FIBONACCI KMDR 1170 1230 Orta an en byk

FIBONACCI KİMDİR? 1170 -1230

• Orta çağın en büyük matematikçilerinden biri olarak kabul edilen Leonardo Fibonacci İtalya'nın ünlü Pisa şehrinde doğmuştur.

• Çocukluğu babasının çalıştığı Cezayir'de geçmiştir. İlk matematik eğitimini Müslüman bilim adamlarından almış ve İslam aleminin kitaplarını incelemiş ve çalışmıştır.

• 1201 yılında "Liber Abacci" (cebir kitabı manasına gelir) adında bir matematik kitabı yazmıştır. Bu kitapla Avrupa'ya Arap rakamlarını ve bugün kullandığımız sayı sistemini tanıtmıştır. Bu kitapta, ilkokulda öğrendiğimiz temel matematik ( toplama, çarpma, çıkarma ve bölme) kurallarını bir çok örnek vererek anlatmıştır.

• İmparator ve saray tarafından çok korunmuş ve taktir görmüştür. 1220 yılında, ilme ve Pisa kentine yaptığı bu değerli hizmetlerden dolayı 20 Pisa Lirası kadar bir parayla kendisine yıllık bağlanır.

Bundan sonra daha kaç yıl yaşadığı kesin olarak bilinmiyorsa da 1230 yıllarında ölmüş olduğu sanılıyor.

FİBONACCİ SAYILARI • Başlangıçta birer rakam oyunu gibi görünen bu dizi, daha sonra Mendel Yasalarıyla uygulama alanı bulmuştur.

Bu dizinin neden ortaya çıktığı merak edilebilir. Fibonacci’nin zamanında matematik yarışmaları oldukça yaygındı. Fibonacci 1225 yılında Kral 2. Frederick’ in düzenlediği bir turnuvaya katılmıştı. İşte bu tarz bir yarışmada aşağıdaki problem ortaya çıktı :

Tek bir çift tavşan ile başlayarak her ay üretken çift, yeni bir tavşan çifti oluşturursa ve yeni tavşanlar bir ay sonra üretken oluyorsa, ‘n’ ay sonra toplam kaç tavşan olur?

Gelin biz önce “Bir yıl sonra kaç tane tavşan olur? “ Buna bakalım.

• "Bir çift yavru tavşan( bir erkek ve bir dişi) var. Bir ay sonra bu yavrular erginleşiyor. . Erginleşen her çift tavşan bir ay sonra bir çift yavru doğuruyor.

1. İlk ayın sonunda, sadece bir çift vardır. 2. ikinci ayın sonunda dişi bir çift yavru doğurur, ve elimizde 2 çift tavşan vardır.

3. Üçüncü ayın sonunda, ilk dişimiz bir çift yavru doğurur, 3 çift tavşanımız olur.

4. Dördüncü ayın sonunda , ilk dişimiz yeni bir çift yavru daha doğurur, iki ay önce doğan dişi de bir çift yavru doğurur ve 5 çift tavşanımız vardır.

• Bu şekilde devam ederek şu diziyi elde ederiz: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144… • Dizideki sayılar Ocak (ilk yavru çiftinin olduğu ay) ile Aralık arasındaki ayların her birinde tavşan çiftlerinin sayısını vermektedir.

• Peki serinin nasıl oluştuğunu anlayabildiniz mi? • Bu dizi çok basit şekilde oluşmaktadır. Bu dizideki her sayı (ilk ikisi dışında) kendinden evvel gelen iki sayının toplamına eşittir.

• O zaman bu dizi sayesinde n ay sonra oluşan tavşan sayısını bulabiliriz: Fn=Fn-1 +Fn-2 (F in kullanılması Fibonacci anısınadır. )

• Burada matematiksel olarak Fibonacci sayılarının özelliklerine de değinmek istersek şöyle verebiliriz:

1. Fn=Fn-1 +Fn-2 n=1, 2, 3, … 2. (Fn+1, Fn)=1 Yani ardışık iki Fibonacci sayısı aralarında asaldır. 3. 3/2=1+1/2 5/3=1+2/3 8/5=1+3/5 13/8=1+5/8 …… (Fn+2)/(Fn+1)=1+Fn/(Fn+1) n=1, 2, 3, …

• Peki, bu diziyi böylesine ilginç kılan nedir? Bunu iki ayrı nedene bağlayabiliriz. 1. İlk olarak dizinin küçük üyelerinin doğada, beklenmedik yerlerde karşımıza çıkmasıdır. ; bitkiler, böcekler, çiçekler vb. şeylerle ilgili olarak. .

