Fisica Nucleare Testi utilizzati in varie parti del

Fisica Nucleare Testi utilizzati in varie parti del corso: • Introductory nuclear physics – Krane • Physics of atomic nucleus – K. N. Mukhin • Nuclei e particelle – Segrè • Introduzione alla fisica nucleare – W. Alberico • Teoria elementare del nucleo – H. A. Bethe, P. Morrison Testi di meccanica quantistica utili: • Modern quantum mechanics – J. J. Sakurai • Quantum physics – Gasiorowicz • Quantum field theory – Mandl, Shaw Tutte le trasparenze sono in rete nel sito: http: //gruppo 3. ca. infn. it/usai 1

Perchè studiare la fisica nucleare ? Riveste un ruolo importante nella nostra vita Fissione nucleare : generazione di energia centrali/armi Fusione nucleare : Sostiene (quasi) tutta la vita Creazione di tutti gli elementi pesanti – Nucleo-sintesi Possibile sorgente futura di energia non inquinante Decadimento radioattivo: . usato per la datazione, allarmi antifumo ! Applicazioni mediche: test diagnostici basati su imaging trattamenti terapeutici del cancro 2

Fisica Nucleare - Cronologia Probabilmente nessun argomento crea così tanta aspettativa, paura e confusione 1895 Scoperta dei raggi X - Röntgen 1942 Primo reattore – Fermi 1896 Scoperta della radioattività dell’uranio - Becquerel 1945 La bomba atomica - Oppenheimer 1897 Studi sulla radioattivita – Marie & Pierre Curie 1948 Nucleo-sintesi – Bethe, Gamow 1905 Einstein – teoria speciale della relatività 1952 Bomba all’idrogeno 1911 Scoperta del nucleo atomico - Rutherford 1956 Violazione della parità nel decadimento beta 1919 / 1920 Rutherford postula protoni e neutroni nel nucleo 1926 La meccanica quantistica decolla – equazione di Schrödinger 1929 Primi acceleratori di particelle, ciclotrone di Lawrence Sviluppo di applicazioni tecnologiche 1931 Teoria di Pauli del neutrino nel decadimento beta ad es. imaging medico 1932 Osservazione del neutrone – Chadwick 1934 Osservazione della fissione - Fermi / Hahn 1941 Avvio del Progetto Manhattan 2006 3

Costituenti fondamentali Elettrone me=0. 511 Me. V/c 2 carica = - e (1. 6 x 10 -19 C) dimensione 10 -18 m Nucleo Z protoni, N neutroni protoni e neutroni sono 2 stati carichi del nucleone Un nuclide è un nucleo specificato da Z, N A (numero di massa) = Z (numero atomico) + N mp mn = 939. 57 Me. V/c 2; carica: p = +e, n = 0 dimensioni p, n 1 fm; raggio del nucleo (A medio) 5 fm Atomo Lo stato normale è neutro, Z elettroni dimensioni 10 -10 m La massa mp, mn 1836 me dell’atomo è quasi tutta nel nucleo Le proprietà chimiche dipendono da Z 4

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La tavola periodica degli elementi Solo tre elementi si sono formati nel Big Bang. Tutti gli altri elementi vengono formati nelle stelle Elementi naturali: da H(Z=1) a U(Z=92) 6

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Masse e abbondanze nucleari La misura della massa nucleare viene eseguita per mezzo di uno spettrometro di massa Lastra fotografica misura della massa q, B, v sono noti. Misurando r si ha Selettore di velocità Fascio di ioni E B Selettore di velocità B Selettore di momento 8

Abbondanze nucleari Conteggi Possiamo fare una scansione in massa variando E o B e misurando la corrente possiamo determinare le abbondanze relative di diversi isotopi Spettro di massa degli isotopi del xenon trovati in un campione di gneiss avente 2. 7 miliardi di anni estratto dalla penisola di Kola Spettro degli isotopi dello xenon presenti in atmosfera Lo Xe nello gneiss è stato prodotto dalla fissione spontanea dell’uranio (K. Schafer, MPI Heidelberg) 9 Numero di massa

Abbondanze nucleari nel sistema solare Abbondanze relative nel sistema solare (normalizzate a Si). Generalmente le stesse in tutto il sistema solare Deuterio ed elio: fusione nei primi minuti dopo il big bang Nuclei fino 56 Fe: stelle Nuclei più pesanti: supernovae Abbondanze nel Sole 104 H 103 He 8 O 4 C 1 N 1 Ne 10

