FIZIKA Gibanja i sile prof eljko Andrei Rudarskogeolokonaftni
FIZIKA Gibanja i sile prof. Željko Andreić Rudarsko-geološko-naftni fakultet Sveučilište u Zagrebu zandreic@rgn. hr http: //rgn. hr/~zandreic/studenti/fizika. html Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 2
Kratki sadržaj: 1. koordinatni sustavi 2. grafičko prikazivanje fizikalnih veličina 3. kinematika i dinamika materijalne točke 4. gibanje u više dimenzija 5. Newton-ovi aksiomi 6. impuls sile i količina gibanja 7. sila trenja Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 2 2
Koordinatni sustavi Za određivanje položaja tijela koristimo se koordinatnim sustavima koji su uglavnom istovjetni onima koji se koriste u matematici. Osnovni koordinatni sustav je pravokutni kartezijev sustav. Izgled i odvijanje fizikalne pojave ne može ovisiti o koordinatnom sustavu (vrijedi za k. sustave u mirovanju ili jednolikom gibanju), pa ishodište i smjer osi biramo tako da problem bude što je moguće jednostavniji. Koordinatni sustavi koji se koriste u fizici uvijek su desni! Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 2 3
Desni koordinatni sustavi Desni koordinatni sustav je onaj kod kojeg desni vijak koji stoji u smjeru z osi napreduje u +z smjeru kad se zakreće od +x-osi prema +y-osi. Češće: pravilo desne ruke: ako ispružene prste desne ruke postavimo u smjer +x osi, pa nakon toga prste najkraćim putem savinemo prema +y osi, ispruženi palac pokazuje smjer +z osi. Ovisno o simetriji, neke jednadžbe u lijevim koordinatnim sustavima mijenjaju predznake pa se zato lijevi koordinatni sustavi izbjegavaju! Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 2 4
Lijevi i desni koordinatni sustavi z z x y y x Desni sustav Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 2 Lijevi sustav 5
Cilindrični koordinatni sustav Ako problem ima rotacionu simetriju, koristi se ovaj sustav jer je u njemu moguće lakše računati. T( , , z) T(x, y, z) z y To je zapravo polarni koordinatni sustav u X-Y ravnini, kojem smo dodali z-os! Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 2 x 6
Cilindrični koordinatni sustav 2 z T( , , z) T(x, y, z) y x Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 2 7
Sferni koordinatni sustav z Za probleme sa sfernom simetrijom. r T(x, y, z) y x Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 2 8
Sferni koordinatni sustav 2 z r y x Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 2 9
Zemljopisni koordinatni sustav Je podvrsta sfernog koordinatnog sustava: Kut naziva se zemljopisna dužina i mjeri se od početnog (tzv. nultog) meridijana od 0 o do 180 o u smjeru istoka (E) i od 0 o do 180 o u smjeru zapada (W). Umjesto E i W često se koriste se predznaci + i - ( +=W, -=E). Kut naziva se zemljopisna širina i mjeri se od x-y ravnine (koja se podudara sa zemljinim ekvatorom) od 0 o do 90 o u smjeru sjevera (N) i od 0 o do 90 o u smjeru juga (S). Umjesto N i S često se koriste predznaci + i -, (+=N, -=S). Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 2 10
Zemljopisni koordinatni sustav 2 Udaljenost r najčešće se ne koristi jer su za položaj na zemljinoj površini dovoljne samo dvije koordinate, zemljopisna širina i zemljopisna dužina. Ako je ipak potrebno poznavanje udaljenosti r, ona se naziva nadmorska visina i mjeri se od tzv. srednjeg geoida koji otprilike odgovara morskoj površini, a ne od središta zemljine kugle. Formule pretvorbe iz kartezijevog koordinatnog sustava u zemljopisni prilagođene su gornjim definicijama koordinata i razlikuju se od formula koje vrijede za standardizirani sferni koordinatni sustav. Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 2 11
Grafičko prikazivanje fizikalnih podataka Rezultati proučavanja fizikalnog modela neke pojave ili procesa uglavnom su brojčane vrijednosti fizikalnih veličina sa kojima opisujemo taj model. One su često izražene kao funkcije vremena ili neke druge fizikalne veličine. U prvom koraku te se vrijednosti tabeliraju (primjer: vodostaj rijeke). Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 2 12
