FNIX ME Megjul Egyetem felsoktatsi intzmnyi fejlesztsek a

„FŐNIX ME” – Megújuló Egyetem felsőoktatási intézményi fejlesztések a felsőfokú oktatás minőségének és hozzáférhetőségének együttes javítása érdekében EFOP 3. 4. 3 -16 -2016 -00015 1. Részprojekt – Közösségi Felsőoktatási Képzési Központ kialakítása FELADATMEGOLDÁSOK A FIZIKA I. TÁRGY KERETÉBEN SEGÉDANYAG DR. MAJÁR JÁNOS

Tartalom - Bevezető gondolatok 3. dia - Ideális kötél és ideális csiga működése 7. dia - Lejtőn lefelé csúszó test mozgásának leírása 17. dia - Feladatok a Dinamika alapfogalmaihoz kapcsolódóan 24. dia 36. dia - Összetett lejtős feladatok 48. dia 61. dia - Merev test statikájához kapcsolódó feladatok 76. dia 85. dia

Célok, megkövetelt előismeretek A segédanyag célja, hogy részletes betekintést nyújtson a Fizika I. oktatása során előkerülő legfontosabb feladattípusok megoldásába. A hallgatótól az alábbi anyagrészek ismerete és értése várható el a feladatmegoldások értelmezéséhez: - A kinematika alapfogalmai mind a haladó, mind a forgómozgáshoz kapcsolódóan - Koordinátarendszerek megfelelő kezelése, vektor-összefüggések felírása komponensenként - Newton-törvények - Merev test rögzített tengely körüli forgó mozgása - Merev test statikájának összefüggései

Jelölések, megfontolások Azért, hogy az anyag minél szélesebb körben használható legyen, és minél egyszerűbbek legyenek a jelölések, az alábbi eljárásokat vezettük be: - A vektorokat a képletekben igyekeztünk a betűjel fölé tett nyilakkal jelölni, de ahol ez nem volt lehetséges, félkövér betűvel jelöltük a szövegtörzsben. - Az ellenerőket ugyanazzal a betűjellel jelöltük, mint a hozzájuk tartozó erőhatásoknál. A nyíl jelöli az irányt, a betűjel pedig a vektor nagyságát kódolja. - Ha egy mennyiség jelölésében nem szerepel a kis nyíl, illetve nincs a mennyiség félkövér betűvel szedve, az skalár-mennyiséget jelöl, még akkor is, ha egy vektor hosszáról van szó. Fontos még kiemelni, hogy azoknál a feladatoknál, amelyek több test együttes mozgását, vagy egyensúlyi helyzetét írják le, a különböző testek mozgását különböző koordináta-rendszerekben is leírhatjuk, lévén az egyenleteket inerciarendszerekben írjuk fel.

Ideális kötél, ideális csiga, mozgás lejtőn A feladat-megoldásokban olyan egyszerűsített dinamikai rendszerek szerepelnek, amelyek segítségével elsajátíthatóak az összetettebb, valósághoz közelebb álló feladatok megoldásához szükséges módszerek. Ezért a testeket egymáshoz kapcsoló fizikai rendszereket idealizált esetben vizsgáljuk. Ideális kötél - Tömege nulla (elhanyagolhatóan kicsi) - Nem nyúlik az anyaga Ideális csiga - Tömege, és így tehetetlenségi nyomatéka nulla (elhanyagolhatóan kicsi) - Súrlódásmentesen fordul el a tengelye körül - Tökéletesen kör keresztmetszetű (nem feltétlenül henger, pereme lehet) Megjegyzések lejtőn történő mozgás leírásához - Azt az egyszerűsített esetet vizsgáljuk, ahol a lejtőnek minden pontban ugyanakkora a vízszintessel bezárt szöge (egyenes lejtő) - Továbbá, olyan mozgásokat vizsgálunk, amelyek a lejtővel párhuzamosak: a testek nem „esnek bele” a lejtőbe, és nem emelkednek el róluk.

Figyelem!!!! Különböző powerpoint verziók nem biztos, hogy a képleteket (illetve azok kép formátumait) meg tudják jeleníteni. Különösen igaz ez a vektor-jelekre és a szummákra. Az is előfordulhat, hogy a zárójelek némelyikét nem megfelelően, vagy egyáltalán nem jelenítik meg. Előfordulhat olyat is, hogy bizonyos animációkat rosszul jelenít meg a program, ennek során az animált elem el is tűnhet.

Ideális kötél és ideális csiga mechanika feladatokban

Ideális kötél I. Kössön össze két testet (1 -es számú és 2 -es) egy ideális kötél! Vizsgáljuk meg, hogy a két testre milyen erők hatnak! Fontos: a két test között nincs kontaktus, így legfeljebb a köztük lévő gravitációs kölcsönhatást vehetnénk figyelembe, az viszont elhanyagolhatóan kicsi. 1 KA KA Rajzoljuk be az erőhatásokat! (A kötélerő a kötél irányával párhuzamos) KB 2 KB Kötélerő hat az 1 -es számú testre Kötélerő hat az 2 -es számú testre Rajzoljuk be az ellenerőket is! Az 1 -es test hatása a kötélre (Azonos nagyság, ellentétes irány) A 2 -es test hatása a kötélre Megjegyzés: bizonyos feladatokban zavart okozhat, ha a testeket és a kötélerőket azonos index-szel jelöljük. Ezért vezettünk be A és B kötélerőt az 1 -es és 2 -es jelzések helyett.

