FFZS05 Kmity a vlnn http stein upce czmsfzs

FFZS-05 Kmity a vlnění http: //stein. upce. cz/msfzs 11. html http: //stein. upce. cz/lectcz/ffzsn_05. ppt Doc. Miloš Steinhart, UPCE 06 036, ext. 6029 19. 12. 2011 1

Hlavní body • Kmity • obecné, periodické, harmonické, tlumené a netlumené • Harmonické kmity • Pohybová rovnice a její řešení • Časové závislosti výchylky, rychlosti, zrychlení, potenciální, kinetické a celkové energie • Skládání kmitů, tlumené a nucené kmity • Úvod do vlnění – obecné a harmonické vlny • Popis, periodicita v čase a prostoru, přenos energie • Stojaté vlny, interference vln, Dopplerův jev 19. 12. 2011 2

Úvod do kmitů a vlnění I • K pohybům přímočarým a kruhovým, rovnoměrným a rovnoměrně zrychleným je nutné dále přibrat pohyby kmitavé neboli vibrační. • Jejich existence vyplývá z elastického charakteru sil, působících mezi částicemi. • V přírodě jsou značně rozšířeny. • Vibrační energie je důležitým druhem energie. 19. 12. 2011 3

Úvod do kmitů a vlnění II • Kmit je nejobecněji pohyb hmotného bodu, který je omezen v prostoru. • Vlna je jisté šíření vibračního pohybu prostorem. , které přenáší energii ale nepřenáší hmotu • Aby mohl hmotný bod kmitat musí v oblasti, kde se může vyskytovat, existovat: • rovnovážná poloha, v níž na bod nepůsobí žádné síly • návratové síly - snaží se o návrat do rovnovážné polohy • musí se jednat o stabilní rovnováhu 19. 12. 2011 4

Druhy kmitů I • Charakter kmitů (chování výchylky v čase) je určen: • konkrétní závislostí návratových sil na výchylce z rovnovážné polohy. Ty mají často charakter sil konzervativních a vyplývají z příslušného potenciálu. • možnou přítomností sil disipativních (ztrátových). • Důležitou podskupinou jsou kmity periodické, kde se určitá závislost výchylky pravidelně opakuje. • Jejich podmnožinou jsou kmity harmonické, u nichž lze výchylku vyjádřit jako goniometrickou nebo-li harmonickou funkci času. 19. 12. 2011 5

Druhy kmitů II • Skutečné periodické a tedy i harmonické kmity mohou existovat pouze nedochází-li při kmitání ke ztrátám mechanické energie. Potom se jedná o tzv. kmity netlumené. • Jsou-li přítomny ztrátové síly, mechanická energie se spotřebovává na jejich překonávání a pohyb se za čas zastaví. To je typické pro kmitání tlumené. 19. 12. 2011 6

Druhy kmitů III • Striktně vzato, každé reálné kmitání je tlumené. • Netlumené kmity ale přesto mají svůj význam protože : • tlumení může být zanedbatelně malé nebo • energie, o kterou kmitající systém přichází, může být vhodným způsobem doplňována. 19. 12. 2011 7

Druhy kmitů IV • Zabývat se harmonickými kmity má smysl neboť: • jejich existence sice vyžaduje speciální typ návratových sil. Takové se ovšem často vyskytují. • každý periodický pohyb lze vyjádřit jako Fourierovu řadu harmonických kmitů. • každý obecný kmit lze vyjádřit jako Fourierův integrál harmonických kmitů. • Součet i integrál jsou lineární operace mnoho vlastností harmonických funkcí platí obecněji. 19. 12. 2011 8

Netlumené harmonické kmity I • Uvažujme pro jednoduchost tuto situaci : • hmotný bod se může pohybovat na přímce, kterou ztotožníme například s osou x. • počátek zvolíme v rovnovážné poloze • Charakter kmitů je dán návratovou silou : • návratová síla je přímo úměrná výchylce 19. 12. 2011 9

