FIBONACCI La vita Fibonacci nel computer La serie

FIBONACCI La vita Fibonacci nel computer La serie Spirale Aurale Il rapporto aureo Testi in Latino Grafico

La vita Fibonacci, Leonardo (Pisa 1170 ca. - 1240 ca. ), detto anche Leonardo da Pisa, matematico italiano che estese e integrò le conoscenze matematiche delle culture europea, araba e indiana e che contribuì notevolmente ai campi dell'algebra e della teoria dei numeri. Apprese nella città natale i rudimenti del calcolo; all'età di circa vent'anni si recò in Algeria, dove cominciò ad appropriarsi del sistema di numerazione indiano e dei metodi di calcolo arabi, conoscenze che incrementò nel corso di lunghi viaggi nel bacino del Mediterraneo. Utilizzò queste esperienze per migliorare le tecniche del calcolo commerciale che già conosceva e per estendere le ricerche dei matematici classici, tra i quali i greci Diofanto ed Euclide. La sua opera più importante fu “Pratica Geometriae” nella quale si occupò di trigonometria e di problemi di applicazione dell’algebra alla geometria

La serie Il matematico pisano Leonardo Fibonacci fu ricordato soprattutto per via della sua sequenza divenuta ormai celeberrima. L’uso della sequenza di Fibonacci risale all’anno 1202. Essa si compone di una serie di numeri nella quale ognuno di essi è la somma dei due numeri precedenti (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…). Nella seconda metà del diciannovesimo secolo, un matematico francese di nome Edouard Lucas riprese lo studio di tale sequenza prendendo come valori di partenza 2 e 1. Questa versione dei numeri fu conosciuta come la sequenza di Lucas. Quest’ultimo fu colui che rese i numeri di Fibonacci noti a tutti. Johannes Kepler notò poi che facendo il rapporto fra due numeri di Fibonacci consecutivi, esso si avvicinava sempre più a 1, 61803, valore noto anche con il nome di rapporto aureo.

Edouard Lucas riprese la sequenza di fibonacci ponendo come numeri iniziali 2 e 1(2 -1 -3 -4 -7 -11 -18)

Consideriamo la seguente successione numerica u 1, u 2 …, un (1) in cui ogni termine è la somma dei due termini precedenti; cioè per ogni n maggiore di 2 , un = un-1 + un-2 (2) Successioni di questo tipo, in cui ogni termine è definito come una certa funzione dei termini precedenti, s’incontrano di frequente in matematica e sono chiamate successioni ricorrenti. In aggiunta alla condizione (2), per determinare i termini di una successione ricorrente è indispensabile conoscerne i primi due; procedendo in tal modo è possibile raggiungere termini di indice arbitrariamente grandi e determinarli. La sequenza di Fibonacci descritta in precedenza è proprio un esempio di successione ricorrente in cui u 1 = u 2 = 1 ed i suoi termini, aventi una notevole gamma di proprietà e applicazioni, sono detti numeri di Fibonacci.

Rapporto Aureo Gli studi di Leonardo Da Vinci sul corpo umano hanno indicato come Rapporto Aureo il rapporto esteticamente più piacevole tra le lunghezze del corpo umano (ad esempio tronco/gambe)

Fibonacci nel computer I numeri di Fibonacci sono utilizzati anche nel sistema informatico di molti computer. In particolare vi è un complesso meccanismo basato su tali numeri, detto "Fibonacci heap" che viene utilizzato nel processore Pentium della Intel per la risoluzione degli algoritmi.

SPIRALE AURALE Costruzione della Spirale Aurea La Spirale Aurea è basata su una serie di quadrati che possono essere costruiti dentro il rettangolo aureo Per iniziare la costruzione disegna un arco da un angolo del rettangolo fino ad intersecare il lato adiacente. Quindi conduci un segmento perpendicolare al lato che è stato intersecato, dal punto d'intersezione al lato opposto. Ripeti il procedimento per formare un altro quadrato. . .

Lavoro realizzato da Stefano Fusco e Vincenzo Totaro

. . e così via. Disegnando archi con sequenze di quadrati, si può costruire la spirale logaritmica nota come Spirale Aurea

SEZIONE AUREA: definizione A M B | 1 -x | Il segmento AB viene diviso dal punto M in modo tale che il rapporto tra le due parti, la più piccola con la più grande (AM e MB), è uguale al rapporto della parte più grande (MB) con tutto AB. Se AB è di lunghezza 1, e chiamiamo x la lunghezza del segmento AB, allora la definizione sopra fornita dà luogo alla seguente equazione: 1 - x = x , e cioè 1 -x = x 2 che ha due soluzioni per x, (-1 -radq 5)2 e (radq 5 -1)2. La prima è negativa, per cui non soddisfa le condizioni del problema. La seconda rappresenta proprio il rapporto di sezione aurea ed è un numero irrazionale corrispondente a circa 0, 618. Il reciproco di x (1/x) viene indicato con Ø e corrisponde a 1+x, cioè circa 1, 618. Molto spesso questo rapporto viene indicato come rapporto aureo e viene utilizzato nella costruzione del rettangolo aureo. La costruzione della sezione aure suggerisce la possibilità di realizzare un processo di crescita in cui si conservano costantemente i rapporti, cioè la crescita dà luogo ad organismi che rimangono sempre simili a se stessi.