Ideális kötél II. Nézzük meg, mit jelent mindez a kötélre vonatkozóan! KA KB + Ha a kötélnek lenne tömege, akkor középen behajlana, így bonyolultak lennének az egyenleteink, és a kötélerők is más irányúak lennének. De mivel az ideális kötél tömege elhanyagolhatóan kicsi, a fenti ábra (és az előző oldalon található) helyes, és a kötélre vonatkozó egyenlet egyszerűen felírható. Válasszunk egy alkalmas koordinátarendszert, majd ebben írjuk fel a mozgásegyenletet a kötélre! KB – KA = mkötél a

Ideális kötél III. De mivel a kötél tömege elhanyagolható, KB – KA = mkötél a = 0, vagyis KB = KA , ami szerint ideális kötél két végén ugyanolyan nagyságú erő ébred, a kötél mindkét testre ugyanolyan nagyságú erővel hat. Az ideális kötél másik fontos tulajdonsága, hogy nyújthatatlan, vagyis a hossza állandó. Ez akkor érdekes, ha a két, összekötött test a kötél irányában mozog, ugyanis ekkor mindkét test elmozdulása, sebessége, gyorsulása ugyanakkora (még ha az irányok különböznek is!). Jellemző kivétel a körmozgás, ha a körmozgást végző testet a pálya középpontjához rögzített kötél tartja pályán. Ekkor a pálya középpontján lévő test áll(hat), míg a körmozgást végző test haladó mozgást végez. De láthatóan a test nem kötélirányban mozog, hanem arra merőlegesen…

Ideális kötél - összefoglalás Az ideális kötélnek két meghatározó tulajdonsága van: - Elhanyagolhatóan kicsi a tömege - Nyújthatatlan, vagyis a hossza állandó Ezek alapján az ideális kötelet a következőképpen kezelhetjük feladatmegoldás során. 1 K K 2 A kötéllel összekötött testekre a kötél végén ugyanolyan nagyságú erő ébred. A kötélerők a kötéllel párhuzamosak (azt az irányt nézzük, ami a testhez való kapcsolódás pontjában érvényes). Ha mindkét test elmozdulása ugyanabba az irányba mutat, mint az egyes kapcsolódási pontokban a kötél, akkor a két test elmozdulásának, sebességének és gyorsulásának a nagysága azonos.

Ideális csiga I. Forgasson meg egy rögzített tengely körül szabadon forgó (nincs a tengelynél ébredő erő, ami forgatónyomatékot fejteni ki, pl. súrlódás), R sugarú csigát egy F 1 és egy F 2 erő! T F 1 F 2 G Rajzoljuk be a csigára ható erőket! A forgató F 1 erő A forgató F 2 erő A csigára ható nehézségi erő A tengely által kifejtett tartóerő

Ideális csiga II. Lévén rögzített tengely körül forog, haladó mozgást a csiga nem végez. Forgó mozgást viszont igen! Így a mozgása leírására a forgó mozgás alapegyenletét fogjuk felírni, vagyis Az egyenlet bal oldalán az erőhatások forgatónyomatékainak összege található a forgási tengelyre vonatkoztatva, a választott pozitív forgási irány figyelembe vételével. + T F 1 R R F 2 . A csiga súlyának az erőkarja 0 m hosszúságú, így a forgatónyomaték is 0 Nm. Ugyanez igaz a tengely által kifejtett tartóerőre is. G Az F 1 erőkarja láthatóan R, és mivel a választott pozitív irányba forgat, a forgatónyomatéka F 1·R. Az F 2 erőkarja is R, viszont a választott pozitív iránnyal ellentétesen forgat, így a forgatónyomatéka - F 2·R. Így ΣM = F 1·R - F 2·R.

Ideális csiga III. Azonban az ideális csiga tömege elhanyagolhatóan kicsi. Így a θ tehetetlenségi nyomaték is elhanyagolható. Így az egyenlet jobb oldalán 0 áll, vagyis ΣM = F 1·R - F 2·R = 0. F 1 F 2 Ebből egyszerűen adódik, hogy F 1 = F 2. Ez alapján, egy feladat megoldása során tudható, hogy az ideális csigát forgató két, érintőirányú erőhatás azonos nagyságú (az irányuk persze lehet eltérő). Az erőket így egyszerűen F-el jelölhetjük.

Ideális csigán átvetett kötél I. Kössünk most össze két testet egy rögzített tengely körül szabadon forgó ideális csigán átvetett ideális kötéllel! KA KA 2 Az ideális kötél működése miatt a kötélerők a testek és a csiga között így működnek. Az ideális csiga viszont biztosítja, hogy a két kötélerő azonos nagyságú, ezt K-val jelöljük. KB 1 KB

Ideális csigán átvetett kötél II. Vagyis egy feladat megoldásában, ha két testet egy rögzített tengely körül szabadon forgó ideális csigán átvetett ideális kötéllel kötünk össze, a következőképpen kezelhetjük! K 2 A kötél két végén, a kötélnek a kapcsolódási pontnál érvényes irányába mutatóan berajzoljuk a kötélerőket. Ha mindkét test a rájuk ható kötélerővel párhuzamosan mozog (ezt a testekre ható többi erő határozza meg), akkor még az is felhasználható információ, hogy a két test elmozdulásának, sebességének és gyorsulásának a nagysága megegyezik. 1 K

Mozgás lejtőn

Mozgás lejtőn I. Vizsgáljuk meg, hogy egy M tömegű test mozgása hogyan írható le, ha az egy α szögű lejtőn mozog (esetünkben lefelé), figyelembe véve a test és a lejtő közti súrlódási erőt! A lefelé mozgás azt jelenti, hogy a kezdeti sebessége a testnek 0, vagy lefelé mutat, a lejtővel párhuzamosan. α

Mozgás lejtőn II. Rajzoljuk be a testre ható erőket! TM Nehézségi erő – függőlegesen lefelé mutat Tartóerő a lejtő részéről – a felületre merőleges Súrlódási erő a test és a lejtő között – az érintkezési felülettel párhuzamos, és felfelé mutat, lévén a test lefelé mozog a lejtőn SM α GM

Mozgás lejtőn III. Célunk a mozgásegyenletet felírása és megoldása, hiszen így tudjuk majd meghatározni, hogy mekkora gyorsulással halad a test. Ehhez először alkalmas koordinátarendszert kell választanunk. a TM Mivel a test mindenképpen a lejtővel párhuzamosan halad, a szokásos függőleges-vízszintes koordinátarendszerben bonyolult feltételt kapunk a gyorsulás irányára. Ehelyett a koordinátarendszerünk egyik tengelyét a lejtővel párhuzamosan (a gyorsulás irányába választva a pozitív irányt), a másikat a lejtőre merőlegesen választjuk. SM α GM + + Így a gyorsulásra vonatkozó feltételünk annyi lesz, hogy annak a lejtőre merőleges komponense zérus, vagyis a┴ = 0.

