Fisica Terrestre Parte V Geotermia A Caporali Dipartimento

Fisica Terrestre Parte V Geotermia A. Caporali Dipartimento di Geologia, Paleontologia e Geofisica Università di Padova

Flusso Termico Secondo principio della Termodinamica: il calore fluisce da un corpo caldo verso uno freddo Temperatura: va intesa come energia cinetica media di molecole all’interno di un dato volume Possibili modi di trasmissione del calore: Conduzione: le molecole si trasmettono s’una con l’altra l’energia vibrazionale. Non c’e’ trasporto di massa; pertanto la conduzione è tipica nei solidi (ad es. crosta) Convezione: le molecole in stato di maggiore eccitazione si spostano collettivamente da un punto all’altro. Pertanto la convezione è tipica nei fluidi (ad es. mantello) Radiazione: l’energia viene irradiata dalle molecole sotto forma di onde elettromagnetiche (in particolare nell’infrarosso). Pertanto la radiazione è tipica nei gas (ad es. aria) Relazione Flusso di calore – gradiente di temperatura: T dz Il segno meno è dovuto al fatto che Q aumenta nella direzione in cui T diminuisce. La costante k è detta costante di conducibilità termica. q si misura in W/m 2; T in gradi Kelvin (K) q

Dati numerici sul flusso termico In cave o miniere si trova d. T/dz~20 -30 deg/km In laboratorio si determina per rocce superficiali k ~ 2 -3 W/K*m Si conclude che in superficie q~40 -90 m. W/m 2 Dati più accurati si ottengono calando un termistor in un pozzo a 300 -400 m, per rimuovere gli effetti stagionali +10% in Africa Flusso termico della Terra Nei Continenti (Area=2*10 8 km 2) qcontin=56. 5 m. W/m 2 Negli Oceani (Area=3. 1*108 km 2) qoceani=78. 2 m. W/m 2 -10% in Australia +15% in N Pacifico -15% in S Atlantico Nei continenti il Flusso Termico è fortemente correlato con la concentrazione dei radioisotopi ed è invers. proporzionale all’età delle rocce superficiali Negli oceani il Flusso Termico è correlato con l’età delle rocce ( distanza dal ridge). La concentrazione dei radioisotopi è ininfluente anche perché solo il 2% di quella nei continenti Flusso totale terrestre= media pesata continenti + oceani: 56. 5*(2/5. 1)+78. 2*(3. 1/5. 1)=70 m. W/m 2

Equazione della conduzione, o di Fourier Caso stazionario (steady state): dato un volume limitato da una base di area a e altezza dz, contenente una sorgente di calore Hradz Watt, il flusso termico uscente per la faccia superiore è uguale al flusso termico entrante per la faccia inferiore + il calore generato internamente, ed è indipendente da a: q(z) r. H Pertanto in condizioni stazionarie (la temperatura del corpo è costante nel tempo) q(z+dz)

Equazione di Fourier nel caso non stazionario Caso non stazionario: in conseguenza della generazione interna di calore e del flusso di calore tra le due pareti, la temperatura del corpo varia nel tempo. In tal caso, detto cp il calore specifico, cioè la quantità di calore necessaria per innalzare la temperatura di 1 kg di 1 C, e r la densità, la differenza tra i due termini sopra, uguali nel caso steady state, è esattamente la quantità di calore necessaria per far variare la temperatura nel tempo: Il termine Hr è per la Terra di natura radioattiva (Uranio, Torio e Potassio), concentrati prevalentemente nella crosta e, in misura minore, nel mantello. Tuttavia il contributo del mantello alla quantità di calore complessivamente prodotto dalla Terra è maggiore di quello della crosta, a causa del maggiore volume del mantello rispetto alla crosta. Complessivamente il calore prodotto internamente dalla Terra e dissipato verso l’esterno è 4 1013 W (pari a 8 10 -2 W m-2, essendo 4 p. R 2 ~ 2 1015 m 2 l’area della superficie Terrestre). Questo flusso di calore è solo 1/10000 del flusso di calore radiato dalla Terra verso l’esterno. Il maggior contributo viene dalla luce solare riflessa dalla superficie terrestre e dall’atmosfera.