Frontespizio del libro Pratica geometriae di Fibonacci

dalla Pratica geometriae di Leonardo Pisano Incipit septima distinctio de inuentione altitudinum rerum e elevatarum et profunditatum atque longitudinum planitierum Si vis metiri aliquam altitudinem : Erige astam in plano: et fac eam stare orthogonaliter super ipsum planum: et elonga te ab ipsa asta, et ab altitudine metienda: et pones oculum in terra prospiciens per summitatem aste : et si visus tuus transibit ad punctum summitatis metiende altitudinis, signa punctum in terra in locum ubi erit oculus. Et si linea egrediens ab oculo tuo per summitatem aste non venerit ad punctum summitatis altitudinis ipsius, muta te retro vel ante donec linea progrediens ab oculo tuo per summitatem aste, ascendat recte ad summitatem altitudinis predicte: et tunc erit proportio plani, quod est inter oculum et rem elevatam ad ipsam rem elevatam quam uis metiri sicut planum, quod est inter oculum et astam ad ipsam astam.

Verbi gratia. Sit altitudo ab. , que sit erecta super planum, in quo sit linea. bc. ; quare angulus. abc. erit rectus et in ipso plano, et super rectam. bc. orthogonaliter erigatur asta. de. ; et punctus. c. sit oculus tuus a quo transeat linea. ac. ascendens per summitatem aste, que est punctus. e. ; et erit trigonum. abc. ex summitate. ab. et linee. bc. existens in plano; et ex linea ac, quam facit oculus tuus et trigonum. edc. erit ex asta. ed. et ad planum. dc. et linea. c. e. : trigona quidem. abc. et. edc. , sibi invicem sunt similia, quia sunt equiangula ; est enim uterque angulorum. abc. et. edc. rectus: et angulus qui ad. c. utrique triangulo est comunis; reliquus qui ad. a. reliquo qui sub. ccd. est equalis: equiangula ergo sunt trigona. abc. et. dec. , quare et similia. Similia enim trigona circa equales angulos habent latera proportionalia ; est enim sicut. cd. ad. de. , ita. cb. ad. ba. Vnde si. cd. et. de. , scilicet spatium quod est inter oculum et astam; et ipsa asta. de. fuerint nota, erit nota linea. cb. ; erit utique nota et altitudo. ab. : quia si equalis est. cd. ex. de. , equalis erit. cb. ex. ba. ; et si maior, maior et si minor, minor: Que ostendantur cum numeris. Esto asta ed. quinque palmorum ; et spatium. cd. sit equale ei ; et sit spatium. cb. 30. ulnarum; erit propter hoc et altitudo. ab. similiter. 30. ulnarum, cum. cd. sit equalis. de. , ut in prima figura patet.

Item esto. cd. maior asta. ed. , erit propter hoc et planum. cb. maius altitudine. ab. , ut in hac secunda figura patet, in qua ponimus spatium. cd. 12 palmorum: et astam. ed. octo palmorum; et planum. cb. . 60. ulnarum. Quare erit ut. cd. ad. de. , hoc est sicut. 12. ad. 8. ; uel in minoribus numeris sicut. 3. ad. 2. , ita. cb. ad. ba. : unde si multiplicaverimus. 60. per. 2. , et diviserimus per. 3. , uenient ulne. 40. pro altitudine. ab. Rursus esto. cd. minor quam. de. Quare spatium. cb. erit minus altitudine. ab. , ut in hac tertia patet figura; in qua ponimus. cd. . 9. , scilicet spatium quod est inter oculum et astam: et astam. ed. . 12. , et planum. cb. . 45. Quare quantum addit. ed. super. dc. , tantum addet altitudo. ab. super planum. bc. : est enim. ed. ad. dc. proportio sexquitertia. Quare altitudo. ab. addit super planum. cb. tertiam eius que est. 15. ; et sic altitudo. ab. est. 60. : uel si. 45. , scilicet. cb. , multiplicentur per. 12. , hoc est per. ed. ; et summa diuidatur per. cd. , scilicet per. 9. , venient. 60. : pro altitudine. ab. : uel si. cb. multiplicetur per 1/3 ex. ed. , et diuidatur per 1/3 ex. cd. , uenient similiter. 60. pro. ab. : uel si 1/3 ex. cb. multiplicetur per 1/3 ex. ed. , venient. 60. pro altitudine. ab. .