Mozgás lejtőn IV. Az így választott koordináta-rendszerünknek további előnye, hogy a tartóerő és a súrlódási erő komponensekre bontása is egyszerű: a tartóerőnek csak a lejtőre merőleges komponense nem nulla, a súrlódási erőnek csak a lejtővel párhuzamos komponense. A nehézségi erőt viszont fel kell bontanunk két komponensre. + + TM Ehhez fontos észrevenni, hogy az erőhatás merőleges a talajra, míg a lejtőre merőleges irány merőleges a lejtőre. Így kapunk két merőleges szárú szöget. Az így kapott derékszögű háromszögben már könnyedén ki tudjuk számolni a nehézségi erő komponenseit. Lejtőre merőleges komponens SM GM┴ GM|| α α GM Lejtővel párhuzamos komponens

Mozgás lejtőn V. Felírjuk a mozgásegyenletet a megadott koordináta-rendszerekben, komponensenként (előjelekre fontos figyelni!) Lejtőre merőleges komponens TM TM – GM ┴ + 0 = 0, hiszen lejtőre merőlegesen 0 a gyorsulás SM GM┴ Lejtővel párhuzamos komponens α 0 + GM|| - SM = Ma. GM|| GM

Mozgás lejtőn VI. A fenti egyenletekbe behelyettesítjük, hogy Így az alábbi egyenletrendszert kapjuk Az első egyenletből kifejezve a tartóerőt, és azt behelyettesítve a második egyenletbe az alábbi összefüggést kapjuk Ennek megoldása a gyorsulásra - Ha a megoldás értéke pozitív, akkor a választott pozitív irányba fog gyorsulni (és haladni) a test. - Ha a megoldás negatív, akkor vagy lassuló mozgást végez a test, vagy ha 0 a kezdeti sebessége, akkor áll (csúszás helyett tapadási súrlódás hat rá). Megjegyzés: a súrlódás nem húzhatja felfelé a testet.

Tömegpont dinamikájának alapjai I. feladat

A feladat Egy M=20 kg tömegű ládát leteszünk a padlóra, ráhelyezünk egy m=5 kg tömegű dobozt. A két testet egy nyújthatatlan, de könnyű kötéllel összekötjük egy falhoz rögzített könnyű csigán keresztül. Ezután F=220 N erővel elkezdjük a ládát húzni vízszintesen. A doboz és a láda között a súrlódási együttható 1 =0, 2 , a láda és a padló között pedig 2 =0, 4. Mekkora a láda gyorsulása? m F M

A feladat értelmezése, mértékegységek Jól látható, hogy a m tömegű doboz csak balra mozoghat, míg a M tömegű láda csak jobbra. Így természetesen a kötél is megfeszül, ezért a két test gyorsulásának nagysága meg fog egyezni, illetve a kötél két végén ugyanolyan nagyságú erő fog ébredni. A mennyiségek értéke mind SI mértékegységgel van megadva, így az átváltásukkal nincs dolgunk. m F M

Erők felrajzolása I. Tm Nehézségi erő m-re K Nehézségi erő M-re Sm K Tartóerő m-re F Gm TM Tartóerő M-re Súrlódási erő a láda és a doboz között Súrlódási erő a láda és a talaj között SM GM De ezzel még nincs vége… Kötélerők

Erők felrajzolása II. … mert még figyelembe kell vennünk az ellenerőket is! Tm A nehézségi erők ellenerői a Földre hatnak, a testek mozgásánál nem számítanak Sm Sm Newton III. A M-re ható tartóerő ellenereje a talajra hat, a testek mozgásánál nem számít A talaj és a láda közti súrlódási erő ellenerő a talajra hat – nem számít Az F erő ellenereje a ládát húzó személyre hat – nem számít Tm A kötélerők ellenerői a kötélre hatnak – nem számítanak A m-re ható tartóerő ellenereje a ládát nyomja lefelé, ugyanolyan nagyságú, ellentétes irányú erő És ezeket is figyelembe kell vennünk a testek mozgásának leírásakor! A láda és a doboz közti súrlódás nem csak a dobozt, hanem a ládát is lassítja, ugyanolyan nagyságú, ellentétes irányú erő

Erők felrajzolása III. Ezzel a dobozra és a ládára ható erők teljes rendszere az alábbi Tm K Sm Sm K Gm Tm TM F SM GM Mivel a testek közti kapcsolatokat feltártuk, innentől a két test mozgását külön-külön írjuk le…

Koordinátarendszer-választás Tm + A doboz balra mozog, így az egyenleteit ebben a koordinátarendszerben érdemes felírni K Sm + Gm Sm K F Tm TM SM GM A láda jobbra mozog, így az egyenleteit ebben a koordinátarendszerben érdemes felírni + + Megjegyzés: a függőleges tengely mentén tetszőlegesen választható mindkét irány pozitívnak.

Mozgásegyenletek komponensenként felírva I. Felírjuk a mozgásegyenletet a megadott koordináta-rendszerekben, komponensenként (előjelekre figyelni!) m test, függőleges komponens Tm Tm – Gm + 0 = 0, K Sm Gm hiszen függőlegesen 0 a gyorsulás m test, vízszintes komponens 0 + K – Sm = ma.

Mozgásegyenletek komponensenként felírva II. Sm M test, függőleges komponens K F Tm TM TM – Tm – GM + 0 + 0 = 0, hiszen függőlegesen 0 a gyorsulás M test, vízszintes komponens SM GM 0 + 0 + F – K – Sm – SM = Ma.

A megoldandó egyenletrendszer Tm A fenti egyenletekbe behelyettesítjük, hogy K Sm Gm Így az alábbi egyenletrendszert kapjuk Sm K F Tm TM SM GM

Az egyenletrendszer megoldása I. Az egyenletrendszer sokféleképpen megoldható, itt mutatunk egyfajta megoldási utat, ahol a végeredmény formálisan is előáll, és csak a végén helyettesítünk be. Első lépésként a függőleges komponensekre vonatkozó egyenletekből kifejezzük a tartóerőket Majd az így kapott eredményeket behelyettesítjük a vízszintes komponensek egyenleteibe Ezzel két-ismeretlenes egyenlet-rendszerre redukáltuk a problémát.

