FLEXION VARIABLE Comencemos analizando el comportamiento de una

FLEXION VARIABLE

Comencemos analizando el comportamiento de una barra alternativa 1 (sección maciza) alternativa 2 ( 3 tablas) Aplicamos una carga P y observemos las deformaciones en c/u. En la barra conformada por 3 tablas se aprecia un “escalonamiento” Cada barra tiene 2 tensiones s+ y s. Desplazamiento relativo entre fibras Una fibra se alarga y la contigua se acorta Produce el “escalonamiento”

Determinemos el máximo valor de P en ambas casos alternativa 1 (sección maciza) alternativa 2 ( 3 tablas) Planteamos un modelo matemático Cada tabla recibe 1/3 de P sadm ≥ smax = Mmax. ymax / Jy P. L / 4. d / 2 = 3 PM = 3 sadm bd L 2 8. b d / 12 2 12 P. L (P/3). L / 4. (d/3)/. 2 9 P. L = smax = 3 2 b (d/3) / 12 2. b d 2 PT = 2 9 sadm bd L 2

¿Cuál barra se comporta mejor a flexión? La barra maciza, porque para una misma acción soporta 3 veces más carga ¿Cómo logro una barra maciza cuando tengo 3 tablas separadas? Pegando dichas tablas Vinculando dichas tablas Al poner vínculos estamos en presencia de fuerzas (reacciones de vínculos) Son vínculos continuos entre las tablas, aparecen tensiones tangenciales Tensiones tangenciales de resbalamiento

Planteemos las ecuaciones de equilibrio Teoría de JOURAVSKI ∑Fy= Qz – (Qz + d. Qz) + qy dx = 0 Analicemos una viga simplemente apoyada qy= - d. Qz / dx G ∑My = 2 -(Qz + d. Qz). dx + qy dx/2 – My +(My +d. My) = 0 Despreciamos infinitésimos de 2 do. orden Qz= d. My / dx Separemos una rebanada elemental para su análisis Vista lateral de la rebanada

Analicemos las tensiones normales Cortamos una rebanada paralela a xy Determinamos F 1 y F 2 fuerzas dadas por el volumen de F 1 = ∫ sx. d F F* F 2 = sx sobre el área F* ∫ ( sx + dsx ). d. F F* d. H = F 2 - F 1

Destaquemos este concepto : d sx F 1 ≠ F 2 ≠ 0 d Mx Qz = d Mx ≠ 0 d Mx dx ≠ 0 es decir, si no hay Flexión Variable no hay Corte genera d. H (Reacción de Vínculo Interno entre las partes que hemos separado) Desarrollemos matemáticamente Jouravsky d. H = F 2 - F 1 ∑Fx = 0 d. H = ∫ d sx F* d. H = d My . d. F = ∫ Jy F* d My Jy ∫ z. d. F SLN d. H = Jy z. d. F ∫ ( sx + dsx ). d. F - ∫ sx F* . d. F F* Flexión considerando a y como LN (línea neutra) y como EPI (eje principal de inercia). De no cumplirse esta condición deberá usarse la solución general propuesta por Timoshenko a lo largo de la rebanada d. My ≡ cte y Jy ≡ cte F* F* d My d. H = F* SLN Momento estático de la sección F* (sección que tiende a resbalar) con respecto a la Línea Neutra

Hipótesis Simplificativa de Jouravsky, al ver que se desconoce las leyes de variación de t en el área dx. bz (donde actúa d. H) supuso t uniforme = t media en el área dx. bz d. H = tzx. bz. dx = tzx = d My Jy SLN F* d My SLN 1 dx Jy bz Qz Por Cauchy F* tzx = tzx F* tzx = txz = Qz. SLN Jy. b z Expresión clásica de Jouravsky

