FINANCE Le risque systmatique Professor Andr Farber Solvay
FINANCE Le risque systématique Professor André Farber Solvay Business School Université Libre de Bruxelles Fall 2006 DESG
Introduction • Comment calculer la rentabilité attendue et le risque d’un portefeuille: mise en évidence du rôle de la covariance • Décomposition de la variance: somme des covariances des titres avec le portefeuille • Importance de la diversification (risque moindre) mais aussi limite • Beta: mesure le risque (systématique) d’une action dans un portefeuille 17 October 2021 DESG 2
Covariance et corrélation • Mesures statistiques de la covariabilité • Covariance • Même unité de mesure que la variance. • Pas sympa • Corrélation • covariance divisée par le produit des écart types • Covariance et corrélation même signe – Positif : les variables corrélées positivement – Zero : les variables sont independentes – Negatif : les variables sont corrélées négativement • La corrélation est un nombre compris entre – 1 and + 1 17 October 2021 DESG 3
Calcul de la rentabilité attendue et du risque d’un portefeuille • Considérons un portefeuille P constitué de 2 actifs • Données: – Rentabilité attendues : – Ecart types : – Covariance : • Portefeuille: défini par les pondérations des titres x 1 , x 2 • x 1 + x 2 = 1 • Rentabilité attendue du portefeuille: • Variance du portefeuille: 17 October 2021 DESG 4
Décomposition de la variance du portefeuille • Quelle est la contribution de chacun des titres au risque du portefeuille? • La variance du portefeuille • peut s’écrire: • La variance du portefeuille est la moyenne pondérée de la covariance de chacun des titres avec le portefeuille. 17 October 2021 DESG 5
Exemple 17 October 2021 DESG 6
Frontière efficiente – 2 actifs ρ = +1 ρ = -1 ρ=0 17 October 2021 DESG 7
1 actif risqué + 1 actif sans risque • Constituons le portefeuille P suivant: • Pondérations: – Actif sans risque 1 -x (40%) – Actif risqué x (60%) Actif sans risque Actif risqué Rentabilité attendue 6% 12% Ecart type 0% 20% • Rentabilité attendue du portefeuille P: • Ecart type du portefeuille : 17 October 2021 DESG 8
Relation risque – rentabilité attendue • En combinant les expressions : • Rentabilité attendue • Ecart type • il vient: 17 October 2021 DESG 9
Ratio de Sharpe Choisir le portefeuille ayant le ratio de Sharpe le plus élevé: Max r étant donné σ Min σ étant donné r Rentabilité attendue • • Exemple: r. F = 6% Rentabilité attendue A 9% B 15% • • • Ratio de Sharpe A (9 -6)/10 = 0. 30 B (15 -6)/20 = 0. 45 ** 17 October 2021 Ecart type B 10% 20% A Ecart type DESG 10
Choix du portefeuille risqué optimal 17 October 2021 DESG 11
Aversion au risque • Mathematical representation of preferences • a: risk aversion coefficient • u = certainty equivalent risk-free rate • Example: a = 2 • • A 6% 0 B 10% C 15% 20% B is preferred 17 October 2021 Utility 0. 06 0. 08 = 0. 10 - 2×(0. 10)² 0. 07 = 0. 15 - 2×(0. 20)² DESG 12
Optimal choice with a single risky asset • Risk-free asset : r. F • Risky portfolio S: Proportion = 1 -x Proportion = x • Utility: • Optimum: • Solution: • Example: a = 2 17 October 2021 DESG 13
Généralisation à N actifs • Composition du portefeuille : • (x 1, x 2, . . . , xi, . . . , x. N) • x 1 + x 2 +. . . + xi +. . . + x. N = 1 • Rentabilité attendue: • Risque: • Remarque: • N termes en variances • N(N-1) termes en covariances • Covariances dominent 17 October 2021 DESG 14
Some intuition 17 October 2021 DESG 15
Exemple • Considérons un portfeuille d’actions ayant les mêmes caractéristiques: • Pondération uniforme: • Variance du portefeuille: • Que se passe-t-il si le nombre de titres augmente ? : • Variance of portfolio: 17 October 2021 DESG 16
Diversification 17 October 2021 DESG 17
Conclusion • 1. Diversification pays - adding securities to the portfolio decreases risk. This is because securities are not perfectly positively correlated • 2. There is a limit to the benefit of diversification : the risk of the portfolio can't be less than the average covariance (cov) between the stocks • The variance of a security's return can be broken down in the following way: Total risk of individual security Portfolio risk Unsystematic or diversifiable risk • The proper definition of the risk of an individual security in a portfolio M is the covariance of the security with the portfolio: 17 October 2021 DESG 18
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