Masse nucleari: unità di misura La massa di riferimento non è il protone o l’atomo di idrogeno, bensì l’isotopo 12 C. Il carbonio e molti dei suoi composti sono sempre presenti in uno spettrometro e sono particolarmente adatti per la calibrazione. Una unità di massa atomica u è definita come 1/12 della massa del nuclide 12 C Esempio: Misura della massa dell’idrogeno D’altra parte Quindi la massa dell’idrogeno è data da massa di un protone = 938. 272 Me. V/c 2 11

Energia di legame nucleare L’energia di massa di un nucleo è Massa atomica Energie di legame degli Z elettroni (trascurabile) Massa degli Z elettroni L’energia di legame B di un nucleo è la differenza di energia di massa fra i suoi Z protoni e N neutroni liberi e un nucleo AZXN L’energia di legame è determinata dalle masse atomiche, poichè esse possono essere misurate molto più precisamente delle masse nucleari. Raggruppando le masse dei Z protoni ed elettroni in Z atomi di idrogeno neutri, possiamo anche riscrivere 12

Energie di separazione Le energie di separazione di protoni e neutroni sono l’equivalente delle energie di ionizzazione in fisica atomica. L’energia di separazione dei neutroni Sn è la quantità di energia necessaria per rimuovere un neutrone da un nucleo AZXN, uguale alla differenza fra le energie di legame di AZXN e A-1 ZXN-1 L’energia di separazione di un protone è definita, in modo simile, come l’energia necessaria per rimuovere un protone 13

Energia di legame per nucleone B/A costante 8 Me. V per nucleone, A 20 Largo massimo per A 60 (Fe, Co, Ni) Fe A 60 fusione A 60 fissione I nuclei leggeri con A=4 n, n=intero presentano picchi (stabilità ) B/A costante in un nucleo i nucleoni sono attratti solo dai nucleoni vicini. La forza nucleare è a corto range e saturata energia di legame per particella nucleare (nucleone) in Me. V Gli isotopi del gruppo del ferro sono i più legati energia dalla fissione nucleare Elementi più pesanti del ferro possono fornire energia tramite fissione energia dalla fusione hanno energia di legame nucleare 8. 8 Me. V/nucleone La massa media dei frammenti di fissione è circa 118 Numero di Massa A Linea rossa misure sperimentali linea nera formula semi-empirica 14 235 U

Conservazione dell’energia e del momento Consideriamo la reazione In un processo come questo l’energia è sempre conservata. L’energia dello stato finale deve essere uguale a quella dello stato iniziale L’energia di una particella di massa m è data in generale da Possiamo anche scriverla nella forma Energia a riposo associata alla massa Energia cinetica 15

Immaginiamo che nello stato iniziale il litio e l’idrogeno abbiano velocità trascurabili. Allora 8 unità di massa + 24. 55 Me. V Per lo stato finale possiamo scrivere 8 unità di massa + 2 x 3. 61 Me. V In questo modo troviamo l’energia prodotta (8 unità di massa + 24. 55 Me. V) – (8 unità di massa + 2 x 3. 61 Me. V) = 17. 33 Me. V 16

Vale anche la conservazione del momento Nell’ipotesi di velocità trascurabili nello stato iniziale Quindi anche nello stato finale Le due particelle si allontanano in direzioni opposte ciascuna con energia cinetica 17

Nuclidi Un nuclide è un particolare nucleo ed è designato con la seguente notazione: Z = Numero Atomico (Numero di Protoni) A = Massa Atomica (Numero di Nucleoni) A = Z+N (Nucleoni = Protoni + Neutroni) N = Numero di Neutroni (talvolta omesso) Nuclidi con lo stesso Z ma diverso N sono detti ISOTOPI Nuclidi con lo stesso A sono noti come ISOBARI Nuclidi con lo stesso N sono noti come ISOTONI Stati eccitati aventi vita media lunga (meta-stabili) sono noti come ISOMERI Esistono migliaia nuclidi! 18

Carta dei nuclidi ØI nuclidi possono essere sistemati su una carta, una specie di tavola periodica della fisica nucleare ØTipicamente la carta grafica Z vs N ØI diversi decadimenti radioattivi possono essere facilmente collegati con un movimento nella carta – ad es. il decadimento corrisponde a 2 passi a sinistra, 2 in basso ØQuesto permette di visualizzare intere catene di decadimento in modo efficace ØPermette di visualizzare anche altre proprietà come la vita media o la data di scoperta 19

Carta dei nuclidi – cronologia Evoluzione della Tavola degli Isotopi Anno di pubblicazione 20