Az egyenletrendszer megoldása II. Az előálló két-ismeretlenes egyenletrendszer is sokféleképpen megoldható. Standard eljárás ilyen típusú feladatoknál, hogy összeadjuk a két egyenletet, így a kötélerők kiesnek, és csak a gyorsulás marad ismeretlen az egyenletben. Átrendezés és behelyettesítés után a megoldás Vagyis a doboz és a láda is 4 m/s 2 gyorsulással fog mozogni, a doboz balra, a láda pedig jobbra.

Tömegpont dinamikájának alapjai II. feladat

A feladat Egy M=10 kg tömegű, téglatest alakú ládát leteszünk a padlóra, függőleges oldalára helyezünk egy m=2 kg tömegű kis dobozt. A doboz és a láda között mind a csúszási, mind a tapadási súrlódási együttható 1=0, 2, a láda és a padló között pedig mindkettő 2=0, 5. a) Legalább mekkora legyen a láda gyorsulása, hogy a doboz ne essen le? b) Mekkora vízszintes F erővel kell ehhez a ládára hatni? F m M

A feladat értelmezése, mértékegységek Jól látható, hogy az m tömegű doboz és az M tömegű láda is csak jobbra mozoghat, ha az a cél, hogy a doboz ne essen le a láda oldaláról. Ráadásul ehhez a kettő gyorsulásának meg kell egyezni. A mennyiségek értéke mind SI mértékegységgel van megadva, így az átváltásukkal nincs dolgunk. F m M

Erők felrajzolása I. TM Nehézségi erő m-re Sm Nehézségi erő M-re Tm F Tartóerő M-re A láda toló ereje m-re Gm Súrlódási erő a láda és a doboz között Súrlódási erő a láda és a talaj között SM GM De ezzel még nincs vége…

Erők felrajzolása II. … mert még figyelembe kell vennünk az ellenerőket is! A nehézségi erők ellenerői a Földre hatnak, a testek mozgásánál nem számítanak Sm Tm Tm Newton III. A M-re ható tartóerő ellenereje a talajra hat, a testek mozgásánál nem számít A talaj és a láda közti súrlódási erő ellenerő a talajra hat – nem számít Az F erő ellenereje a ládát toló személyre hat – nem számít Sm És ezeket is figyelembe kell vennünk a testek mozgásának leírásakor! A m-re ható toló erő ellenereje a ládát nyomja visszafelé, ugyanolyan nagyságú, ellentétes irányú erő A láda és a doboz közti súrlódási erő nem csak a doboz, hanem a láda mozgását is befolyásolja, ugyanolyan nagyságú, ellentétes irányú erő

Erők felrajzolása III. Ezzel a dobozra és a ládára ható erők teljes rendszere az alábbi TM Sm Tm Tm F Gm Sm SM GM Mivel a testek közti kapcsolatokat feltártuk, innentől a két test mozgását külön-külön írjuk le…

Koordinátarendszer-választás Mindkét test jobbra mozog, így az egyenleteket ebben a koordinátarendszerben érdemes felírni + Megjegyzés: a függőleges tengely mentén tetszőlegesen választható mindkét irány pozitívnak. + TM Sm Tm Tm F Sm SM GM Gm

Mozgásegyenletek komponensenként felírva I. Felírjuk a mozgásegyenletet a megadott koordináta-rendszerekben, komponensenként (előjelekre figyelni!) m test, függőleges komponens Sm Sm – Gm + 0 = 0, Tm Gm hiszen a feladat szövege szerint függőlegesen 0 kell legyen a gyorsulás m test, vízszintes komponens 0 + Tm = ma.

Mozgásegyenletek komponensenként felírva II. M test, függőleges komponens TM TM + 0 – GM + 0 – Sm + 0 = 0, hiszen függőlegesen 0 a gyorsulás Tm F M test, vízszintes komponens 0 – Tm + 0 + F + 0 – SM = Ma. Sm SM GM

A megoldandó egyenletrendszer Sm A fenti egyenletekbe behelyettesítjük, hogy Tm Gm TM Így az alábbi egyenletrendszert kapjuk Tm F Sm SM GM

Válasz az a) kérdésre A fentiek alapján elsőként az a) kérdésre tudunk választ adni. Ehhez a m tömegű testre vonatkozó egyenletekre lesz csak szükségünk. Vagyis a behelyettesítések után Vagyis a testeknek legalább 50 m/s 2 gyorsulással kell mozogni. Ha ennél kisebb a gyorsulás, akkor a toló erő nagysága kisebb, vagyis a súrlódási erő nem lesz elegendően nagy, hogy megtartsa a testet – az meg fog csúszni.

Válasz az b) kérdésre Ezek után rátérhetünk a b) kérdésre. Ehhez M egyenleteire lesz szükségünk. A megoldáshoz be kell helyettesítenünk m egyenletei alapján És így Behelyettesítés után Vagyis a ládát legalább 660 N erővel kell tolnunk, hogy a doboz ne essen le a széléről.

Mozgás lejtőn I. feladat

A feladat Az ábrán az alsó lejtő α=70 o, a felső pedig β=20 o szöget zár be a vízszintessel. A felső test tömege M=2 kg, az alsóé m=1 kg, a kötél és a csiga súlytalan. A M test és a lejtő közti súrlódási együttható M =0, 5, az alsó test és lejtő között m =0, 1. Mekkora a testek gyorsulása? M β m α

A feladat értelmezése, mértékegységek I. Jól látható, hogy mindkét test a lejtőn lefelé fog mozogni. M Az azonban érdekes kérdés, hogy a kötél megfeszül-e. β Ennek kiderítéséhez a feladatot meg kell oldani a kötél nélkül, és összehasonlítani a két test gyorsulását. Ha m gyorsulása nagyobb, akkor a kötél megfeszül. Más esetekben nem. m α

A feladat értelmezése, mértékegységek II. A lejtőn történő mozgás korábban megadott leírása alapján elmondható, hogy a kötél hatása nélkül M β lenne, vagyis a felül lévő test meg sem mozdulna, ha az alsó test nem húzná. m α Így természetesen a kötél is megfeszül, ezért a két test gyorsulásának nagysága meg fog egyezni, illetve a kötél két végén ugyanolyan nagyságú erő fog ébredni. A mennyiségek értéke mind SI mértékegységgel van megadva, így az átváltásukkal nincs dolgunk.

