Fisica 1 Gravitazione Programma della lezione Richiami matematici

Fisica 1 Gravitazione

Programma della lezione • • Richiami matematici sulle coniche Leggi di Keplero Legge di gravitazione di Newton Soluzione del problema dei due corpi – Scelta del sistema di riferimento – Momento della quantita` di moto – Energia • Dimostrazione delle leggi di Keplero • Considerazioni sull’energia

Richiami di matematica: le coniche • In coordinate polari, scelto uno dei fuochi come origine, l’equazione di una conica è • ove r è la distanza tra un punto della conica e il fuoco e è l’angolo compreso tra l’asse della conica e il vettore r e è detta eccentricità della conica Si può mostrare che la formula scritta rappresenta sempre una conica, il cui tipo dipende dal valore dell’eccentricità: e<1 ellisse, e=1 parabola, e>1 iperbole • • r

Richiami di matematica: l’ellisse • L’ellisse è caratterizzata dal fatto che la somma delle distanze di un punto dai fuochi è costante • Detto E il centro dell’ellisse, EB=a è il semiasse maggiore ed ED=b il semiasse minore • La distanza dei fuochi dal centro è EF 2=EF 1=ea • Il semiasse minore si può esprimere in funzione del semiasse maggiore e dell’eccentricità: D P L’area dell’ellisse è A F 1 B E F 2 C Quanto vale la costante? Dimostrare la relazione tra b e a, e

Gravitazione universale • Agisce tra due corpi qualunque dotati di massa • Supponiamo inizialmente che le masse abbiano dimensione trascurabile rispetto alla distanza reciproca (caso ideale di masse “puntiformi”) • È descritta dalla legge di Newton • Ove F 21 è la forza agente sulla massa 2, dovuta alla massa 1, m 1 e m 2 sono le masse dei corpi, r la loro distanza, r 12 il versore orientato da 1 a 2 • La combinazione -r 12 il indica che la forza è attrattiva

Gravitazione universale • G è una costante fisica universale di dimensioni (nel sistema MKS) • E di valore

Energia potenziale gravitazionale • Dalla legge di forza • possiamo calcolare l’energia potenziale: r dl F

Leggi di Keplero • Newton arrivò alla sua legge studiando l’opera di Keplero, il quale aveva enunciato tre leggi valide per il moto dei pianeti del sistema solare • Prima legge: l’orbita percorsa da un pianeta giace su di un piano e ha forma di ellisse, di cui il sole occupa uno dei due fuochi

Leggi di Keplero • Useremo un sistema di coordinate polari per descrivere l’orbita del pianeta • Il raggio vettore r, con origine nel sole e vertice nel pianeta, è definito dal modulo r e dall’angolo (detto anomalia o azimut) • Il punto A in cui il pianeta è più lontano dal sole è detto afelio; il punto B in cui il pianeta è più vicino al sole è detto perielio • Entrambi son detti apsidi A r B

Leggi di Keplero • La prima legge si può esprimere matematicamente • Ove p ed e sono due parametri orbitali: e è l’eccentricità dell’orbita (sempre <1 per un’ellisse) • Esercizio: esprimere p in funzione degli altri parametri orbitali analizzando, p. e. , il perielio (r=a-ae, =0)

Leggi di Keplero • Seconda legge: l’area “spazzata” dal raggio vettore è proporzionale al tempo impiegato per spazzarla: A=kt, in termini infinitesimi: d. A=kdt • Ovvero: la velocità areale è costante • Storicamente fu scoperta per prima A B • Possiamo esprimere la costante k mediante l’area e il periodo

Leggi di Keplero • Terza legge: il quadrato del periodo di rivoluzione di un pianeta attorno al sole è proporzionale al cubo del semiasse maggiore dell’orbita • La costante di proporzionalità è uguale per tutti i pianeti • Una legge analoga vale per il sistema di Giove e i suoi satelliti • La costante è uguale per tutti i satelliti (ma è diversa da quella del sistema Sole-pianeti, come vedremo)