Netlumené harmonické kmity II • Najděme práci potřebnou k dosažení výchylky x : • protože síla není konstantní, ale závisí na výchylce, musíme integrovat. • Tento vztah je symetrický: Pro docílení kladné i záporné výchylky musíme dodat kladnou práci. • Tomu odpovídá potenciálová jáma ve tvaru paraboly. 19. 12. 2011 10

Netlumené harmonické kmity III • požadovaná síla může existovat v libovolném poli, např. gravitačním nebo elektrostatickém, které má potenciál a potenciálovou jámu lze v rozsahu kmitů aproximovat parabolou • taková síla odpovídá Hookovskému chování. Jedná-li se o sílu způsobenou odezvou materiálu, je parametr úměrnosti k úměrný příslušnému Youngovu modulu a nazývá se například tuhost pružiny. 19. 12. 2011 11

Netlumené harmonické kmity IV • Dosadíme-li z 2. Newtonova zákona do vztahu pro sílu dostaneme pohybovou rovnici. Konkrétně diferenciální rovnici 2. řádu, která neobsahuje člen 1. řádu : • Vyzkoušíme řešení například ve tvaru : 19. 12. 2011 12

Netlumené harmonické kmity V • Vypočteme první a druhou derivaci podle času a dosadíme do původní rovnice : • Odtud vyjádříme : 19. 12. 2011 13

Netlumené harmonické kmity VI • Časovou závislost výchylky můžeme tedy popsat: • Úhlová frekvence popisuje analogicky jako u kruhového pohybu periodicitu. Kmit lze totiž chápat jako průmět rovnoměrného pohybu po kružnici na určitou přímku. Zavádíme tedy i zde frekvenci f a periodu T : 19. 12. 2011 14

Netlumené harmonické kmity VII • Protože výchylka vznikla dvojí integrací, obsahuje dvě integrační konstanty : • amplitudu x 0, která má význam největší možné výchylky a • fázi , pomocí níž lze popsat i kmity, které měly určitou počáteční výchylku v okamžiku, kdy se začal měřit čas. • jejich hodnoty se a tedy i přesné chování kmitu se určují z okrajových podmínek. 19. 12. 2011 15

Netlumené harmonické kmity VIII • Nyní vyšetříme časovou závislost výchylky, rychlosti a zrychlení : 19. 12. 2011 16

Netlumené harmonické kmity IX • Vidíme důležité vlastnosti : • Rychlost se předchází před výchylkou o čtvrtinu periody. Když je výchylka nulová, je rychlost maximální a má odpovídající směr. • Zrychlení je úměrné výchylce, ale je s ní v protifázi, neboli se předchází (nebo opožďuje) o polovinu periody To samozřejmě přesně odpovídá charakteru návratové síly, kterou předpokládáme. 19. 12. 2011 17

Netlumené harmonické kmity X • Vyšetříme časovou závislost energie, která zjevně musí mít dvě složky : • kinetickou, protože se hmotný bod pohybuje určitou časově proměnnou rychlostí a • potenciální, protože k posunutí hmotného bodu do místa s určitou výchylkou je třeba vykonat práci. Tu lze principu lze získat zpět, protože vzhledem k předpokladům netlumeného kmitu jsou ztráty energie zanedbatelné. Její velikost jsme již odvodili při zkoumání návratové síly. 19. 12. 2011 18

Netlumené harmonické kmity XI • Tedy : • V kinetické energii dosadíme za : 19. 12. 2011 19

Netlumené harmonické kmity XII • Pro celkovou energii tedy platí : • užitím identity 19. 12. 2011 dostáváme : 20

Netlumené harmonické kmity XIII • Vidíme důležité vlastnosti : • Kinetická energie je ve fázi s absolutní hodnotou rychlosti. Tedy nezávisí na jejím směru. • Potenciální energie je ve fázi s absolutní hodnotou výchylky. Tedy opět nezávisí na její orientaci. • Celková energie nezávisí na čase, ale jen na hmotnosti a čtverci úhlové frekvence a čtverci amplitudy a během kmitu se mění z potenciální na kinetickou a zpět. 19. 12. 2011 21