Erők felrajzolása I. TM Nehézségi erő m-re Nehézségi erő M-re K SM Tartóerő m-re Tartóerő M-re β GM Súrlódási erő m és a lejtő között K Sm Tm Súrlódási erő M és a lejtő között Kötélerők α Gm

Erők felrajzolása II. A későbbiekben hasznos lesz felbontani a nehézségi erőket lejtőirányú, és arra merőleges komponensekre. TM K SM A számolások kedvéért most berajzoljuk a releváns szögeket. β β GM K Sm Tm α α Gm

Koordinátarendszer-választás I. Mivel a testek közti kapcsolatokat feltártuk, innentől a két test mozgását külön írjuk le… kezdjük a M tömegű testtel! A test a felső lejtővel párhuzamosan, lefelé mozog, így az egyenleteit ebben a koordinátarendszerben érdemes felírni (lejtőre merőleges és lejtővel párhuzamos). TM M SM GM┴ GM|| β K Ekkor a tartóerőnek, a kötélerőnek és a súrlódási erőnek is csak egy komponense lesz nem nulla. A nehézségi erőt viszont fel kellene bontanunk az alábbi komponensekre: Lejtőre merőleges ┴ komponens GM Lejtővel párhuzamos || komponens + +

Koordinátarendszer-választás II. Most folytassuk a m tömegű testtel! SM TM K Gm┴ Gm|| α m Gm A test az alsó lejtővel párhuzamosan, lefelé mozog, így az egyenleteit ebben a koordinátarendszerben érdemes felírni (lejtőre merőleges és lejtővel párhuzamos). Ekkor a tartóerőnek, a kötélerőnek és a súrlódási erőnek is csak egy komponense lesz nem nulla. A nehézségi erőt viszont fel kellene bontanunk az alábbi komponensekre: Lejtőre merőleges ┴ komponens Lejtővel párhuzamos || komponens + +

Mozgásegyenletek komponensenként felírva I. Felírjuk a mozgásegyenletet a megadott koordináta-rendszerekben, komponensenként (előjelekre figyelni!) M test, lejtőre merőleges ┴ komponens TM TM – GM ┴ + 0 = 0, M SM GM┴ hiszen lejtőre merőlegesen 0 a gyorsulás K M test, lejtővel párhuzamos || komponens β 0 + GM|| + K – SM = Ma. GM|| GM

Mozgásegyenletek komponensenként felírva II. SM TM K m test, lejtőre merőleges ┴ komponens Tm – Gm┴ + 0 = 0, Gm┴ Gm|| α m Gm hiszen lejtőre merőlegesen itt is 0 a gyorsulás m test, lejtővel párhuzamos || komponens 0 + Gm|| – K – SM = ma.

A megoldandó egyenletrendszer A fenti egyenletekbe behelyettesítjük, hogy Így az alábbi egyenletrendszert kapjuk

Az egyenletrendszer megoldása I. Az egyenletrendszer sokféleképpen megoldható, itt mutatunk egyfajta megoldási utat, ahol a végeredmény formálisan is előáll, és csak a végén helyettesítünk be. Első lépésként a függőleges komponensekre vonatkozó egyenletekből kifejezzük a tartóerőket Majd az így kapott eredményeket behelyettesítjük a vízszintes komponensek egyenleteibe Ezzel két-ismeretlenes egyenlet-rendszerre redukáltuk a problémát.

Az egyenletrendszer megoldása II. Az előálló két-ismeretlenes egyenletrendszer is sokféleképpen megoldható. Standard eljárás ilyen típusú feladatoknál, hogy összeadjuk a két egyenletet, így a kötélerők kiesnek, és csak a gyorsulás marad ismeretlen az egyenletben. Átrendezés és behelyettesítés után a megoldás Vagyis a két test 2, 166 m/s 2 gyorsulással fog mozogni a lejtőkön lefelé.

Mozgás lejtőn II. feladat

A feladat Az ábrán látható elrendezésben a lejtők szöge α=30° és β=45°, a (pontszerűnek tekinthető) testek tömege sorrendben m 1=4 kg, m 2=5 kg, m 3=1 kg, mindkét csiga könnyű és szabadon foroghat. A súrlódási együttható mindenütt =0, 1. Mekkora lesz a testek gyorsulása a lejtőhöz képest? 2 1 α 3 β

A feladat értelmezése, mértékegységek I. Jól látható, hogy mindkét kötél megfeszül, a kötélerőkkel számolni kell majd. Az azonban kérdés, hogy a három test melyik irányba mozoghat, ez ugyanis meghatározza a csúszási súrlódási erők irányát. Ha megfelelően választjuk a rendszer lehetséges mozgási irányát súrlódási erők nélkül, majd megoldjuk a feladatot a súrlódás figyelembe vételével, akkor kétféle eredményt kaphatunk: - A gyorsulás pozitív: az első lépésben meghatározott irányban gyorsulnak a testek. - A gyorsulás negatív: a testek lassuló mozgást végeznek, vagy állnak (tapadási súrlódás). 2 1 α 3 β

A feladat értelmezése, mértékegységek II. Ennek kiderítéséhez a feladatot meg kell oldani súrlódásmentes esetben egy választott mozgásirány figyelembe vételével, és a gyorsulása előjele megmondja, hogy milyen irányban mozognak a testek. Ha valaki végig követi a feladat lenti megoldását, de a súrlódási együtthatót 0 -nak tekinti, épp ezt a kérdés válaszolhatja meg. Az eredménye ennek a számolásnak: Jól láthatóan a mozgásirányt az határozza meg, hogy az 1 -es testre ható gravitációs erő lejtővel párhuzamos komponense nagyobb, vagy a 3 -as testre hatóé. Esetünkben az előbbi a nagyobb, vagyis a testek „balra” mozognak, vagyis pontosabban az 1 -es számú test a lejtőn lefelé, a 2 -es számú test vízszintesen balra, a 3 -as számú test a lejtőn felfelé mozog. Az egyes testekre ható súrlódási erők ezekkel az irányokkal ellentétesek kell legyenek. A mennyiségek értéke mind SI mértékegységgel van megadva, így az átváltásukkal nincs dolgunk.