Stabilità nucleare I nuclei stabili si trovano solo in una banda molto stretta nel piano Z-N. Tutti gli altri nuclei sono instabili e decadono spontaneamente in vari modi Per conservare il numero leptonico vengono prodotti anche neutrini Si possono avere inoltre decadimenti e fissione spontanea Numero di protoni Z Isobari con un grande surplus di neutroni guadagnano energia convertendo un neutrone in un protone (più un elettrone) mentre nel caso di un surplus di protoni si può verificare la reazione inversa: la conversione Fissione spontanea di un protone in un neutrone (e un positrone). Linea della stabilità Nuclei noti Numero di neutroni N 21

Carta dei nuclidi – vita media Experimental Chart of Nuclides 2000 2975 isotopi Vita media 22

Nucleo stabile: la sua massa deve essere minore della somma delle masse dei nuclei prodotti nel decadimento. Es. Questo decadimento non può aver luogo Infatti Invece È energeticamente possibile poichè 23

Regolarità della tavola dei nuclidi stabili: • Numero di nuclei con Z pari >> numero di nuclei con Z dispari • Numero di nuclei con A pari >> numero di nuclei con A dispari • Quasi tutti i nuclei con A pari hanno anche Z pari - uniche eccezioni 24

Dimensioni dei nuclei Stati eccitati ( e. V) Livello fondamentale Stati eccitati ( Me. V) Livello fondamentale Stati eccitati ( Ge. V) Livello fondamentale 25

Misura delle densità e dei raggi nucleari La “dimensione” dei nuclei può essere determinata utilizzando due tipi di interazione: L’interazione elettromagnetica dà la distribuzione di carica dei protoni dentro il nucleo. Ad esempio Scattering elettronico Atomi muonici Nuclei speculari L’interazione nucleare forte fornisce la distribuzione di materia dei protoni e neutroni nel nucleo. N. B. si hanno interazioni nucleari e e. m. allo stesso tempo studio più complesso. Ad esempio Scattering (Rutherford) Scattering di protoni Scattering e assorbimento di neutroni Vita media di emettitori Raggi X di atomi pionici 26

Sezione d’urto Consideriamo una rezione della forma Trattiamo b come il bersaglio e a come il proiettile – di solito un fascio ben collimato. Il flusso di particelle a è definito come Numero di particelle che attraversano una sezione di area unitaria per unità di tempo va = velocità delle particelle na = densità numero Il numero di interazioni per unità di tempo fra le particelle del fascio e quelle del bersaglio è Nb = numero di centri diffusori nel bersaglio = sezione d’urto di reazione 27

In un tipico esperimento viene integrato un certo numero di eventi in un tempo t (secondi, giorni o anche anni). Il numero totale di eventi osservati in un tempo t può essere riscritto come Ninc = numero di particelle del fascio incidenti in un tempo t Nb / S è il numero di centri diffusori per unità d’area. Ora L = lunghezza del bersaglio D’altra parte 28

Sezione d’urto differenziale La distribuzione angolare delle particelle scatterate non è necessariamente omogenea area A r fascio D angolo solido d =AD/r 2 bersaglio Numero di particelle scatterate in d è d. N/d Unità area/steraradiante Se il rivelatore può determinare l’energia E’ delle particelle scatterate, si può misurare la doppia sezione d’urto differenziale 29

Scattering elastico In un processo elastico a+b a’+b’ le particelle dello stato finale sono le stesse dello stato iniziale. Il bersaglio b resta nel suo stato fondamentale, assorbendo soltanto momento di rinculo e quindi variando la sua energia cinetica. L’angolo di scattering e l’energia di a’ e l’angolo di produzione e l’energia di b’ sono correlati in modo non ambiguo Conclusioni sulla forma del bersaglio possono essere dedotte dalla dipendenza del rate di scattering dall’energia del fascio e dall’angolo di scattering La più grande lunghezza d’onda che può risolvere strutture di dimensione lineare x è data dalla lunghezza d’onda di de Broglie ridotta ’ x Il corrispondente momento della particella segue dal principio di indeterminazione di Heisemberg Quindi per studiare i nuclei aventi raggi di qualche fermi, i momenti del fascio devono essere dell’ordine di 10 -100 Me. V/c I singoli nucleoni hanno raggi di circa 0. 8 fm. Essi possono essere risolti se il momento del fascio è qualche centinaio di Me. V 30

Scattering elettronico Utilizziamo gli elettroni come sonda per studiare le deviazioni rispetto a un nucleo puntiforme interazione elettromagnetica efotone nucleo A Per misurare una distanza fino a 1 fm abbiamo bisogno di un’energia Misuriamo E, degli elettroni scatterati d /d Apparato sperimentale Regione di campo magnetico Rivelatore Fascio elettronico di energia nota sottile foglio di materiale scatteratore monitor di fascio 31