2. İkinci neden, oranların limit değeri olan 0, 618033989 sayısının çok önemli bir sayı olmasıdır. ALTIN ORAN diye adlandırılan bu sayı Leonardo da Vinci'nin resimlerinden eski Yunan tapınaklarına kadar bir çok sanat eserinde ve doğada karşımıza çıkan bir sayıdır.

FIBONACCI SAYILARI VE BİTKİLER • Bir bitkinin sapındaki yaprakların, bir ağacın dallarının üzerinde hemen her zaman Fibonacci sayıları bulursunuz.

• Eğer yapraklardan biri başlangıç noktası olarak alınırsa ve bundan başlayarak, aşağıya yada yukarıya doğru, başlangıç noktasının tam üstünde veya altında bir yaprak buluncaya kadar yapraklar sayılırsa bulunan yaprak sayısı farklı bitkiler için değişik olacaktır ama her zaman bir Fibonacci sayısıdır.

• Mesela, yandaki resimde en baştaki dalı incelersek, başlangıç noktası olarak 1 numaralı yaprağı alırsak, kendisiyle aynı yönde bir başka yaprakla karşılaşabilmemiz için 3 defa saat yönünde bir dönüş yapmamız gerekir ve bu esnada 5 tane yaprak sayarız. Eğer bu dönüşü saat yönünün tersinde yaparsak 2 tane dönüş gerekecektir. Ve 2, 3, 5 ardışık Fibonacci sayılarıdır.

• Papatyalarında normal olarak bir Fibonacci sayısı kadar yaprağı vardır, bu nedenle “seviyor, sevmiyor” falının olumlu sonuç vermesi “talih perisi”nin araya girmesinden çok Fibonacci sayılarının dağılımının istatistiğine bağımlıdır.

• Kozalaklarda Fibonacci sayılarını çok açık şekilde gösterirler.

ALTIN ORAN NEDİR? • Fibonacci sayılarının ilginç bir özelliği vardır. Dizideki bir sayıyı kendinden önceki sayıya böldüğünüzde birbirine çok yakın sayılar elde edersiniz. Hatta serideki 13. sırada yer alan sayıdan sonra bu sayı sabitlenir. İşte bu sayı “Altın Oran” olarak adlandırılır. • Altın Oran = 1, 618

• Eğer altın oranın ondalık kısmını tanımlamak istersek şöyle verebiliriz:

1. 618033988749894848204586834365638117720309179805762862135448622 70526046281890244970720720418939113748475408807538689175212663386 22235369317931800607667263544333890865959395829056383226613199282 90267880675208766892501711696207032221043216269548626296313614438 14975870122034080588795445474924618569536486444924104432077134494 70495658467885098743394422125448770664780915884607499887124007652 17057517978834166256249407589069704000281210427621771117778053153 17141011704666599146697987317613560067087480710131795236894275219 48435305678300228785699782977834784587822891109762500302696156170 02504643382437764861028383126833037242926752631165339247316711121 15881863851331620384005222165791286675294654906811317159934323597 34949850904094762132229810172610705961164562990981629055520852479 03524060201727997471753427775927786256194320827505131218156285512 22480939471234145170223735805772786160086883829523045926478780178 89921990270776903895321968198615143780314997411069260886742962267 57560523172777520353613936210767389376455606060592165894667595519 00400555908950229530942312482355212212415444006470340565734797663 97239494994658457887303962309037503399385621024236902513868041457 79956981224457471780341731264532204163972321340444494873023154176 76893752103068737880344170093954409627955898678723209512426893557 30970450959568440175551988192180206405290551893494759260073485228 21010881946445442223188913192946896220023014437702699230078030852 61180754519288770502109684249362713592518760777884665836150238913

• Altın sayı, matematiksel hayal gücünün değil de, denge yasalarına ilişkin doğal prensibin bir ürünüdür. Kısaca biz Altın Oranı “göz nizamının oranı” diyebiliriz.

• Sanatçılar bunun farkında olarak tarih boyunca bu özelliği akıllıca kullanıp göze güzel görünen eserler meydana getirmişlerdir. Örneğin; Mona Lisa tablosunun boyunun enine oranı Altın Oranı verir.

Mimaride Altın Oran Türk mimarisi ve sanatı da altın orana ev sahipliği yapmıştır. Mesela Süleymaniye ve Selimiye Camileri'nin minarelerinde bu oran görülmektedir Eski Yunan mimarisinde de altın oran çok fazla kullanılmıştır.