Erők felrajzolása I. Nehézségi erők Tartóerők Kötélerők (a kavarodás elkerülése végett A és B jelű kötélerőket vezetünk be) Súrlódási erők – az irányokat a korábban meghatározott lehetséges mozgási irány (az α szögű lejtő felé gyorsul mindegyik test) határozza meg T 2 T 1 KA KB KA S 2 S 1 α G 1 KB G 2 T 3 β G 3 S 3

Erők felrajzolása II. A későbbiekben hasznos lesz felbontani a nehézségi erőket lejtőirányú, és arra merőleges komponensekre. A számolások kedvéért most berajzoljuk a releváns szögeket (a merőleges szárú szögek alapján). T 2 KA T 1 KB KA S 2 S 1 α G 2 KB T 3 ββ S 3 G 3

Koordinátarendszer-választás I. Mivel a testek közti kapcsolatokat feltártuk, innentől a két test mozgását külön írjuk le… kezdjük az 1 -es számú testtel! + T 1 A test a lejtővel párhuzamosan, lefelé mozog, így az egyenleteit ebben a koordinátarendszerben érdemes felírni (lejtőre merőleges és lejtővel párhuzamos). KA S 1 α G 1 ┴ Ekkor a tartóerőnek, a kötélerőnek és a súrlódási erőnek is csak egy komponense lesz nem nulla. A nehézségi erőt viszont fel kellene bontanunk az alábbi komponensekre: Lejtőre merőleges ┴ komponens G 1|| Lejtővel párhuzamos || komponens +

Koordinátarendszer-választás II. Folytassuk a 2 -es számú testtel! T 2 KA + KB S 2 G 2 + A test vízszintesen, balra mozog, így az egyenleteit ebben a koordinátarendszerben érdemes felírni. Ekkor minden, a testre ható erőnek csak egy komponense lesz nem nulla. Így egyszerű lesz az egyenleteit felírni.

Koordinátarendszer-választás III. És végül nézzük a 3 -as számú testet! A test a lejtővel párhuzamosan, felfelé mozog, így az egyenleteit ebben a koordinátarendszerben érdemes felírni (lejtőre merőleges és lejtővel párhuzamos). KB G 3 ┴ T 3 β S 3 G 3|| G 3 + Ekkor a tartóerőnek, a kötélerőnek és a súrlódási erőnek is csak egy komponense lesz nem nulla. A nehézségi erőt viszont fel kellene bontanunk az alábbi komponensekre: Lejtőre merőleges ┴ komponens Lejtővel párhuzamos || komponens +

Mozgásegyenletek komponensenként felírva I. Felírjuk a mozgásegyenletet a megadott koordináta-rendszerekben, komponensenként (előjelekre figyelni!) 1 -es test, lejtőre merőleges ┴ komponens T 1 KA T 1 – G 1 ┴ + 0 = 0, S 1 α G 1 ┴ G 1|| hiszen lejtőre merőlegesen 0 a gyorsulás 1 -es test, lejtővel párhuzamos || komponens 0 + G 1 || – KA – S 1 = m 1 a

Mozgásegyenletek komponensenként felírva II. 2 -es test, függőleges komponens T 2 KA KB T 2 – G 2 + 0 + 0 = 0, hiszen lejtőre merőlegesen itt is 0 a gyorsulás S 2 2 -es test, vízszintes komponens G 2 0 + K A – K B – S 2 = m 2 a

Mozgásegyenletek komponensenként felírva III. 3 -as test, lejtőre merőleges ┴ komponens KB G 3 ┴ T 3 – G 3┴ + 0 = 0, hiszen lejtőre merőlegesen itt is 0 a gyorsulás β S 3 G 3|| G 3 3 -as test, lejtővel párhuzamos || komponens 0 – G 3|| + KB – S 3 = m 3 a

A megoldandó egyenletrendszer A fenti egyenletekbe behelyettesítjük, hogy Így az alábbi egyenletrendszert kapjuk

Az egyenletrendszer megoldása I. Az egyenletrendszer sokféleképpen megoldható, itt mutatunk egyfajta megoldási utat, ahol a végeredmény formálisan is előáll, és csak a végén helyettesítünk be. Első lépésként kifejezzük a tartóerőket Majd az így kapott eredményeket behelyettesítjük a lejtővel párhuzamos komponensek egyenleteibe Ezzel három-ismeretlenes egyenlet-rendszerre redukáltuk a problémát.

Az egyenletrendszer megoldása II. Az előálló egyenletrendszer is sokféleképpen megoldható. Standard eljárás ilyen típusú feladatoknál, hogy összeadjuk a két egyenletet, így a kötélerők kiesnek, és csak a gyorsulás marad ismeretlen az egyenletben. Átrendezés és behelyettesítés után a megoldás Vagyis a testek 0, 376 m/s 2 gyorsulással mozognak a pozitívnak választott irányba.

Merev test statikája I. feladat

A feladat Egy mr =20 kg tömegű, 6 méter hosszú homogén rúd két helyen van alátámasztva, a bal szélén és a jobb szélétől 2 m távolságra. A két alátámasztás közé félútra egy mt =10 kg tömegű kis testet teszünk. Mekkora a tartóerő a két alátámasztási pontban egyensúly esetén?

A feladat értelmezése, mértékegységek A feladatban két test egyensúlyát kell vizsgálnunk, vagyis a és egyenletek felírásával és megoldásával válaszoljuk meg a feladat kérdéseit. A kis testet tömegpontként kezelhetjük, és így annál csak az erők egyensúlyát kell felírnunk. A rúd esetében az erők nyomatékegyenleteket is felírunk majd. A mennyiségek értéke mind SI mértékegységgel van megadva, így az átváltásukkal nincs dolgunk.