Netlumené harmonické kmity XIV • Celková energie kmitajícího systému je tedy dána počátečními podmínkami a zachovává se. • Na začátku například vychýlíme hmotný bod do určité polohy, což bude maximální výchylka. Tím vykonáme práci a dodáme systému počáteční celkovou energii. • Ta se potom v závislosti na čase rozkládá určitým způsobem na potenciální a kinetickou, ale součet zůstává roven energii, kterou jsme dodali na počátku. • Podobně můžeme dodat energii kinetickou nebo obě. 19. 12. 2011 22

Příklady – Fyzické kyvadlo I • Kyvadla jsou systémy kmitající zpravidla v gravitačním poli. • Výjimkou je ale například torzní kyvadlo • Fyzickým kyvadlem může být jakékoli tuhé těleso, které se může otáčet kolem pevné osy, vzdálené o jisté nenulové a od těžiště. • Takové kyvadlo je ve stabilní rovnováze, když je těžiště pod osou. 19. 12. 2011 23

Fyzické kyvadlo II • Úhlová frekvence kyvadla je : Zde G je tíha a J moment setrvačnosti. • V čitateli opět vystupují “elastické” vlastnosti, které dávají systém do pohybu a ve jmenovateli vlastnosti “setrvačné”, které kladou pohybu odpor. • Kyvadla se používají k odměřování času nebo k měření tíhového zrychlení. 19. 12. 2011 24

Matematické kyvadlo • Speciálním případem fyzického kyvadla je kyvadlo matematické. Jeho veškerá hmotnost m je soustředěna ve vzdálenosti l od osy otáčení např. na nehmotném vlákně. • Můžeme použít vztahy pro fyzické kyvadlo, do nichž dosadíme : a = l, G = mg, J = m l 2. • Pro úhlovou frekvenci resp. periodu T dostáváme : 19. 12. 2011 25

Skládání kmitů I • Působí-li několik různých návratových sil, může hmotný bod vykonávat několik kmitavých pohybů současně. • Obecně platí, že složený kmit je superpozicí jednotlivých kmitů a výchylka v určitém okamžiku je superpozicí jednotlivýchylek. • Často nás zajímá, za jakých podmínek bude výsledný kmit periodický či dokonce harmonický. 19. 12. 2011 26

Skládání kmitů II • I když jsou skládající se kmity harmonické je výsledný kmit obecně aperiodický. Speciálně: • Je-li jedna frekvence racionálním násobkem druhé, bude výsledný kmit periodický. • Jsou-li si výchozí frekvence rovny, je výsledný kmit dokonce harmonický. • Zde rozebereme několik speciálních případů skládání harmonických kmitů. 19. 12. 2011 27

Skládání kmitů v jedné přímce I • Jsou-li harmonické kmity stejné frekvence, mohou se lišit pouze amplitudou nebo fází. Jejich výsledný kmit : • má opět stejnou frekvenci jako každý z kmitů. • jeho výslednou amplitudu a fázi lze vypočítat jako součet dvojrozměrných vektorů nebo komplexních čísel. 19. 12. 2011 28

Skládání kmitů v jedné přímce II • Dokážeme tvrzení pro dva kmity. Důkaz lze potom snadno rozšířit pro více kmitů. • Předpokládejme dva kmity určené parametry x 10, 1 a x 20, 2. Platí : • cosiny rozložíme pomocí součtových vzorců, přeskupíme a opět složíme pomocí součtového vzorce : 19. 12. 2011 29

Skládání kmitů v jedné přímce III • 19. 12. 2011 30

Skládání kmitů v jedné přímce IV • Výsledný kmit má úhlovou frekvenci , stejnou jako skládané kmity, amplitudu x 120 a fázi . • Amplituda a fáze výsledného kmitu jsou určeny amplitudami a fázemi kmitů skládaných. • Každý kmit tedy musíme charakterizovat dvourozměrnou veličinou, která nese informaci o amplitudě a fázi, buď speciálním vektorem – fázorem nebo komplexním číslem. • Ilustrujme popis skládání kmitů pomocí fázorů : 19. 12. 2011 31