Barra de Sección Rectangular txz = Qz. SLN txz Jy. b z = Qz . b. ( d/2 – z). [ z + (d/2 – z )/2 ] b b. d 3 12 txz = = 12. Qz. ( d/2 – z) ( z + d/4 – z/2 ) b. d 6. Qz [ ( d/2) b. d 3 – z 2 3 ] = 12. Qz. ( d/2 – z). (d/4 + z/2 ) b. d 3 Ecuación Cuadrática de 2° Grado – Distribución parabólica Para z = d/2 Para z = 0 txz = Verifica Cauchy 6. Qz 4. b. d = 3. Qz 2. F 50 % mayor que haber considerado una distribución uniforme t =Q/F

Analicemos como establecemos el signo de la tensiones 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Sobre la sección actúa un corte En la cara de posterior de la rebanada elemental actual un corte igual pero de signo contrario Se genera una cupla entre ambos cortes Se equilibra con el d. M Separamos una rebanada La integración de las tensiones normales generadas por el d. M sobre el F* dan un d. F Las tensiones de resbalamiento equilibran el d. F Por Cauchy aparecen las tensiones sobre la cara sombreada

Limitaciones de la fórmula de Esfuerzo Cortante Efecto de la forma transversal En la línea 1 -1 suponemos tensiones t uniformes La distribución real de las tensiones se originan en una solución de la Teoría Matemática de la Elasticidad Para barras esbeltas h >> b podemos aceptar Para h > 2. b t uniforme. tmáx es un 3% mayor t uniforme (Jouravsky)

Sección Simétrica de Contorno Curvilíneo Determinamos las tensiones en la línea AB txz = Qz. SLN Jy. b z Analizamos un cubo elemental en el punto A t admite una componente tangencial al contorno tt y una normal tn La tensión calculada Por Cauchy aparecen tensiones en las restantes caras del cubo tn = 0 porque es una superficie exterior libre de esfuerzos t debe ser considerada una tensión componente t resultante tiene que resultar tangente al contorno t Adoptamos una ley de variación lineal para xy, lo que equivale a que las tensiones resultantes concurren al punto M

Sección circular 33, 3 % mayor que haber considerado una distribución uniforme t = Q / F Las tensiones halladas son resultantes únicamente para z = 0 Para otro z ≠ 0 existe la componente txy que muestra la figura

Efecto de la longitud de la viga Alabeo de la sección solicitada a flexión y corte

Perfil doble T Determinamos las tensiones tangenciales t en el alma txz es parabólica para z = d/2 - t para z = 0

Si extendemos la validez de la expresión txz en las alas El salto que se observa es proporcional a la relación entre el ancho del ala b y el ancho del ala e A lo largo de toda la fibra A-A, tendremos t en la cara inferior del ala aparecen t → por Cauchy → Incompatible t Las tensiones xz en las alas varían en forma parabólica, anulándose en el borde superior e inferior Para el resto del ala podemos adoptar una aproximación lineal

Determinamos las t en el ala txy es lineal para y = b/2 para y = e/2 Adoptamos una variación lineal El momento estático de ½ figura respecto de la LN es 0

Flujo cortante f t. e = El flujo cortante de las dos mitades del ala superior es igual al flujo entrante en el alma y viceversa Aparece concentración de tensiones en el cambio de dirección Verificamos las ecuaciones de equivalencia Qy = ∫ txy. d. F = 0 ∫ Qz = ∫ txz. d. F Calculando integrales parciales en la sección transversal del perfil, obtenemos: Qy ≈ H 1 t – H 1 t + H 2 t – H 2 t = 0 Qz ≈ He= ∫ txz. d. F ∫ Aproximado por la superposición de áreas Calculamos el Momento Torsor Baricentrico Mx = ∫ (txy. z – txy. y). d. F = 0 Se cumple las ecuaciones de equivalencia