Il problema dei due corpi • Consideriamo un sistema isolato costituito da due masse puntiformi interagenti con forza newtoniana • Sia S un sistema di riferimento inerziale in cui descrivere il sistema dei due corpi r r 2 r 1 • Siano r 1 e r 2 i vettori posizione (in S) delle due masse • La forza mutua dipende solo dal vettore r tra le due masse: r = r 2 - r 1

Il problema dei due corpi • Introduciamo anche il vettore R, posizione del centro di massa: r R • Le trasformazioni inverse permettono di esprimere r 1 e r 2 in funzione di R e r r 1 r 2

Il problema dei due corpi • Poiché il sistema è isolato, il centro di massa si muove di moto rettilineo uniforme • Possiamo sfruttare questo risultato per scegliere un sistema di riferimento inerziale più conveniente S’: uno con l’origine O’ coincidente con il centro di massa dei due corpi (i due punti coincidono e traslano assieme) • D’ora in poi, anche se con abuso di notazione, continueremo ad usare gli stessi simboli nel nuovo sistema S’ (però ora R=0)

Il problema dei due corpi • Risolvere il problema significa trovare la dipendenza di r dal tempo. Una volta noto r, le coordinate delle masse si ottengono (ora R=0) semplicemente da • Un fatto importante è che nel sistema S’, le velocità v 1 e v 2 sono parallele • Ciò significa che i vettori v 1, v 2 e r sono complanari

Forze centrali • La forza gravitazionale rientra in un tipo più generale di forze, dette centrali • Queste forze hanno l’importante proprietà di essere dirette lungo la congiungente dei corpi in interazione, cioè lungo r e dipendere solo da r

Il momento delle forze • Calcoliamo il momento delle forze interne, sfruttando il fatto che la forza è centrale: • L’annullarsi del momento delle forze, implica che il momento della quantità di moto sia costante

Il momento della qdm • Abbiamo mostrato che v 1, v 2 e r sono complanari • Ne segue che i vettori mqm dei due corpi sono paralleli • Calcoliamo ora il mqm totale • Il fatto che l 1, l 2 (e quindi L) siano paralleli, assieme al fatto che L si conservi, significa che il moto dei due corpi avviene su di un piano (perpendicolare a L e contenente v 1, v 2, r) • Il problema è quindi ridotto a due dimensioni. Scegliamo il sistema S’ su questo piano: un sistema di riferimento polare di coordinate r e

Il momento della qdm • Il vettore r potrà ruotare attorno al punto O’ (e anche cambiare lunghezza ) • Ciò significa che la velocità angolare delle due masse è uguale d 2 d 1 O’

Il momento della qdm • Tenendo conto del parallelismo dei due mqm e detta v la componente azimutale della velocità, il modulo L è v v r vr a

Il momento della qdm • Ovvero • Esprimendo r 1 e r 2 in funzione di r, (R=0), otteniamo

Il momento della qdm • Ove è una costante con le dimensioni di una massa, detta massa ridotta • Il risultato ottenuto • si può interpretare dicendo che il sistema dei due corpi è equivalente ad un solo corpo di massa a distanza r da un centro fisso di forza • Risultato utile per esprimere la velocità angolare in funzione della distanza r (e delle costanti , L)

2 a legge di Keplero • Siamo ora in grado di dimostrare questa legge nell’ambito della teoria di Newton • Esprimiamo l’area del triangolo infinitesimo SP 1 P 2 in coordinate polari P 1 P 2 S

2 a legge di Keplero • Dividendo per il tempo otteniamo la velocità areale • Per quanto detto sul momento della qdm abbiamo CDD • Da notare che abbiamo usato soltanto il fatto che la FG è di tipo centrale: il risultato è quindi valido per qualunque forza centrale

Energia • Finora abbiamo usato la legge di conservazione della qdm • Usiamo ora una seconda legge di conservazione, quella dell’energia • Ove T è l’energia cinetica delle due masse e V (già calcolata) è l’energia potenziale gravitazionale dovuta all’attrazione mutua