Erők felrajzolása A kis test egyensúlyi helyzetben akkora erővel nyomja a rudat, mint amekkora nehézségi erő hat rá. Ezt felhasználva a rúdra ható nyomóerőnél jelezzük, hogy annak nagysága megegyezik a testre ható gravitációs erőével. Megjegyzés: ezt akkor tehetjük meg biztosan, ha a test és a rúd között a kapcsolat közvetlen, vagyis érintkeznek, és nem kötél, vagy rugó, stb. köti őket össze. Nehézségi erő a rúdra F 1 F 2 Gt Gr A két kiszámolandó Tartóerő

Nyomatékegyenlet felírása I. Ha egy merev test nem mozog, akkor nem végez forgómozgást (sem). Így a Tengely, amire a nyomatékegyenletet fel fogjuk írni, tetszőleges pontba választható. Megjegyzés: ennél a feladattípusnál érdemes úgy választani, hogy az egyik ismeretlen erőhatás támadáspontjánál legyen a tengely, így annak a forgatónyomatéka zérus lesz (erőkarjának hossza 0). Továbbá, szükségünk lesz egy pozitív forgatási irány megadására. Azt a forgatónyomatékot, ami a megadott irányba igyekszik forgatni a testet, pozitív előjellel, az ellentétes irányba forgató erőt negatív előjellel fogjuk figyelembe venni. Megjegyzés: mivel az egyenletet nullára rendezve írjuk fel, a pozitív körüljárási irány tetszőleges. F 1 F 2 + Gt Gr

Nyomatékegyenlet felírása II. Most felírjuk a választott tengelyre vonatkoztatva a nyomatékegyenletet, az egyes forgatónyomatékokat erő x erőkar alakban alkalmazva. Az előjeleket a kis nyilak jelzik. Megjegyzés: Mint korábban írtuk, az F 1 erő forgatónyomatéka nulla. Gt∙kt + Gr∙kr - F 2∙k 2 = 0 F 1 + + + Gt Gr F 2 -

Erőkarok hossza Konkretizáljuk, hogy az előző oldalon formálisan felírt egyenletben az erőkarok hogyan számolhatóak ki a megadott értékek alapján. A rúd hosszát jelöljük L-el, a jobb oldali tartóerő és a rúd vége közti távolságot x-szel! k 2 láthatóan k 2 = L – x nagyságú. A rúdra ható nehézségi erő támadáspontja a rúd felénél található, így kr = L/2. A test a két alátámasztás között van félúton, vagyis kt = (L –x)/2. L k 2 kr kt x

A nyomatékegyenlet és megoldása Fontos kiemelni, hogy az erőkarok fenti alakja csak ilyen egyszerű esetben számolható így. Helyettesítsük be a nyomatékegyenletbe az erőkarokra vonatkozó kifejezéseket, illetve az alábbiakat: Így az alábbi egyenletet kapjuk Ennek megoldása formálisan, és behelyettesítés után

A másik erő kiszámítása Az F 1 erő kiszámítását az erők egyensúlyából fogjuk kiszámolni. Megjegyzés: az is jó stratégia, ha az F 1 erő kiszámítására egy új nyomatékegyenletet írunk fel, és az erők egyensúlyát ellenőrzésre használjuk. Az erők összeadásához koordináta-rendszert kell választanunk. Lévén minden erőhatás függőleges, egyetlen tengelyre van szükségünk, és annak pozitív irányát most felfelé választjuk. + Ennek megoldása formálisan, és behelyettesítés után Vagyis a rudat a bal végén 100 N, a jobb végétől 2 méterre 200 N erővel kell tartani függőlegesen.

Merev test statikája II. feladat

A feladat Egy m=1 kg tömegű, 30 cm hosszú homogén rúd bal oldalán rögzített helyű csukló körül foroghat. A rúd végére M=2 kg tömegű test van akasztva. A rúd 2/3 -ánál mekkora F erővel kell hatnunk, hogy egyensúlyban legyen a rúd, ha az erő rúddal bezárt szöge =30 o ? Mekkora F erő szükséges, ha a M=4000 kg/m 3 sűrűségű M testet vízbe merítjük? F β

A feladat értelmezése, mértékegységek A kötélre akasztott test esetén az erők egyensúlyát kell felírnunk: A rúd esetében a nyomatékegyenletet alkalmazzuk: . . A rúd hossza L=30 cm=0, 3 m. A többi mennyiség értéke SI mértékegységben van megadva, így az átváltásukkal nincs dolgunk. Fontos még kiemelni, hogy a víz sűrűsége v=1000 kg/m 3. F β

Erők felrajzolása az a) feladatrészhez Először az a) feladatrésszel foglalkozunk, a M testet még nem merítjük vízbe. Nehézségi erő a rúdra és az M testre T Kötélerők a kötél két végén Tartóerő a tengelynél F A kiszámolandó F erő β K Gm K GM

A M test egyensúlya Ahhoz, hogy a rúdra ható F erőt ki tudjuk számolni, először megvizsgáljuk a M test egyensúlyát. A testre ható erők egyenesbe esnek, ami átmegy a tömegközépponton, így az M test nem foroghat, az erők egyensúlyát kell felírnunk. Ehhez megfelelő pozitív irányt kell választanunk. K + Ebben a koordinátarendszerben az egyenlet és annak megoldása: GM Megjegyzés: Jelen esetben egyszerű az M test kezelése, a rúdra ható kötélerő helyett azonnal írhattunk volna Mg-t. Azonban a b) feladatrész megmutatja, hogy ez nem mindig ilyen egyszerű, érdemes a fenti, standard megoldási utat követni.