*Skládání kmitů v jedné přímce V • zobrazme kmit pomocí vektoru, jehož velikost je rovna amplitudě x 10 a úhel, který svírá s kladnou částí osy x úhel rovný fázi . • kdyby takový vektor rotoval s úhlovou rychlostí , byl by jeho průmět do osy x roven výchylce kmitu. • Vektor, popisující druhý kmit, má obecně jinou velikost i počáteční směr, ale rotuje se stejnou úhlovou rychlostí • Oba vektory jsou tedy vzájemně v klidu. Můžeme zavést souřadnou soustavu, rotující také s úhlovou rychlostí . Potom oba kmity i jejich výsledný kmit v této soustavě v klidu. 19. 12. 2011 32

Skládání kmitů v jedné přímce VI • V předchozím závěru vidíme, že první složka výsledného kmitu je tedy součet prvních složek kmitů skládaných : a podobně složka druhá : • To přesně odpovídá sčítání vektorů. 19. 12. 2011 33

Skládání kmitů v jedné přímce VII • Zajímavý případ nastává, když frekvence obou kmitů nejsou stejné, ale jsou blízké. Pro jednoduchost budeme předpokládat u obou stejnou amplitudu a nulovou fázi : 19. 12. 2011 34

Skládání kmitů v jedné přímce VIII • Výsledný kmit má : • frekvenci rovnou průměrné frekvenci obou kmitů, srovnatelnou s původními frekvencemi • a je modulován kmitem s frekvencí rovnou jejich rozdílu. To může být velmi nízká frekvence. V akustice se tomuto jevu říká zázněje nebo rázy. 19. 12. 2011 35

Skládání kmitů kolmých I • Výsledkem je kmit, který je superpozicí původních kmitů a obecně se odehrává v dvojrozměrném prostoru – rovině. • Mají-li oba kmity stejnou frekvenci, pohybuje se hmotný bod periodicky se stejnou frekvencí po elipse, která se v závislosti na počátečních podmínkách může zjednodušit na kružnici, či přímku. 19. 12. 2011 36

Skládání kmitů kolmých II • Mají-li oba kmity blízkou frekvenci, pohybuje se hmotný bod periodicky s průměrnou frekvencí obecně po elipse, jejíž velikost se mění s pomalejší periodou. • Dají-li se frekvence obou kmitů vyjádřit jako poměr celých čísel, hmotný bod se periodicky pohybuje po Lyssajousově křivce. 19. 12. 2011 37

Tlumené kmity I • U reálných kmitů obvykle dochází ke ztrátám energie a jsou tedy tlumené. • Vyšetříme jednoduchý případ, kdy brzdící síla závisí na (první mocnině) rychlosti, což je v souladu například se Stokesovým zákonem : 19. 12. 2011 38

Tlumené kmity II • Pohybová rovnice má v tomto případě tvar : • Jedná se o diferenciální rovnici druhého řádu, jako v případě netlumených kmitů, ale nyní obsahuje i člen řádu prvního. To • mírně komplikuje řešení, ale hlavně • jeho charakter silně závisí na počátečních podmínkách, hlavně míře tlumení 19. 12. 2011 39

*Tlumené kmity III • Rovnici přeskupíme a vydělíme m. Zavedeme konstantu tlumení 2 = b/m a použijeme úhlovou frekvenci netlumených kmitů 20=k/m : • Předpokládáme řešení ve tvaru: 19. 12. 2011 40

*Tlumené kmity IV • Po dosazení dostáváme charakteristickou kvadratickou rovnici pro : • Její řešení závisí na míře tlumení, která se projeví na diskriminantu : 19. 12. 2011 41

*Tlumené kmity V • Pro velké tlumení je diskriminant kladný a výsledkem je jeden přetlumený kmit, který nemusí ani dosáhnout rovnovážné polohy. • Situace pro nulový diskriminant se nazývá kritické tlumení a rovnovážné polohy je dosaženo, ale akorát není překročena. • zajímavým řešením je málo tlumený pohyb. 19. 12. 2011 42

