FL 2 732 G 70 Statistik A Mngdlra

  • Slides: 16
Download presentation
FL 2 732 G 70 Statistik A

FL 2 732 G 70 Statistik A

Mängdlära Inom statistiken använt som en metod för att hantera och åskådliggöra sannolikheter, men

Mängdlära Inom statistiken använt som en metod för att hantera och åskådliggöra sannolikheter, men ur ett bredare perspektiv en viktig byggsten inom matematik och logik. S = utfallsrum (grundmängd) Om mängden A ingår i S säger vi att A är en delmängd av S och tecknar detta som A S. En mängd består av ett eller flera element. 2

Snitt, union och Venndiagram Låt A och B vara två delmängder av S. §

Snitt, union och Venndiagram Låt A och B vara två delmängder av S. § Snittet ger de element som tillhör både A och B: tecknas A B § Unionen ger oss de element som tillhör A eller B (eller båda): tecknas A B Snitt av A och B Union av A och B 3

Disjunkta händelser Oberoende händelser När sannolikheten för att den ena händelsen ska inträffa inte

Disjunkta händelser Oberoende händelser När sannolikheten för att den ena händelsen ska inträffa inte påverkar sannolikheten för att den andra händelsen ska inträffa. Skillnad mellan disjunkta och oberoende händelser Om A och B är disjunkta är de inte oberoende! Detta eftersom att när A inträffat så vet vi att B inte kan inträffa. Alltså påverkar de varandra, och följaktligen är de inte oberoende. 4

1. Multiplikationsprincipen Exempel: Antag att en bilfabrikant låter kunderna välja på 4 olika färger

1. Multiplikationsprincipen Exempel: Antag att en bilfabrikant låter kunderna välja på 4 olika färger på lacken, 3 olika inredningar och 2 olika fälgar. På hur många sätt kan en bilspekulant komponera sin bil? Multiplikationsprincipen används när vi i tur och ordning ska utföra k operationer, och vill veta på hur många sätt operationerna totalt kan utföras på. Multiplikationsprincipen åskådliggörs ofta i träddiagram. 5

2. Permutationer Exempel: Vi har fyra personer och en rad med fyra stolar. På

2. Permutationer Exempel: Vi har fyra personer och en rad med fyra stolar. På hur många olika sätt kan personerna placera sig bredvid varandra? När vi har n olika element och undrar på hur många sätt de kan ordnas, då heter med statistiskt språkbruk varje sådan ordningsföljd en permutation. n olika element kan permuteras på n! olika sätt. 6

3. Permutationer när vissa element är lika Exempel: Hur många olika bokstavsföljder kan man

3. Permutationer när vissa element är lika Exempel: Hur många olika bokstavsföljder kan man bilda av ordet EKONOM? Antalet permutationer av n element när k 1 st är av en typ, k 2 st är av en annan typ, osv, är 7

4. Kombinationer Exempel: En förening består av 4 personer, varav 2 ska väljas ut

4. Kombinationer Exempel: En förening består av 4 personer, varav 2 ska väljas ut för ett förtroendeuppdrag. På hur många sätt kan det ske? Antalet kombinationer när n element väljs ut bland N är 8

5. Ordnade delmängder Exempel: Låt oss fortsätta betrakta samma förening med 4 medlemmar. 2

5. Ordnade delmängder Exempel: Låt oss fortsätta betrakta samma förening med 4 medlemmar. 2 personer ska nu väljas ut men dessutom rangordnas. På hur många sätt kan det ske? När vi har en mängd bestående av N element och ur denna vill välja ut n element i en viss ordningsföljd, så talar vi om en ordnad delmängd. Antalet ordnade delmängder när n element väljs ut bland N är 9

Introduktion till sannolikhetslära § Slumpvariabel = variabel för vilken frekvensen av de möjliga värdena

Introduktion till sannolikhetslära § Slumpvariabel = variabel för vilken frekvensen av de möjliga värdena att antas bestäms av slumpen § Sannolikhet = numeriskt värde på hur troligt det är att en viss händelse ska inträffa vid ett experiment § Utfallsrum = S = förteckning över vilka värden slumpvariabeln kan anta § Tre lagar för sannolikheter 1. En sannolikhet ligger alltid mellan 0 och 1 2. Sannolikheten för alla möjliga händelser som kan inträffa vid ett experiment summerar tillsammans till 1 3. Sannolikheten för att en händelse inte ska inträffa = 1 – sannolikheten för att den ska inträffa 10

Relativa frekvenser 11

Relativa frekvenser 11

Oddset för händelsen A beräknas som Exempel: Vad är oddset för sexa när vi

Oddset för händelsen A beräknas som Exempel: Vad är oddset för sexa när vi kastar tärning? 12

Sannolikhetslärans additionssats för disjunkta händelser För två händelser A och B som är disjunkta,

Sannolikhetslärans additionssats för disjunkta händelser För två händelser A och B som är disjunkta, så gäller att sannolikheten för att A eller B ska inträffa är Exempel: Antag att vi drar ett kort ur en kortlek. Vad är sannolikheten för att kortet är ett hjärter eller ett spader? 13

Sannolikhetslärans additionssats för icke disjunkta händelser Exempel: Antag att vi drar ett kort ur

Sannolikhetslärans additionssats för icke disjunkta händelser Exempel: Antag att vi drar ett kort ur en kortlek. Vad är sannolikheten för att kortet är ett hjärter eller en sjua? 14

Multiplikationssatsen för oberoende händelser Vad är sannolikheten för snittet mellan två händelser A och

Multiplikationssatsen för oberoende händelser Vad är sannolikheten för snittet mellan två händelser A och B (dvs det överlappande området i ett Venn-diagram)? Kan illustreras i träddiagram. Exempel: Vi singlar slant två gånger. Vad är sannolikheten för två krona i rad? 15

Betingade sannolikheter Sannolikheten för att händelsen A ska inträffa givet att B redan inträffat

Betingade sannolikheter Sannolikheten för att händelsen A ska inträffa givet att B redan inträffat beräknas Exempel : Vid ett företag är 40% ingenjörer och 55% kvinnor. 25% är kvinnliga ingenjörer. En person väljs slumpmässigt ut. Vad är sannolikheten för att den valda personen är ingenjör om vi vet att det var en kvinna? Om Pr(A|B) = Pr(A) (eller Pr(B|A) = Pr(B)) så är händelserna A och B oberoende 16