Geoterma stazionaria concentrazione di radioisotopi costante L’equazione da risolvere è: E’ una eq. del second’ordine devo assegnare due condizioni iniziali, ad es. la T in superfice Ts=T(0) e il flusso termico in superfice qs=q(0), che sono entrambi misurabili sperimentalmente. L’integrale generale è: Le costanti c 1, c 2 vengono determinate imponendo le condizioni al contorno a z=0 (cioè in superficie): La soluzione che soddisfa le condizioni al contorno è dunque:

Esempi di geoterma stazionaria a concentrazione costante Legenda: a) k=2. 5 W/m/C, Hr=1. 25 m. W/m 3; qs=0. 021 W/m 2, Ts=0 c) Come a) eccetto Hr=2. 5 m. W/m 3 e) Come a) eccetto qs=0. 0105 W/m 2

Geoterma stazionaria della crosta continentale (1/2) Si osservano forti deviazioni dall’andamento quadratico Per il granito in superficie Hcrosta=9. 6 10 -10 W/kg Posto hcrosta=35 km, rcrosta=2700 kg/m 3 si ottiene qcrosta= (r. Hh) crosta=91 m. W/m 2 >> qmedio=56. 5 m. W/m 2 Concludiamo che su scala crostale la concentrazione di radioisotopi non può essere considerata costante bensì decrescente con la profondità. Modello empirico : r. H(z)=r. Hse-z/hr ove hr è un fattore di scala da determinarsi sperimentalmente come segue:

Geoterma stazionaria della crosta continentale (2/2) Integro l’equazione differenziale della geoterma stazionaria tra z=z e z=infinito (corrisponde a grandi profondità, diciamo la base della litosfera) qs e r. Hs possono essere misurati in punti diversi in una data area geografica. Si ottiene una retta di pendenza hr e intercetta qm. Valori tipici sono hr~7. 5 km, qm~30 m. W/m 2 (flusso termico ridotto al mantello). Una successiva integrazione tra 0 (superficie) e z dà la geoterma (NB: qm ha il segno + perché trattasi di flusso entrante nella crosta dal mantello):

Effetto in profondità di variazioni periodiche della temperatura in superficie(1/2) Ricerca della soluzione della equazione della conduzione del calore per H=0 e T(z=0, t)=T 0+DTcoswt Si dimostra che la soluzione che soddisfa alle condizioni al contorno a) andamento sinusoidale a z=0, b) T=0 per z=infinito è del tipo: L viene chiamata skin depth (spessore della pelle). Per valori di cp, r e k tipici delle rocce superficiali, L è di qualche decimetro per variazioni diurne di temperatura, di qualche metro per variazioni annuali e di qualche km per variazioni su scala dei periodi glaciali (0. 1 Ma). Ne segue che le variazioni di temperatura superficiale dovute alle glaciazioni non possono essere ignorate nel calcolo della geoterma in profondità. Si noti lo sfasamento della risposta, all’aumentare della profondità.

Effetto in profondità di variazioni periodiche della temperatura in superficie(2/2) Esempio della attenuazione in ampiezza e dello sfasamento all’aumentare della profondità. Nota: k=k/rcp è il coefficiente di diffusione (tipicamente 1 mm 2/sec). Per una glaciazione di 10. 000 anni (104 anni), la skin depth è 317 m. Se dunque si vuole conoscere a quale profondità l’effetto periodico dei cicli glaciali in superfice è ridotto al 5% dell’ampiezza in superifice, si imporrà DTe-z/317=0. 05 DT, ovvero z=950 m.

Riscaldamento istantaneo di un semispazio Condizioni al contorno: T=T 0 per y>0, t=0 T=Ts per y=0 , t=0+ T T 0 per y infinito, t>0 Soluzione dell’equazione della conduzione di calore Ove è stata introdotta la funzione di errore complementare:

Raffreddamento istantaneo di un semispazio T 0 Ts T Condizioni al contorno: T=T 0 per y>0, t=0 T=Ts per y=0 , t=0+ T T 0 per y infinito, t>0 Soluzione dell’equazione della conduzione di calore t = 0 - t = 0+ t >0

Se in superficie la temperatura cresce di 10°, dopo quanto tempo la temperatura cresce di 1° a 3 m di profondità? Si assuma k=1 mm 2/s eta 0. 0 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 0. 6 0. 7 0. 8 0. 9 1. 0 1. 1 1. 2 1. 3 1. 4 1. 5 1. 6 1. 7 1. 8 1. 9 2. 0 erfc(eta) 1. 00 0. 89 0. 78 0. 67 0. 57 0. 48 0. 40 0. 32 0. 26 0. 20 0. 16 0. 12 0. 09 0. 07 0. 05 0. 03 0. 02 0. 01 0. 00