*Tlumené kmity VI • Zavedeme novou úhlovou frekvenci : • A tedy : • Obecné řešení můžeme psát jako : 19. 12. 2011 43

*Tlumené kmity VII • Použijeme okrajových podmínek : • Takže konečně : 19. 12. 2011 44

Tlumené kmity VII • Pro málo tlumené kmity, kdy 0 , je : • Kde : • Výsledný kmit • je superpozicí harmonického kmitu s menší úhlovou frekvencí než měl kmit netlumený • a exponenciálně se snižující amplitudy. 19. 12. 2011 45

Tlumené kmity VIII • Bývá zvykem zavádět útlum jako poměr amplitud vzdálených jednu periodu : nebo jeho logaritmus, zvaný logaritmický dekrement : 19. 12. 2011 46

Nucené kmity I • Důležitá je situace, kdy na oscilátor s vlastní úhlovou frekvencí působí periodická síla s frekvencí . Pohybovou rovnici, předpokládámeli i tlumení, lze napsat : • Po vydělení m a úpravě: • Jedná se o nehomogenní diferenciální rovnici druhého řádu. 19. 12. 2011 47

Nucené kmity II • Řešení se skládá z tlumené části, která za určitou dobu zmizí a z části stabilní : • Pro amplitudu stabilní části platí : 19. 12. 2011 48

Nucené kmity III • Toto řešení má takzvaný rezonanční charakter, kdy je amplituda maximální pro blízké 0. • Rezonance : k nejefektivnějšímu přenosu energie do kmitajícího systému dochází, jeli budící frekvence rovna vlastní frekvenci. • Příkladem je třeba dětská houpačka. 19. 12. 2011 49

Vlny I • Prostředím složeným z hmotných bodů, z nichž každý může vykonávat kmity a mezi kterými jsou vazby, charakterizované například moduly E a G, se výchylka může šířit jako vlna – postupné kmitání v prostoru a čase. • Podle charakteru vazeb může být vlnění : • příčné, u něhož je výchylka kolmá ke směru šíření • podélné, kde je výchylka se směrem šíření rovnoběžná • superpozicí obojího 19. 12. 2011 50

Vlny II • Vlnění je typické tím, že se prostorem šíří energie nebo informace, ale nešíří se hmota. • Výchylka harmonické vlny, šířící se rychlostí c z počátku souřadné soustavy ve směru osy x v jistém místě x a čase t pozorování je : • výchylka má obecně podélnou a příčnou složku • znaménko “-” platí pro kladnou část osy x • v bodě x je tedy výchylka, která byla v počátku s. s. před dobou x/c = , za níž vlna do místa pozorování dospěla • Dále uvažujme již jen velikost výchylky. 19. 12. 2011 51

Vlny III • Výchylka každé vlny splňuje obecnou vlnovou rovnici neboli Laplaceovu : • splňují ji i obecnější vlny, ale my se budeme podrobněji zabývat jen vlnami harmonickými, které se šíří v prostředí harmonických oscilátorů 19. 12. 2011 52

Vlny IV • Harmonická vlna je periodická v čase i prostoru : kde = c. T je vlnová délka, čili dráha, kam vlna dospěje za jednu periodu. T tedy vyjadřuje periodicitu v čase a v prostoru. 19. 12. 2011 53

Vlny V • Z definice vlnové délky platí důležité vztahy: • Často, například ve spektroskopii, se používá vlnočet, což je počet vln na jednotku délky : Je zjevně prostorovou analogií frekvence. 19. 12. 2011 54

Vlny VI • Prostorovou analogií úhlové frekvence potom je vlnové číslo, jeho význam spočívá v možnosti kompaktního zápisu, který získáme po úpravě: • Význam vlnového čísla vystihuje lépe jeho druhý název úhlový vlnočet. 19. 12. 2011 55

Vlny VII • Dále platí : • V třírozměrném prostoru, lze šíření vlny popsat pomocí vlnového vektoru , kde je jednotkový vektor mající směr šíření a jehož velikostí je právě vlnové číslo. • Pro výchylku rovinné vlny v bodě platí : 19. 12. 2011 56

