu Ml Ø b ou d ⇨ Ml Ø Ajout Asc ⇨ ⇨ ⇨ Les aciers comprimés « aident » le béton comprimé réduit la zone de béton comprimé monte ainsi l’axe neutre augmente le bras de levier z permet aux aciers de bien travailler z z 12

On ajoute juste assez d’aciers comprimés pour remonter l’axe neutre de y à yl. On aura ainsi s = 2, 17 ‰) Diagramme des déformations 3, 5 ‰ Diagramme des contraintes Asc. fyd Yl d d’ b fcu 0, 8 yl d =0, 618 d Mu Ast. fyd 2, 17 ‰ Il y a 2 inconnues Ast et Asc (y est connu : y = yl =0. 618 d) Σ F/x = 0 : Asc. fyd + 0, 8 y b fcu = fyd Ast (1) Σ Mt/aciers = 0 : Mu = 0, 8 y b fcu (d – 0. 4 y) + Asc. fyd (d – d’ ) (2) Ml !!!!! 13

L’équation (2) donne : Asc = L’équation (1) donne : Ast = Asc + avec yl = 0. 618 d Le règlement impose que la part d’efforts repris par les aciers comprimés ne dépasse pas 40 % de l’effort total, c’est à dire : Il faut : Mu - Ml < 0, 4 Mu(sinon, on redimensionne la poutre) En présence d’Asc, il faut mettre des cadres tous les 12 Ø des Asc (pour éviter le flambement des aciers comprimés). Exemple : si les Asc sont en Ø 12, alors les cadres sont espacés de 14 cm. 14

Synthèse : Voir la fiche du dimensionnement à l’ ELU d’une section rectangulaire 15

w w w. l e s d e n t s d u w e b. c o m 16