Ex hoc quidem quidam uolens metiri in nemoribus arbores aptas navibus talem modum acceperunt: habent arundinem equalem sue stature quam habent ab extremitate tali usque ad oculum; et ponunt se in terra contra arborem, quam metiri uolunt, extense tenendo arundinem orthogonaliter erectam secus extremitatem utriusque tali, ut quanta sit altitudo arundinis , tanta sit longitudo stature a talo usque ad oculum ipsius; et mutant se aliquando uersus arborem appropinquando, aliquando elongando ab ea; et hoc faciunt donec transeat uisus eorum per summitatem arundinis ad summitatem arboris : et tunc quanta est longitudo, que est inter oculum et pedem arboris, tantam dicunt esse altitudinem arboris. Verbi gratia : sit altitudo arboris. ab. , arundinis. cd. , et statura hominis. de. ; et sit. e. oculus eius cuius uisus linea. ae. transiens per punctum. c. ; et tunc erit. eb. sicut. ed. ad. dc. , ut superius ostensum est. Geometre vero volendo aliquam subtilitatem geometricam ostendere, stant non multum longe ab arbore, et cum arcu duas sagittant ad arborem, vnam ad radicem eius et aliam ad punctum sumitatis eius; sed unicuique sagitte ligant unum filum et tendunt ipsa fila perducentes ea ad unum punctum in plano, facientes ex ipsis filis et ex arbore trigonum orthogonium cuius cathetus est ipsa arbor; et eius basis est filum sagitte ad pedem arboris protracte et eius ypothenusa est filum alterius sagitte quod obtendit angulum rectum. Verbi gratia : sit arbor linea. ab. ; et filum inferioris sagitte sit. bc. , et filum alterius sit. ac. Cumque utriusque fili mensuram habuerint : quadratum fili. bc. extrahteur ex quadrato fili. ac. , remanet eis quadratum arboris. ab. : ut si filum. ac. fuerit cubitorum. 50. , et filum. bc. fuerit. 30. , auferatur quadratum de. 30. , quod est. 900. , de quadrato de. 50. , quod est. 2500. , remanebunt pro quadrato arboris. ab. 1600. ; cuius radix, que est. 40, est altitudo arboris. ab.

Possums etiam dimensionem cuiuscumque altitudinis per aliquem triangulum ligneum habere, dum in ipso triangulo ab uno angulorum cathetus producta fuerit et basis super quam cathetus cadet ponatur in plano. Verbi gratia: sit altitudo metienda. ab. ; et triangulus ligneus esto. e. c. f. , cuius cathetus esto. ed. ; et stet trigonum. ecf. super planum altitudinis ita ut linea. ed. stet orthogonliter super ipsum planum et tunc ponant oculum super latus trigoni. ec. ; qui oculus sit. h. , et aspiciat per punctum. e. : et si visus tuus transeundo per. e. venerit ad. a. , erit sicut. cd. ad. de. , ita. cb. ad. ba. : et si visus transeundo per. e. venerit inter. ab. , apropinquabis triangulum ad altitudinem. ab. : et si idem uisus ascendet super altitudinem. ab. , reduces triangulum retro, et facies semper cathetum. ed. orthogonaliter stare super planum, fulciendo ipsum triangulum cum lapillis et cum terra; et hoc facies donec oculus tuus per. e. uideat. a. : et cum hoc factum fuerit ut dixi sicut. cd. ad. de. , ita. cb. ad. ba. : ut si. cd. fuerit. 3. cuiuscumque mensure et. de. fuerit. 4. , et. cb. . 30. passuum erit propter hoc altitudo. ab. passus. 40. ; quia. ed. addit super. cd. tertiam eius: quare et. ab. addit similiter tertiam super. cb. : uel si. cb. multiplicetur per. ed. , et suma diuidatur per. cd. , uenient similiter. 40. pro altitudine. ab. [. . . ]

GRAFICO

• Indice I quindici capitoli del Liber abaci sono i seguenti: o. De cognitione novem figurarum indorum et qualiter cum eis omnis numerus scribatur; et qui numeri, et qualiter retineri debeant in manibus, et de introductionibus abbaci o. De multiplicatione integrorum numerorum o. De additione ipsorum o. De extractione minorum numerum ex maioribus o. De divisione integrarum numerorum per integros o. De multiplicatione integrarum numerorum cum ruptis atque ruptorum sine sanis o. De additione ac extractione et divisione numerorum integrarum cum ruptis atque partium numerorum in singulis partis reductione o. De emptione et venditione rerum venalium et similium o. De baractis rerum venalium et de emptione bolsonalie et quibusdam regulis similibus o. De societatibus factis inter consocios o. De consolamine monetarum atque eorum regulis que ad consolamen pertinent De solutionibus multarum positarum questionum quas erraticas appellamus

o. De regula elcatayam qualiter per ipsam fere omnes erratices questiones solvantur o. De reperiendi radicibus quadratis et cubitis ex multiplicatione et divisione seu extractione earum in se et de tractatu binomiorum et recisorum et eorum radicum o. De regulis proportionibus geometrie pertinentibus: de questionibus aliebre et amulchabale • Incipit del primo capitolo Novem figure indorum he sunt

FINE FUSCO STEFANO TOTARO VINCENZO DE LUCA CLAUDIA