Eski Mısırlılar inşa ettikleri piramitlerde de altın oran olduğu saptanmıştır. Piramitlerin tabanı ile yüksekliği arasındaki oran bize altın oranı verir. Ayrıca piramitlerin dizilimi yani bulunduğu bölgeye yerleşimi de bize altın spirali verir.

Altın spiral: Altın dikdörtgenin içinde şekildeki gibi çizilen spirale altın spiral denir Altın dikdörtgen: Altın oranı içeren ve uzun kenarı komşu kısa kenarla kare elde edilecek şekilde parçalandığında, kalan kısmında altın oran olan dikdörtgenler içeren dörtgendir. Altın dikdörtgen Altın Spiral

İnsan Vücudu ve Altın Oran • İnsan vücudunda altın orana verilebilecek ilk örnek; göbek ile ayak arasındaki mesafe 1 birim olarak kabul edildiğinde, insan boyunun 1, 618’denk gelmesidir.

Altın oran ve insanı incelemeden evvel resimlerdeki renklerle insanda altın oranın nasıl oluştuğunu anlayabilmek için, renklerin anlamını görelim. Mavi çizgi: Beyaz çizginin altın bölümü Sarı çizgi: Mavi çizginin altın bölümü Yeşil çizgi: Sarı çizginin altın bölümü Pembe çizgi: Sarı çizginin altın bölümüdür.

• İnsan parmaklarında görülen altın oran; Şekilde işaret parmağınızın her bölümü bir öncekinden 1, 618. . . kadar büyüktür ve üstteki cetvele dikkat ederseniz her bölüm 2, 3, 5, 8 e yani ardışık fibonacci sayılarına karşılık gelmektedir. Şekilde pembe, yeşil, sarı ve mavi çizgiler altın oranı gösterir.

• İnsan kolunda görülen altın oran; Şekilde görüldüğü üzere elimizin, dirseğimizle bileğimiz arasında kalan bölgeye oranı 1, 618 dir ( beyaz çizginin mavi çizgiye oranı )

• İnsan yüzünde görülen altın oran; Şekildeki resimde de gördüğünüz gibi kafa bir altın dikdörtgenin içinde. Kulaklar arasındaki mesafe, gözle üst dudak arasındaki, burnun altı ile çene arasındaki mesafe (resimde mavi çizgi ile gösterilmiş) hep altın oran içermektedir. Resmi incelerseniz daha başka altın oranlar da görebilirsiniz. Bunlarda sarı ve yeşil çizgilerle gösterilmiştir

• İnsan vücudunda gösterilen altın oran: Şekilde; mavi çizgi ( beyaz çizginin altın bölümü) , insanın başından ellerine kadar olan uzunluğunu, sarı çizgi (mavi çizginin altın bölümü), insanın başından dirseklerine olan uzunluğunu, yeşil çizgi( sarı çizginin altın bölümü), insanın başından omuzlarına kadar olan mesafeyi ve dirsek uzunluğunu, pembe çizgi (sarı çizginin altın bölümü) , insanın başından çene altına kadar olan mesafeyi ve karın genişliğini ifade etmektedir.

DNA’da Altın Oran • Canlıların tüm fiziksel özelliklerinin depolandığı molekülde altın orana dayandırılmış bir formda yazılmıştır.

Mikro Dünya’da Altın Oran • Geometrik şekiller sadece üçgen, kare, beşgen veya altıgen ile kısıtlı değildir. Bu saydığımız şekiller değişik şekillerde de bir araya gelerek yeni üç boyutlu geometrik şekiller oluşturabilirler. Bu konuda ilk olarak küp ve piramit örnek olarak verilebilir.

• Ancak bunların dışında, günlük hayatta hiç karşılaşmadığımız dodekahadron ve ikosahedron gibi üç boyutlu şekiller de vardır. • Dodekahadron 13 tane beşgenden, ikosahedron ise 20 adet üçgenden oluşur.

• Bilim adamları bu şekilleri matematiksel olarak birbirine dönüşebileceğini ve bu dönüşümün altın orana bağlı oranlarla gerçekleştiğini bulmuşlardır.

KAYNAKLAR • • www. matematikciler. com www. world-mysteries. com www. mimoza. marmara. edu. tr www. metu. edu. tr

HAZIRLAYANLAR 0301010014 – Ayşe UĞUR 0301010003 – Sinem DURAN