Grafičko prikazivanje fizikalnih podataka 2 Tablice su nepregledne pa se podaci u idućem koraku prikazuju na grafikonima. Grafikon je u svom osnovnom obliku kartezijev koordinatni sustav u ravnini. x-os se postavlja horizontalno i naziva se os apscisa, a y-os se postavlja vertikalno i naziva se os ordinata. Veličina grafikona određuje se prema veličini papira. Naprimjer, za format A 4 ca. 16 cm širine i 12 cm visine. Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 2 prostor za grafikon papir 13
Grafičko prikazivanje fizikalnih podataka 3 Grafikon može imati i naslov. Os apscisa uvijek prikazuje nezavisnu fizikalu veličinu! Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 2 naslov (ime) grafikona os ordinata Pri tome treba ostaviti mjesta za nazive osi i oznake podjela na osima! oznake podjela i naslov osi Prvo se nacrtaju osi grafikona. os apscisa oznake podjela i naslov osi 14
Grafičko prikazivanje fizikalnih podataka 4 U našem primjeru to bi izgledalo ovako: Osi se ne moraju sijeći u ishodištu, nego tako da se maksimalno iskoristi prostor. Primijetite da uz naziv osi obavezno idu i mjerne jedinice veličine koja se na osi prikazuje. Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 2 Vodostaj Save kod Zagreba 200 vodostaj (cm) Podjele na osi ordinata ne moraju biti jednake podjelama na osi apscisa! 160 120 1 2 4 6 8 proteklo vrijeme (dani) 15
U priređeni grafikon sad se unose podaci (točke) Vodostaj Save kod Zagreba vodostaj (cm) 200 160 120 1 2 4 6 8 proteklo vrijeme (dani) Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 2 16
Kinematika se bavi zakonima gibanja, bez obzira na njihov uzrok. Najjednostavnije gibanje je pravocrtno gibanje (gibanje po pravcu): Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 2 17
Pravocrtno gibanje t = t 012 O x(t 0) x(t 1) x(t 2) x Gibanje tijela pratimo tako da njegov položaj zabilježimo u vremenskim trenucima t 0, t 1, . . . tn Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 2 18
Tablični prikaz pravocrtnog gibanja Rezultat prikazujemo tablično. Lijeva kolona je nezavisna veličina (vrijeme) a desna zavisna (prevaljeni put). t [min] 0 5 12 18 22 28 x(t) [m] 0 300 930 1360 1840 2200 Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 2 t [s] 0 300 720 1080 1320 1680 x(t) [m] 0 300 930 1360 1840 2200 19
Grafički prikaz pravocrtnog gibanja x (m) Prijeđeni put Grafički prikaz mnogo je pregledniji. Izmjerene točke spajamo ravnim linijama. Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 2 20
Pojam srednje brzine x 4 x (m) Prijeđeni put x 3 4 x 3 t t 3 Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 2 t 4 21
Pojam srednje brzine 2 srednja brzina: ili, v 34 = (1360 -930)/(1080 -720) = 1, 19 m/s srednju brzinu možemo računati i za druge dijelove puta: v 12 = 1, 00 m/s v 45 = 2, 00 m/s Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 2 v 23 = 1, 50 m/s v 56 = 1, 00 m/s v 16 = 1, 31 m/s 22
Definicija trenutne brzine ako vremenski interval t sve više smanujemo, dolazimo do trenutne brzine: odnosno: Brzina je derivacija puta po vremenu! Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 2 23
Trenutna brzina 2 Prijeđeni put x (m) trenutna brzina (glatka krivulja) spojnice mjernih točaka (ravne) Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 2 24
Geometrijska definicija stvarne brzine Prijeđeni put 2500 x(t) 2000 x (m) s (m) 1500 1000 500 0 0 500 1000 1500 t (s) t Geometrija: v(t) je koef. smjera tangente na krivulju x(t) u točki t Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 2 25
Ubrzanje je vremenska promjena brzine: odnosno druga derivacija puta po vremenu: Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 2 26
Primjer 1. Neka je put koji je neko tijelo prevalilo opisan sa: Put je izražen u metrima, a vrijeme u sekundama. Izračunajte brzinu i ubrzanje tijela i prikažite ih grafički. Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 2 27
Rješenje: znamo da je: deriviranjem nalazimo: v(t) = 0 za t<0 s v(t) = 0, 6 t 2 - 3, 2 t ms-1 za 0<t<5, 33 s v(t) = 0 za t>5, 33 s dalje na isti način nalazimo ubrzanje ( ): a(t) = 0 za t<0 s a(t) = 1, 2 t - 3, 2 ms-2 za 0<t<5, 33 s a(t) = 0 za t>5, 33 s Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 2 28
Rješenje 2: Sada izračunamo tablicu najvažnijih točaka za crtanje grafikona (početak i kraj gibanja, ekstremi brzine i ubrzanja i nekoliko točaka između): t(s) x(m) v(ms-1) a(ms-2) 0 11 0 -3, 2 1 9, 6 -2, 6 -2, 0 2 6, 2 -4, 0 -0, 8 3 2, 0 -4, 2 0, 4 4 -1, 8 -3, 2 1, 6 5 -4, 0 -1, 0 2, 8 5, 33 -4, 17 0 3, 2 2, 67 -4, 27 0 Iz tablice odredimo raspon vrijednosti za osi apscise i ordinate za x-t (s-t) grafikon i počnemo crtanje. Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 2 29