Ejercicio n° 1 1°) Dimensiono a Flexión con un perfil M = 5000 kg. m W nec = 500000 kg. cm/1400 kg/cm 2 = 357 cm 3 PN N° 24 De la tabla Wx = 354 cm 3 2°) Verifico al Corte txz = Datos: sadm = 1400 kg/cm 2 t = 2500 kg / 4250 cm 4. SLN / bz t = 0, 6 kg/cm 4. SLN / bz Qz. SLN Jy. b z Rectificamos el perfil (simplificamos) 2 2 1 1 S 11 = (10. 2. 11 + 10. 1. 5) cm² = 270 cm² S 22 = 10. 2. 11 cm² = 220 cm² S 33 = 4, 5. 2. 11 cm² = 99 cm² 3 3

t = 0, 6 kg/cm 4. SLN / bz S 11 = 270 cm² S 22 = 220 cm² S 33 = 99 cm² t 11 = 0, 6 kg/cm 4. 270 cm² / 1 cm = 162 kg/cm² t 22 = 0, 6 kg/cm 4. 220 cm² / 1 cm = 132 kg/cm² t 33 = 0, 6 kg/cm 4. 99 cm² / 2 cm = 30 kg/cm² 2 2 1 1 3 3 En barras esbeltas es preponderante la Flexión frente al Corte L=D Barra NO esbelta

Ejercicio n° 2 Cortante en vigas compuestas Una viga cajón armada clavando 4 tablones Datos: sadm Mad = 80 kg/cm² tadm Mad = 5 kg/cm² tadm Clavo = 600 kg/cm² 1°) Verificamos a Flexión J = 7187, 5 cm 4 M = 375 kg. m smax = 52, 17 kg/cm² 2°) Verificamos al Corte Q = 250 kg S 11 = (10. 2, 5. 8, 75 + 2. 10. 2, 5. 5) cm 3 = 468, 75 cm 3 tmax = 250 kg. 468, 75 cm 3 7187, 5 cm 4. 2. e = 3, 26 kg/cm² S 22 = 10. 2, 5. 8, 75 =218, 75 cm 3 t 22 = 1, 52 kg/cm² 2 1 e 3 3 2 e 1

t 33 = 0 S 33 = 0 No obstante, podría considerarse que las tensiones de resbalamiento en el corte superior e inferior son distintas de cero, pero con signos opuesto F* Lím SLN Si planteamos 33 = 0 =0 Dy 0 t 3°) Calculamos la cantidad de clavos Determinamos la fuerza de corte en la mitad de la luz de la viga Fc = t 22. 2, 5 cm. 150 cm Adoptamos un clavo: Longitud y Calibre: 2” x 14 Ø = 2, 11 mm Ωclavo = 0, 035 cm² Fc = n°clavos. Ωclavo. tadm clavo Despejamos el número de clavos: n°clavos Determinamos la separación entre los mismos: s Aclaración: como el corte es constante en cada mitad de la viga se puede emplear una separación constante entre los clavos, caso contrario deberá ser variable la separación.

Ejercicio n° 3 Tensiones principales en flexión y corte Analicemos una barra de sección rectangular Estudiamos los puntos indicados

Agrupamos los resultados Representamos las direcciones de las tensiones principales en la viga Para la sección del medio las tensiones principales son horizontales porque el corte es 0 Las direcciones de la 3 er. Sección estudiada resultan espejadas de la 1 era. sección Uniendo las direcciones principales, obtenemos la trayectoria de tensiones denominadas isostáticas. Isostática de compresión Isostática de tracción Si la barra es de hormigón debemos colocar armadura para tomar la tracción

Deformación por Corte Analizamos una faja elemental solicitada por Corte dw Le = Li Planteamos el trabajo interno de un cubo elemental Aceptando Linealidad Mecánica Existe una variación entre el instante inicial con la estructura descarga hasta la carga de servicio Reemplazo txz por la expresión de Jouravsky d Li = ½. ∫ Ftxz. dy. dz. gxz. dx = ½. Qz. dw = d Le ½. ∫F txz². dy. dz. dx = ½. Qz. dw G Finalmente dw dx = Qz G. F ky ky = F∫ F* ) dw Qz². (Sn dx = ∫F b². Jn² (Sn. F* )². d. F b². in 4. F ² d. F G. Qz = Qz G F* ∫F (Sn )². d. F b². in 4. F² radio de giro in² = Jn /F factor de forma de la deformación por corte