Fisica 1 Elettrostatica Preliminari matematici Programma della lezione

Fisica 1 Elettrostatica Preliminari matematici

Programma della lezione • • • Campi scalari e vettoriali Operatori differenziali sui campi Vettore area Operazioni integrali sui campi Teoremi integrali

Campi • Matematicamente sono funzioni reali (o complesse) che rappresentano grandezze fisiche • Sono definiti nello spazio tridimensionale e nel tempo (o in opportuni sottoinsiemi) • Se non dipendono dal tempo sono detti statici • Se hanno ovunque (nell’insieme spaziale di definizione) lo stesso valore sono detti uniformi

Campi • Se basta una sola funzione a definirli completamente, il campo e` detto scalare (campo della temperatura) • Se occorre una funzione per ogni dimensione spaziale, il campo e` detto vettoriale (campo della velocita` di un fluido)

Operazioni differenziali sui campi • Sono operazioni di derivazione delle componenti del campo. Agiscono su campi e definiscono nuovi campi. – Gradiente – Divergenza – Rotazione (o rotore) – Laplaciano • Siccome le componenti sono funzioni di piu` variabili, avremo derivate parziali

Gradiente di un campo • In coordinate cartesiane: • Formalmente, l’operatore gradiente si scrive: • Il gradiente di un campo scalare e` un campo vettoriale • Puo` anche agire su una qualunque componente di un campo vettoriale:

Gradiente di un campo • In coordinate cilindriche (r, f, z): • In coordinate sferiche (r, q, f):

Divergenza di un campo vettoriale • In coordinate cartesiane: • Formalmente si puo` considerare come il prodotto scalare tra l’operatore gradiente e il campo vettoriale: • E` un campo scalare

Divergenza di un campo vettoriale • In coordinate cilindriche: • In coordinate sferiche:

Rotazione di un campo vettoriale • In coordinate cartesiane: • Formalmente si puo` considerare come il prodotto vettoriale tra l’operatore gradiente e il campo vettoriale: • Dalla presenza di versori, si evince che e` un campo vettoriale

Rotazione di un campo vettoriale • In coordinate cilindriche: • In coordinate sferiche:

Laplaciano di un campo • In coordinate cartesiane: • Il laplaciano di un campo scalare e` un campo scalare • E` la divergenza del gradiente: • Formalmente: • Puo` agire anche su una qualunque componente di un campo vettoriale:

Vettore area • Due vettori nello spazio a e b, linearmente indipendenti, definiscono un piano • L’area del parallelogramma che si puo` costruire coi due vettori e`: • Alla coppia a, b si puo` associare un vettore perpendicolare al piano e di modulo pari ad A, cioe` il loro prodotto esterno: a b A a b • Quindi: dati due vettori indipendenti l’area del parallelogramma associato e` dato dal loro prodotto vettoriale.

Area dei parallelogrammi z proiezione • • • Proiettiamo i due vettori a e b sui tre piani coordinati di una terna cartesiana Per ciascun piano xixj otteniamo una coppia di vettori aij , bij proiezioni della coppia a, b (ovvero un parallelogramma proiezione del parallelogramma associato alla coppia) x Determiniamo la coppia proiettata, ad esempio, sul piano xy: • Determiniamo l’area del parallelogramma associato: • Che altro non e` se non la componente z del vettore area A. • Quindi la proiezione di un elemento di area su un piano coordinato e` la componente nella direzione normale al piano del vettore area associato all’elemento. a b y

Operazioni integrali sui campi • Circuitazione: integrale lungo una linea (1 -dim) C • Flusso: integrale su una superficie (2 -dim) S • Integrale nello spazio (di volume): 3 -dim V

Teoremi integrali • Esistono due teoremi che coinvolgono integrali multipli degli operatori differenziali: – Teorema della divergenza – Teorema di Stokes

Teorema della divergenza • Lega il flusso di un campo vettorale all’integrale di volume della divergenza del campo stesso • (Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie chiusa) = (Integrale della divergenza del campo nello spazio interno alla superficie) V S

Teorema di Stokes • Lega la circuitazione di un campo vettoriale al flusso della rotazione del campo stesso • (Circuitazione di un campo vettoriale lungo una linea chiusa) = (Flusso della rotazione del campo attraverso una qualunque superficie che poggia su tale linea) S C