Riscaldamento di un semispazio per variazione istantanea di flusso di calore Il flusso di calore q soddisfa la stessa eq. ne di Fourier della Temperatura T: q 0 qs q Condizioni al contorno: q=q 0 per y>0, t=0 q=qs per y=0 , t=0+ q q 0 per y infinito, t>0 Soluzione dell’equazione della conduzione di calore t = 0 - t = 0+ t >0

Corrispondente variazione di temperatura, sulla superficie e all’interno del semispazio (1/2) Questa situazione si verifica per scorrimento sul piano di faglia (‘Frictional Heating’) nel caso di subduzione oppure slip cosismico: Rocce a temperatura nominale T 0 aumentano la loro temperatura a causa dello sviluppo di flusso termico q 0 associato a uno sforzo di taglio t (Pa)e uno slip u (m/sec): q 0 =u t Integriamo questa ED, assumendo T -> T 0 per z ->∞ Integrando per parti il secondo membro otteniamo T=T(z, t)

Corrispondente variazione di temperatura, sulla superficie e all’interno del semispazio (2/2) La temperatura sul piano di scorrimento (z=0) è legata alla temperatura nominale T 0 che si aveva a t<0, prima cioè dell’innesco del flusso anomalo di calore q 0 dalla relazione: Quindi ancora una volta la temperatura cresce con la radice del tempo contato dall’epoca alla quale si è innescato l’aumento (o diminuzione) di flusso termico. Per applicazioni di tipo frizionale abbiamo: q 0=ut, dove t è lo sforzo di taglio sul piano di faglia e u=dx/dt la velocità di scorrimento t=x/u, ove x è la coordinata lungo il piano di faglia, che immerge a un angolo d rispetto all’orizzontale y=x sin d è la profondità di un punto di coordinata x T 0 d u T x y

Profilo termico nelle rocce circostanti una faglia, durante un terremoto

Riscaldamento o raffreddamento istantaneo di un semispazio Applicazioni tipiche del modello di raffreddamento/riscaldamento istantaneo sono: 1. 2. 3. Supponiamo che una porzione di spessore l della superficie terrestre viene rimossa ‘improvvisamente’ (su scale geologiche), ad esempio per erosione. Prima della rimozione, la geoterma era T=T 0+by. Dopo la rimozione la nuova superficie esposta ha una temperatura T=T 0 costante. Determinare la nuova geoterma. Consideriamo l’alternanza dei periodi di glaciazione come un’onda quadra. Determinare la geoterma corrispondente. Infine, la dislocazione di masse in faglie inverse può portare alla sovrapposizione di masse (che in origine erano sepolte) sopra masse che in origine erano esposte. Analogamente in faglie di scorrimento(ad es. quelle sul fondo oceanico), semispazi a temperature diverse possono entrare in contatto. In questi casi la legge matematica che dà l’andamento della temperatura all’interno dei blocchi è la stessa che nei casi precedenti.

Raffreddamento della Litosfera oceanica ~t 1/2 Spessore della litosfera (km) La litosfera può essere pensata come la regione compresa tra la superficie a temperatura zero e la geoterma (1600 K) oltre la quale le temperature sono sufficientemente elevate che le rocce si deformano su tempi geologici. Le placche di litosfera oceanica sono formate da rocce calde (a temperatura Tm) provenienti per convezione dal mantello lungo l’asse del ridge. Queste rocce a contatto con l’acqua degli oceani a temperatura Ts si raffreddano, formando una placca che tende ad allontanarsi dal ridge con velocità costante u=x/t. Lo spessore della litosfera oceanica aumenta con la separazione dal ridge, perché ha più tempo per raffreddarsi. Aumentando di densità affonda perché diminuisce la spinta isostatica. In altre parole, la nostra teoria predice che la profondità della isoterma a 1600 K aumenta con la radice quadrata della separazione dal ridge (ovvero con la radice quadrata dell’età termica delle rocce), come dimostrato sperimentalmente:

Struttura termica della litosfera in subduzione Le variazioni laterali di temperatura sono strettamente correlate al trasporto di calore e al flusso convettivo nel mantello. Il ciclo termico prevede il sollevamento, dispersione laterale e raffreddamento di una superficie inizialmente calda quanto il mantello, e il successivo riscaldamento della litosfera fredda come rientra nel mantello, ad es. lungo archi di isole (trench). ~t 1/2