Energia cinetica • Calcoliamo l’energia cinetica

Energia cinetica • Di nuovo possiamo interpretare dicendo che per quanto riguarda T, il sistema dei due corpi equivale ad un corpo solo di massa ridotta • Esprimendo la velocità in termini delle componenti radiale e azimutale: v v r vr

Energia • Tornando all’energia • Esprimendo la velocità angolare in funzione di L e r e inserendo l’espressione di V, otteniamo infine

Integrazione dell’equazione • L’equazione (differenziale) precedente è una relazione tra la coordinata r (incognita), la sua derivata (incognita) e due costanti del moto E e L (supposte note) • Possiamo esplicitare rispetto alla derivata

Integrazione dell’equazione • Risolvere questa equazione ci darebbe la distanza r (e quindi ) in funzione del tempo • È più interessante però determinare r in funzione dell’angolo , in questo modo otteniamo l’equazione dell’orbita • A tal fine riscriviamo la velocità radiale

Integrazione dell’equazione • Otteniamo infine • Quest’equazione si può risolvere per quadrature:

Integrazione dell’equazione • L’integrando si può riportare ad una forma standard con la sostituzione u=1/r • L’integrale è della forma

Integrazione dell’equazione • E quindi • E tornando alla variabile r:

1 a legge di Keplero • L’espressione precedente è della forma • Ove l’eccentricità è • E si è scelto ’=0 in corrispondenza del perielio CDD

1 a legge di Keplero • Nel caso in cui il sole sia identificato col corpo 1 e un pianeta col corpo 2, abbiamo Il sole è praticamente fermo Il corpo di massa ridotta e il pianeta si possono identificare

Energia • Torniamo all’espressione dell’energia • Il primo termine del membro di destra è l’energia cinetica radiale, il secondo termine è l’energia cinetica azimutale, il terzo termine è l’energia potenziale • Formalmente possiamo considerare invece il secondo termine come energia potenziale, aggiuntiva a quella gravitazionale, di una particella fittizia di cui il primo termine rappresenta tutta l’energia cinetica • Questo modo di vedere ha il vantaggio di ridurre il numero di dimensioni del problema da due a una

Energia • Nella figura abbiamo tracciato le due energie potenziali con linee tratteggiate e la loro somma Vtot con linea continua • L’energia totale E è una costante (retta tratteggiata) • La differenza tra E e Vtot è l’energia cinetica (freccia) r

Energia • Per E>0, r assume un valore minimo ma può assumere valori arbitrariamente grandi: l’orbita è aperta E>0 T r L’eccentricità è >1, come dev’essere per un’iperbole

Energia • Per E<0, r è compreso tra un valore minimo e uno massimo: l’orbita è limitata (e chiusa) T E<0 r L’eccentricità è <1, come dev’essere per un’ellisse

3 a legge di Keplero • Come abbiamo visto, la 2 a legge di Keplero stabilisce che • Integrando questa relazione su di un periodo di rivoluzione, abbiamo • Ricordando la relazione tra b, a ed e:

3 a legge di Keplero • Dalla 1 a legge di Keplero, applicata al perigeo, avevamo trovato • Ove ora • Che ci permette di esprimere e in funzione di , L, k, a:

3 a legge di Keplero • Ed infine • La teoria di Newton “verifica e smentisce” allo stesso tempo la 3 a legge di Keplero • La smentisce in quanto la costante che compare nella legge è diversa da pianeta • La conferma in quanto tale costante è con buona approssimazione uguale per tutti i pianeti CDD

Masse estese • Newton fece qualcosa di più: dimostrò che la legge di forza ha la stessa espressione anche per masse estese con simmetria sferica • Lo dimostreremo in elettrostatica quando studieremo la legge di Gauss

Il problema degli n corpi • Se si hanno tre o più corpi, qualunque sia la forza d’interazione, il problema non ammette, in generale, una soluzione analitica • Teoria delle perturbazioni • Problema della stabilità del sistema solare