A rúd egyensúlya Ezek után vesszük figyelembe a rúd egyensúlyát. Az erők egyensúlyának feltételéből nem tudjuk kiszámolni az F erő nagyságát, hiszen a T is ismeretlen. Ezért a T támadáspontjához rögzített Tengelyre vonatkoztatva felírjuk a nyomatékegyenletet, figyelembe véve, hogy így a tartóerő forgatónyomatéka zérus. Továbbá, választunk egy pozitív forgatási irányt. Megjegyzés: mivel az egyenletet nullára rendezve írjuk fel, a pozitív körüljárási irány tetszőleges. + T F β K Gm

A nyomatékegyenlet felírása Most felírjuk a választott tengelyre vonatkoztatva a nyomatékegyenletet, az egyes forgatónyomatékokat erő x erőkar alakban alkalmazva. Az előjeleket a kis nyilak jelzik. Megjegyzés: Mint korábban írtuk, a T tartóerő forgatónyomatéka nulla. Gm∙km - F∙k. F + K∙k. K = 0 + T F + β + K Gm

Erőkarok hossza I. Konkretizáljuk, hogy az előző oldalon formálisan felírt egyenletben az erőkarok hogyan számolhatóak ki a megadott értékek alapján. A rúd hosszát jelöljük L-el jelöltük. k. K láthatóan k. K = L nagyságú. A rúdra ható nehézségi erő támadáspontja a rúd felénél található, így km = L/2. Az F erőkarjának kiszámítása ezeknél egy kicsit bonyolultabb, lásd a következő dián. T β k. KL= L km

Erőkarok hossza II. Az F erőkarjának hosszát az alábbi módon számolhatjuk ki. Meghosszabbítjuk az erő hatásvonalát. Merőlegest állítunk a tengelyre. Tudva, hogy hol található az F erő támadáspontja a rúdon, olyan derékszögű háromszöget kapunk, amelynek bármely adatát ki tudjuk számolni. Így k. F = 2 L/3·sinβ. · F k. F β 2 L/3

A nyomatékegyenlet és megoldása Fontos kiemelni, hogy valójában minden erőkarját a fenti módszerrel számoljuk ki, de a többi, a feladatban szereplő erőhatás esetén az erőkar egybeesik a tengelyt a támadásponttal összekötő szakasszal, így azokat egyszerűbben tudtuk kiszámolni. Helyettesítsük be a nyomatékegyenletbe az erőkarokra vonatkozó kifejezéseket, a kötélerő számolt alakját, illetve a nehézségi erők kifejezéseit, így az alábbit kapjuk: Ennek megoldása formálisan, és behelyettesítés után Vagyis a rudat 75 N erővel kell tartanunk.

A feladat b) része Mekkora F erő szükséges, ha a M=4000 kg/m 3 sűrűségű M testet vízbe merítjük? F β

A feladat értelmezése A feladat b) részének megoldása csak annyiban különbözik az a) résztől, hogy az M tömegű test egyensúlyára vonatkozó egyenlet megváltozik, lévén fellép a hidrosztatikai felhajtóerő is. Ez a nyomatékegyenlet alakján nem változtat, de a behelyettesítendő Kötélerőn igen. Bár a megoldás útja csak ennyiben változik, újra lépésről lépésre végigvesszük azt. F β

A feladat értelmezése, mértékegységek A kötélre akasztott test esetén az erők egyensúlyát kell felírnunk: A rúd esetében a nyomatékegyenletet alkalmazzuk: . . A rúd hossza L=30 cm=0, 3 m. A többi mennyiség értéke SI mértékegységben van megadva, így az átváltásukkal nincs dolgunk. Fontos még kiemelni, hogy a víz sűrűsége v=1000 kg/m 3. F β

Erők felrajzolása a b) feladatrészhez Most a b) feladatrésszel foglalkozunk, ahol az M testet vízbe merítjük. Nehézségi erő a rúdra és az M testre T Kötélerők a kötél két végén Tartóerő a tengelynél F A kiszámolandó F erő β K Gm K Ffel Hidrosztatikai felhajtóerő GM

A M test egyensúlya Ahhoz, hogy a rúdra ható F erőt ki tudjuk számolni, először megvizsgáljuk a M test egyensúlyát. A testre ható erők egyenesbe esnek, ami átmegy a tömegközépponton, így az M test nem foroghat, az erők egyensúlyát kell felírnunk. Ehhez megfelelő pozitív irányt kell választanunk. + K Ffel GM Ebben a koordinátarendszerben az egyenlet: Mivel a felhajtóerő kiszámolható az alábbi módon A kötélerő kifejezése ebben az esetben

A rúd egyensúlya Ezek után vesszük figyelembe a rúd egyensúlyát. Az erők egyensúlyának feltételéből nem tudjuk kiszámolni az F erő nagyságát, hiszen a T is ismeretlen. Ezért a T támadáspontjához rögzített Tengelyre vonatkoztatva felírjuk a nyomatékegyenletet, figyelembe véve, hogy így a tartóerő forgatónyomatéka zérus. Továbbá, választunk egy pozitív forgatási irányt. Megjegyzés: mivel az egyenletet nullára rendezve írjuk fel, a pozitív körüljárási irány tetszőleges. + T F β K Gm

A nyomatékegyenlet felírása Most felírjuk a választott tengelyre vonatkoztatva a nyomatékegyenletet, az egyes forgatónyomatékokat erő x erőkar alakban alkalmazva. Az előjeleket a kis nyilak jelzik. Megjegyzés: Mint korábban írtuk, a T tartóerő forgatónyomatéka nulla. Gm∙km - F∙k. F + K∙k. K = 0 + T F + β + K Gm

Erőkarok hossza I. Konkretizáljuk, hogy az előző oldalon formálisan felírt egyenletben az erőkarok hogyan számolhatóak ki a megadott értékek alapján. A rúd hosszát jelöljük L-el jelöltük. k. K láthatóan k. K = L nagyságú. A rúdra ható nehézségi erő támadáspontja a rúd felénél található, így km = L/2. Az F erőkarjának kiszámítása ezeknél egy kicsit bonyolultabb, lásd a következő dián. T β k. KL= L km

Erőkarok hossza II. Az F erőkarjának hosszát az alábbi módon számolhatjuk ki. Meghosszabbítjuk az erő hatásvonalát. Merőlegest állítunk a tengelyre. Tudva, hogy hol található az F erő támadáspontja a rúdon, olyan derékszögű háromszöget kapunk, amelynek bármely adatát ki tudjuk számolni. Így k. F = 2 L/3·sinβ. · F k. F β 2 L/3

A nyomatékegyenlet és megoldása Helyettesítsük be a nyomatékegyenletbe az erőkarokra vonatkozó kifejezéseket, a kötélerő számolt alakját, illetve a nehézségi erők kifejezéseit, így az alábbit kapjuk: Ennek megoldása formálisan, és behelyettesítés után Vagyis a rudat ebben az esetben 60 N erővel kell tartanunk.

KÖSZÖNÖM A FIGYELMET!