Rychlost šíření vln I • Mějme vlnu, která se šíří například v napjaté struně. • Maximální amplitudu si lze představit jako kopec, jehož vrchol se pohybuje rychlostí c. • Elementy délky struny se na něm pohybují po dráze, kterou lze aproximovat částí kružnice. • Aby toto bylo možné, musí složení tahů F (sil) sousedních elementů struny realizovat dostředivou sílu. 19. 12. 2011 57

Rychlost šíření vln II • Předpokládáme malý úhel, který nahradíme parametry kružnice a hmotnost vyjádříme pomocí hustoty na jednotku délky : Tedy : 19. 12. 2011 58

Rychlost šíření vln III • Podobně jako tomu bylo u kmitů je v čitateli síla, která souvisí s elastickými vlastnostmi prostředí a • ve jmenovateli lineární hustota, představující vlastnosti setrvačné. • Pro rychlost zvuku například platí : • Kde K je modul objemové pružnosti a součinitel objemové stlačitelnosti, zavedený dříve : 19. 12. 2011 59

Energie vln I • Vlnění je postupné kmitání jednotlivých oscilátorů podél jeho šíření. • Lze tedy očekávat, že se bude prostřednictvím vlny šířit energie kinetická i potenciální. • Přitom střední kinetická i střední potenciální energie bude polovina energie celkové. • Střední kinetická energie na jednotku délky je : 19. 12. 2011 60

Energie vln II • Tato energie se přenáší spolu s potenciální energií úsekem jednotkové délky rychlostí c, čili po derivaci podle času platí pro přenášený výkon : • Výkon obsahuje • parametry prostředí a c • vlastnosti vlny 2 a u 02 19. 12. 2011 61

Skládání vln I • Při skládání vln platí podobně jako při skládání kmitů princip superpozice. • Ten je obecně realizován vektorovým nebo podle okolností prostým součtem. • Jedná-li například o dvě příčná nebo podélná vlnění, šířící se v ose x, platí : 19. 12. 2011 62

Skládání vln II • Pro charakter složené vlny platí obdoba téhož, jako při skládání kmitů. • Obecně má vlna kromě amplitudy tři další parametry např. úhlovou frekvenci, vlnové číslo a fázi. Může kmitat totiž různě v čase a může mít i různou rychlost šíření a počáteční výchylku. Fázi zatím nebudeme uvažovat. 19. 12. 2011 63

Skládání vln III • V určitém prostředí předpokládáme, že rychlost šíření nezávisí na úhlové frekvenci. Tím se počet nezávislých parametrů vlny redukuje na dva, takže platí přesně totéž, co pro skládání kmitů. • V reálném prostředí rychlost šíření vln na úhlové frekvenci obecně závisí. Tento jev se nazývá disperze a je například v optice příčinou barevné vady čoček nebo rozkladu světla na optickém hranolu. 19. 12. 2011 64

Skládání vln IV • Šíří-li se harmonické vlny stejnou rychlostí, ale liší se amplitudou a úhlovou frekvencí, je výsledná vlna obecně aperiodická, ale může být i periodická, dokonce i harmonická. Závisí to na vzájemných vlastnostech úhlových frekvencí. 19. 12. 2011 65

Skládání vln V • K zajímavému efektu dochází, mají-li vlny úhlovou frekvenci stejnou: • V každém bodě se potom skládají kmity stejné frekvence • Výsledkem je opět kmit stejné frekvence a určité amplitudy a fáze • uvažujme pro jednoduchost vlny s jednotkovou amplitudou 19. 12. 2011 66

Skládání vln VI • výsledná vlna je modulována veličinou závislou na vzájemném fázovém posunu. • Zajímavé jsou dva extrémy • konstruktivní interference, kdy vznikne vlna o dvojnásobné amplitudě • destruktivní interference, kdy se vlny navzájem vyruší 19. 12. 2011 67