Sezione d’urto Rutherford d. N/d Scattering di un elettrone di energia E su un nucleo di carica Ze angolo di scattering Ricavabile sia classicamente che con la meccanica quantistica con le ipotesi: • il rinculo del nucleo trascurato • gli effetti di spin trascurati • centro di scattering puntiforme 32

Derivazione quanto-meccanica Calcoliamo d /d usando l’approssimazione di Born in cui lo stato iniziale e finale sono considerati onde piane e si trascura il rinculo nucleare. Il rate di transizione è dato dalla regola d’oro di Fermi dove 33

Quantizzazione in una scatola Racchiudiamo il nostro sistema in una scatola di lato L. La funzione d’onda di un elettrone è un’onda piana Normalizzazione: probabilità di trovare l’elettrone nel volume V = L 3 deve essere 1: Lo stato di onda piana è soluzione dell’equazione di Schrodinger. Dobbiamo imporre delle condizioni di frontiera sui bordi della scatola. Poniamo Questo implica 34

Uso pratico della condizione di quantizzazione: Densità di stati numero di valori consentiti di k (o p) in una regione dello spazio del momento d 3 k: Ciascuno stato occupa un volume (2 /L)3 nello spazio k. Il numero di stati in k, k+d 3 k elemento di angolo solido Nel caso di scattering relativistico E p, 35

Flusso di elettroni incidenti Flusso: numero di particelle incidenti che attraversano un’area unitaria per secondo. Consideriamo un bersaglio di area A e un fascio incidente di velocità v=c in moto verso il bersaglio. Il flusso è dove ni è la densità numero di particelle incidenti = 1/L 3 Mettendo tutto assieme 36

Elemento di matrice dove è il momento trasferito Nel caso di scattering elastico momento trasferito 37

Scattering Rutherford: scattering su nucleo puntiforme Omettendo il fattore di normalizzazione L 3 L’integrale è mal definito (oscilla) per cui usiamo Abbiamo 38

La sezione d’urto è quindi data da Questa non è ancora esattamente la formula che abbiamo quotato all’inizio ma ci siamo quasi. Poichè trascuriamo il rinculo, l’energia e il modulo del momento dell’elettrone non cambiano: E=E’, |p|=|p’|, da cui Se ora ricordiamo che E=p, arriviamo alla formula di scattering di Rutherford 39

Sezione d’urto Mott Finora abbiamo trascurato lo spin dell’elettrone e del bersaglio. A energie relativistiche tuttavia gli effetti di spin modificano la sezione d’urto. La risultante sezione d’urto Mott può essere scritta come Nel caso limite di 1 la sezione d’urto Mott si semplifica in L’espressione mostra che a energie relativistiche la sezione d’urto Mott diminuisce più rapidamente a grandi angoli di scattering della sezione d’urto Rutherford 40

Scattering elettronico su nuclei: risultati sperimentali d. N/dcos (unità arbitrarie) 105 104 e 103 Sezion 102 ne 101 o ezi erford Ruth d’urto r d’u ott M o t I dati dello scattering elettronico di Hofstadter erano sotto quelli attesi per un nucleo puntiforme, indicando una struttura del nucleo S 1 10 -1 -1. 0 -0. 5 0. 0 0. 5 1. 0 cos 41

Scattering da un nucleo esteso Supponiamo che V(r) dipenda dalla distribuzione di carica nel nucleo Energia potenziale dell’elettrone dovuta alla carica d. Q Abbiamo da cui L’ampiezza di transizione si modifica in 42

Poniamo e consideriamo scattering Rutherford (o Mott) costante (vale a dire integriamo su ) F(q 2) Possiamo quindi scrivere dove della distribuzione di carica è il fattore di forma ed è la trasformata di Fourier Sperimentalmente il fattore di forma è ottenuto dividendo la sezione d’urto misurata per la sezione d’urto Mott. Si misura perciò la sezione d’urto per un’energia fissata del fascio e per vari angoli (e quindi diversi |q|) e si divide per la sezione d’urto Mott calcolata 43

in linea di principio la distribuzione di carica radiale potrebbe essere determinata dalla trasformata di Fourier inversa, utilizzando la dipendenza da q 2 del fattore di forma sperimentale Nel caso di nuclei sfericamente simmetrici, dipende soltanto da L’integrazione sull’angolo solido dà L’energia del fascio e la rapida diminuzione della sezione d’urto limitano il range di |q|. Percio’ tipicamente vengono scelte delle parametrizzazioni di , si calcola il risultante fattore di forma e i parametri vengono determinati tramite un fit ai dati sperimentali 44

