Folosirea multiplicatorilor Lagrange pentru rezolvarea problemelor de optim

Folosirea multiplicatorilor Lagrange pentru rezolvarea problemelor de optim cu restricţii de tip egalitate

, Fie cazul cǎutǎrii extremului (de exemplu , a maximului) unei funcţii criteriu de n variabile (1) cu m restricţii de tip egalitate (2) 2

este demonstrat cǎ punctual care maximizeazǎ funcţia criteriu (1), cu respectarea restricţiilor (2), poate fi obţinut prin optimizarea (maximizarea) fǎrǎ restricţii a funcţiei Funcţia este denumitǎ funcţie Lagrange (sau lagrangean), iar scalarii sunt numiţi multiplicatorii Lagrange 3

Extremul funcţiei Lagrange se obţine prin intermediul condiţiilor 4

EXEMPLUL 1 : PROBLEMA REZERVORULUI CILINDRIC S = 2πrl + 2πr 2 = S 0 5

6

EXEMPLUL 2 : Se consideră circuitul din figura Se cere să se determine valorile R şi X astfel încât să se minimizeze tensiunea continuă de ieşire Uc în regim permanent, respectând următoarele valori pentru valorile efective ale tensiunii alternative de intrare u şi curentului i: U = 110 V, I = 0. 1 A, frecvenţa = 50 Hz

Modelul matematic este reprezentat de următoarele ecuaţii: ceea ce este echivalent cu: 8

Funcţia Lagrange va fi de forma: iar sistemul de ecuaţii care trebuie rezolvat pentru determinarea soluţiei optime: 9

Acest sistem are două soluţii: 10

11

EXEMPLUL 3 : Să se determine punctele de extrem ale funcţiei f(x, y, z) = xyz în prezenţa restricţiilor x+y+z=5 xy + yz + zx = 8 12

Construim funcţia lui Lagrange: Determinăm punctele critice şi valorile corespunzătoare ale multiplicatorilor Lagrange. 13

Obţinem sistemul simetric: Adunăm între ele primele trei ecuaţii şi înlocuim suma şi suma dublelor produse din ultimele două ecuaţii 14

Scădem între ele, două câte două, primele trei ecuaţii reducem termenii asemenea şi scoatem factorul comun 15

Conform fiecărei ecuaţii în parte, avem de analizat câte două situaţii: Este suficient să studiem următoarele patru cazuri: 16

Observăm că i), iii) şi iv) conduc la x = y = z de unde, conform ecuaţiilor a patra şi a cincea din sistemul iniţial, rezulta contradicţia 3 x = 5 şi 3 x 2 = 8 În cazul ii) z = x = -μ, iar ecuaţiile a patra şi a cincea din sistemul initial devin Efectuăm substituţia y = 5 – 2 x în ultima ecuaţie şi obţinem succesiv 17

18

punctele critice sunt: 19

Calculăm derivatele parţiale de ordinul doi ale funcţiei Lagrange şi formăm diferenţiala de ordinul al doilea:

21