Stojaté vlnění I • Zvláštním případem je složení vlny se svým odrazem na překážce • Fázový posun zde zohledňuje skutečnosti, že • podle charakteru překážky se může změnit fáze • k odrazu může dojít v různých vzdálenostech 19. 12. 2011 68

Stojaté vlnění II • Za vhodných okolností je vlna stabilní a je prostorově modulována. Existují na ní : • kmitny – místa, kde je maximální rozkmit • uzly – místa, kde se vlny úplně vyruší • Například hudební nástroje zní na kmitočtech, při kterých vzniká konstruktivní interference vlny a jejího odrazu. Podmínce vyhovuje jistá základní frekvence a její násobky tzv. vyšší harmonické. Jejich relativní intenzita tvoří barvu zvuku. 19. 12. 2011 69

Skládání vln VII • Složením vln s násobnými frekvencemi je možné aproximovat libovolnou periodickou vlnu. • Na tomto principu je založena Fourierova analýza. 19. 12. 2011 70

Skládání vln VIII • Ukážeme si například složení kmitu pilového tvaru jako součtu : 19. 12. 2011 71

Dopplerův jev I • Pohybuje-li se zdroj vlnění, pozorovatel nebo prostředí, ve kterém se vlnění šíří, dochází ke změně pozorované frekvence. • Popišme pohyb : • zdroje vlnění rychlostí v • příjemce vlnění rychlostí u • prostředí šíření rychlostí w • rychlost šíření c je větší než u, v, w, ale menší než rychlost světla ve vakuu • všechny rychlosti ve směru osy +x jsou kladné 19. 12. 2011 72

Dopplerův jev II • Předpokládejme stojící zdroj v počátku a stojící prostředí (v = w = 0) a pozorovatel (napravo od počátku) se vzdaluje od zdroje rychlostí u > 0. • Jakou frekvenci (výšku tónu) vnímá pozorovatel závisí na počtu vln, které kolem něj projdou za jednotku času. • kdyby byl pozorovatel v klidu : 19. 12. 2011 73

Dopplerův jev III • Když se pozorovatel pohybuje, vlny kolem něj neprochází rychlostí c, ale relativní rychlostí c - u. S použitím předchozího platí : • Pro vzdalujícího se pozorovatele je tedy frekvence nižší, pro přibližujícího se by bylo u záporné a frekvence by byla vyšší. 19. 12. 2011 74

Dopplerův jev IV • Nyní jsou pozorovatel a prostředí v klidu. A zdroj se pohybuje rychlostí v od počátku k pozorovateli. • Během jedné periody T 0 vyšle zdroj jednu vlnu. • V momentě, kdy zdroj vysílá konec vlny, je vzdálen od bodu, odkud vysílal začátek o T 0 v. Začátek se ale dostal do vzdálenosti T 0 c. Takže vlna se zmačkla do prostoru T 0(c-v). Proto : • Pro vzdalující se zdroj je tedy v<0 a frekvence je nižší, pro přibližující se by byla frekvence opět vyšší. 19. 12. 2011 75

Dopplerův jev V • Pohybuje-li se jen prostředí, a to rovnoměrně, přičítá se jeho rychlost w k rychlosti šíření c a pozorovaná frekvence se nemění. • Jsou-li ale nenulové i pohyby pozorovatele nebo zdroje, musí se změněná rychlost šíření vzít v úvahu a lze tedy napsat souhrnný vztah pro všechny možné vzájemné pohyby : 19. 12. 2011 76

Dopplerův jev VI • Nevýhodou použité konvence je, že kladná rychlost u neznamená automaticky vzdalování. Pouze, je-li větší než v. • Pro správné posouzení, zda se jedná o přibližování nebo vzdalování, je nutné zkoumat rozdíl u - v. • Konvence je ale konzistentní s normálními znaménky rychlosti, ale hlavně vztahy vycházejí jednoznačně. • Zajímavá je nesymetrie vůči pohybu zdroje nebo pozorovatele. Ta ale není daná konvencí, ale je skutečná. Souvisí s tím, že jen v případě pohybu zdroje jsou vlny v prostoru deformovány. 19. 12. 2011 77