x-t (s-t) grafikon: t(s) x(m) v(ms -1) a(ms-2) 0 11 0 -3, 2 1 9, 6 2, 6 -2, 0 2 6, 2 -4, 0 -0, 8 3 2, 0 -4, 2 0, 4 4 -1, 8 -3, 2 1, 6 5 -4, 0 -1, 0 2, 8 5, 33 -4, 17 0 3, 2 2, 67 -4, 27 0 x (m) 12 8 4 0 -4 Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 2 2 4 5, 33 6 t (s) 30
v-t grafikon: t(s) x(m) v(ms -1) a(ms-2) 0 11 0 -3, 2 1 9, 6 2, 6 -2, 0 2 6, 2 -4, 0 -0, 8 3 2, 0 -4, 2 0, 4 4 -1, 8 -3, 2 1, 6 5 -4, 0 -1, 0 2, 8 5, 33 -4, 17 0 3, 2 2, 67 -4, 27 0 v (ms-1) 0 2 2, 67 4 5, 33 6 t (s) -2 -4 Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 2 31
a-t grafikon: t(s) x(m) v(ms -1) a(ms-2) 0 11 0 -3, 2 1 9, 6 2, 6 -2, 0 2 6, 2 -4, 0 -0, 8 3 2, 0 -4, 2 0, 4 4 -1, 8 -3, 2 1, 6 5 -4, 0 -1, 0 2, 8 5, 33 -4, 17 0 3, 2 2, 67 -4, 27 0 a (ms-2) 2 0 2 2, 67 4 5, 33 6 t (s) -2 Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 2 32
Inverzni problem u fizici znamo ubrzanje, zanima nas brzina i prijeđeni put: v 0 = v(t=0) je tzv. početni uvjet. Dalje je: Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 2 33
Primjer 2. Kod jednolikog gibanja ubrzanja nema. Nađite izraze za brzinu i prijeđeni put, ako je u trenutku t=0 brzina tijela vo i položaj xo. U ovom slučaju kod inverznog problema moramo dodatno poznavati dva početna uvjeta (početni položaj i početna brzina) Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 2 34
Primjer 3. Kod slobodnog pada ubrzanje je konstatno i jednako g (g=9, 81 ms-2). Nađite izraze za brzinu i prijeđeni put, ako je u trenutku t=0 brzina tijela v 0 i položaj x 0. Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 2 35
Gibanje u više dimenzija t=t 1 y t=t 2 t=t 3 s 1, 2 s(t) r r 2 r 3 1 O x Trenutni položaj materijalne točke opisuje se radijus vektorom r (t). Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 2 36
Gibanje u više dimenzija 2 Radijus vektor tijela je vektorska funkcija vremena. Vrh radijus vektora opisuje prostornu krivulju koja predstavlja putanju tijela u prostoru. Vektor pomaka s 1, 2 definira se kao s 1, 2 = r 2 - r 1 Brzina i ubrzanje su isto tako vektorske funkcije: Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 2 37
Primjer 4. Kod kosog hica tijelo je u trenutku t=0 izbačeno iz ishodišta brzinom v 0. Nađite izraze za brzinu i prijeđeni put. y vo g Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 2 x 38
Primjer 4. - nastavak Ovo rješenje još možemo raspisati po komponentama: Kut ispaljivanja (prema horizontali): itd. . . Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 2 39
Dinamika proučava gibanje tijela preko uzroka koji gibanje izaziva. Uzrok gibanja je djelovanje različitih sila. Sila se prikazuje kao vektorska veličina, s vrhom vektora u točci u kojoj sila djeluje, i duljinom proporcionalnom jačini sile. Sile su najčešće vremenski promjenjive (funkcije vremena). Same sile dinamika ne definira, ali objašnjava posljedice njihovog djelovanja. Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 2 40
Newton-ovi aksiomi Aksiom (grč. aksios - bez) je "temeljna istina" koja se ne dokazuje i služi kao osnova neke teorije. Za razliku od dogme uglavnom se ne tvrdi njena nužna istinitost jer je to logički nemoguće utvrditi, nego se uzima kao pretpostavka na kojoj se gradi teorija. Kao i fizikalni zakoni, aksiomi se provjeravju pokusima! I Newton-ov aksiom: Kad na tijelo ne djeluje nikakva sila, ili je zbroj svih sila koje djeluju na tijelo jednak nuli, tijelo miruje ili se giba jednoliko po pravcu. V = const. Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 2 41
II Newton-ov aksiom: Promjena količine gibanja tijela jednaka je sili koja na to tijelo djeluje, a odvija se u smjeru sile. Matematički zapis II. Newton-ovog aksioma: Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 2 42
II Newton-ov aksiom 2 raspisano: Samo ako je masa konstantna to postaje: Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 2 43
III Newton-ov aksiom: Ako jedno tijelo djeluje nekom silom na drugo tijelo, tada drugo tijelo djeluje na prvo silom istog iznosa a suprotnog smjera. Fab = - Fba Ovaj aksiom poznat je i kao zakon akcije i reakcije. Željko Andreić – Fizika 2018/19: P 2 44
- Slides: 44