Fattori di forma nucleari – esempi (r) puntiforme esponenziale F(q 2) costante esempio elettrone dipolo protone gauss 6 Li sfera omogenea sfera con superficie diffusa oscillante 40 Ca 45 r |q|

Fattori di forma nucleari – prime misure Misura del fattore di forma di 12 C con lo scattering elettronico (Hofstadter, Stanford 1957). Una delle prime misure di un fattore di forma nucleare Sezione d’urto per 7 angoli a un’energia del fascio di 450 Me. V Linea tratteggiata: scattering di onda piana da parte di una sfera omogenea con superficie diffusa Linea continua: analisi degli spostamenti di fase fittati ai dati 46

Lo scattering da parte di un oggetto con una superficie ben definita generalmente produce ben definiti massimi e minimi di diffrazione Nel caso di una sfera omogenea di raggio R, si trova un minimo a La posizione di questi minimi ci dà quindi informazioni sulla dimensione del nucleo scatteratore. Esempio: il minimo nella misura di 12 C di Hofstadter è a q/ħ 1. 8 fm-1. Il nucleo di carbonio ha perciò un raggio (di carica) R=4. 5/1. 8 2. 5 fm 47

d /d [cm 2/sr] Scattering elettronico su 40 Ca e 48 Ca La sezione d’urto cambia di sette ordini di grandezza Tre minimi visibili, quindi buona precisione nella misura del fattore di forma Minimi di 48 Ca a minore |q| implicano che 48 Ca è più grande 48

Distribuzione di carica dei nuclei I Nucleoni non si addensano vicino al centro del nucleo Piuttosto, hanno una distribuzione costante fino in superficie La densità è descritta dalla funzione di Fermi con due parametri R è il raggio a cui (r) è diminuita di 1/2 s è la larghezza di superficie o “spessore di pelle”, dove (r) scende dal 90% al 10%. 49 Per tutti i nuclei si ha s 2. 5 fm

Densità di carica [x 109 coulomb/cm 3] Dati di scattering elettronico Distanza radiale (fm) 50

Raggio quadratico medio Il fattore di forma può essere espanso in potenze di q Definendo il raggio quadratico medio come La misura sperimentale di <r 2> richiede la misura di F(q 2) a valori molto piccoli di q 2 51

Raggi X atomici Assumiamo che il nucleo sia una sfera uniformemente carica. Il potenziale è ottenuto in due regioni: dentro la sfera All’esterno della sfera L’energia di un elettrone in un dato stato con un nucleo puntiforme dipende da Con un nucleo non puntiforme, assumendo che non cambi apprezzabilmente quando Vpuntiforme Vsfera 52 Energia potenziale 1/r

Il nucleo sferico non puntiforme cambia i livelli di E = <V’> - <V> La variazione di energia fra un nucleo sferico ed uno puntiforme per la funzione d’onda elettronica del livello 1 s è In linea di principio misurando E possiamo estrarre R. Il problema tuttavia è che non esiste un nucleo puntiforme! Consideriamo una transizione 2 p 1 s per due atomi (A, Z) e (A 1, Z). Avremo Possiamo assumere che E 2 p(A)=E 2 p(A’) e riscrivere Shift isotopico 53

Graficando EK(A) – EK(A’) in funzione di A 2/3 la pendenza della retta permette di ricavare R 0. 54

Atomi muonici Muoni arrestati nella materia vengono intrappolati in orbite atomiche e hanno una probabilità maggiore degli elettroni di passare del tempo dentro il nucleo. . Raggio di Bohr 1/Zm massa 207 me Energia Z 2 m vita media 2 s i muoni eseguono transizioni verso livelli di energia bassi, emettendo raggi X prima di decadere Nel caso dell’idrogeno e degli elettroni r = a 0 = 5 x 104 fm (raggio di Bohr) Nel caso del piombo e dei muoni Energia transizione 2 P 3/2 1 S 1/2: 16. 41 Me. V (Bohr), 6. 02 Me. V (misurata) Misura dei raggi X raggio Raggi X di - anche i - possono occupare orbite attorno al nucleo. I raggi X sono emessi quando il - scende fra due orbite. Lo shift dell’energia dei raggi X dipende dal 55 raggio

Fattori di forma nucleari – apparato sperimentale A 1 all’acceleratore elettronico MAMI-B (Mainzer Microtron). Tre spettrometri magnetici che possono essere usati singolarmente per lo scattering elastico o assieme per reazioni inelastiche. Diametro della rotaia circolare 12 m. 56