Dopplerův jev VII • Předpokládejme nulovou rychlost prostředí a rychlosti zdroje nebo pozorovatele zanedbatelné vůči rychlosti šíření. Potom : • tento vztah již symetrický je. • v – u je vzájemná rychlost, kladná přibližování • platí i pro elektromagnetické vlny (světlo) 19. 12. 2011 78

Rychlost zvuku I - struna • Mějme strunu dlouhou l = 1 m, vážící m = 4 g napnutou silou F = 10 N. • Jak rychle se v ní šíří zvuk a jakými frekvencemi bude znít? • Hustota na jednotku délky je μ = 4 10 -3 kg/m a rychlost šíření zvuku je tedy : • Frekvence zjistí z vlnové délky a rychlosti šíření : 19. 12. 2011 ^ 79

Rychlost zvuku II - struna • Vlnové délky jsou takové, při kterých dochází ke konstruktivní interferenci vln jdoucích oběma směry. • Této podmínce vyhovují ty vlny, které mají na obou koncích struny uzly. Odpovídající frekvence jsou celistvým násobkem jisté frekvence základní, tzv vyšší harmonické : 19. 12. 2011 ^ 80

Rychlost zvuku III - voda • Pomocí výbuchů v malých hloubkách pod mořskou hladinou byla zjištěna rychlost šíření zvuku c = 1. 43 103 m/s. • Jak je stlačena voda v největších hlubinách na Zemi? • Z hustoty mořské vody = 1. 03 103 kg m-3 a rychlosti zvuku v ní můžeme určit K modul její objemové pružnosti : 19. 12. 2011 81

Rychlost zvuku IV - voda • Součinitel objemové stlačitelnosti tedy je: • a relativní stlačení : • Relativní stlačení při atmosférickém tlaku 105 Pa tedy je 5 10 -5 a na dně Mariánského příkopu, při tlaku cca 108 Pa, je zhruba 5%. Voda tedy není dokonale nestlačitelná. Kdyby byla zvuk by se v ní šířil nekonečně rychle! 19. 12. 2011 ^ 82

Fyzické kyvadlo I Mějme fyzické kyvadlo, jehož těžiště je v rovnovážné poloze ve vzdálenosti a pod osou otáčení. Vychýlíme-li těžiště o malý úhel φ, objevuje se v důsledku gravitace moment síly, který se snaží vrátit těleso do rovnovážné polohy. Napišme pohybovou rovnici : 19. 12. 2011 83

Fyzické kyvadlo II Pro malé kmity lze předpokládat sin(φ) ≈ φ a řešením zjednodušené rovnice : jsou na harmonické kmity : jejichž úhlová frekvence tedy je : 19. 12. 2011 ^ 84

Matematické kyvadlo Po dosazení a = l, G = mg a J = ml 2 do vztahu pro fyzické kyvadlo dostáváme : a pro periodu : 19. 12. 2011 ^ 85

Časová a prostorová periodicita vlny Z periodicity funkce cos lze snadno ukázat, že v čase, před celistvým nebo po celistvém m násobku periody T, t 2 = t 1 + m. T, čili je výchylka stejná jako v čase t 1 : Podobně v místě x 2 = x 1 + nλ, čili místě vzdáleném o celistvý n násobek vlnové délky λ, je výchylka stejná jako v místě x 1 : 19. 12. 2011 ^ 86

Střední kinetická energie vlny I Kinetická energie kousíčku délky dx vlny závisí na rychlosti jeho kmitání. Je-li u výchylka, platí : Střední kinetickou energii na jednotku délky potom obdržíme integrací : 19. 12. 2011 ^ 87

Střední kinetická energie vlny II Integrál lze rozložit využitím součtového vzorce na dva jednoduší integrály, nichž druhý bude nulový : 19. 12. 2011 ^ 88

Střední kinetická energie vlny III Ukážeme, že druhý integrál je skutečně nulový : V předposledním kroku jsme dosadili za k=2π/λ a nakonec využili periodicitu funkce sin. 19. 12. 2011 ^ 89