FFZS02 Mechanika kinematika a dynamika hmotnho bodu http

FFZS-02 Mechanika – kinematika a dynamika hmotného bodu http: //stein. upce. cz/msfzs 13. html http: //stein. upce. cz/lectcz/ffzsnn_02. ppt Doc. Miloš Steinhart, UPCE 06 036, ext. 6029 15. 10. 2013 1

Hlavní body • Úvod do mechaniky, kinematika hmotného bodu • Pohyb přímočarý • rovnoměrně zrychlený. • Pohyb křivočarý. Pohyb po kružnici • rovnoměrný • rovnoměrně zrychlený • Pohyb v prostoru. Vrhy. • Základní dynamické veličiny. Newtonovy zákony. 15. 10. 2013 2

Úvod do mechaniky • Budeme se zabývat klasickou mechanikou. • Studované objekty jsou nadmolekulárních velikostí a • Pohybují se rychlostmi mnohem menšími než c. • Kinematika se zabývá pouze popisem pohybu a nepátrá po jeho příčinách. • Dynamika se zabývá pohybem včetně příčin a zachováním veličin. • Hmotný bod má nenulovou hmotnost a zanedbatelné geometrické rozměry. 15. 10. 2013 3

Kinematika I • Kinematika se přednáší zvláště proto, že zde lze na známých a snadno pochopitelných představách a veličinách ilustrovat postupy řešení problémů ve složitějších oblastech. Například: • Prvním krokem řešení problému je zjištění jeho skutečného rozměru a zavedení příslušných souřadnic. • Obdobný aparát jako je používán u rovnoměrného přímočarého pohybu, který lze popsat skalárně, lze aplikovat u popisu časového vývoje jiných veličin, např. koncentrace. 15. 10. 2013 4

Kinematika II • Poloha hmotného bodu je určena polohovým vektorem = (x 1, x 2, x 3). • Průměrná rychlost v = s/t = celková dráha/čas. Obecně se v průběhu času mění velikost i směr. • Okamžitá rychlost = d /dt. (vi = dxi/dt). Má směr tečný k dráze v daném okamžiku. • Zrychlení = d /dt = d 2 /dt 2. (ai = d 2 xi/dt 2). Je to “rychlosti”. Směr může být obecně různý, podle okolností. 15. 10. 2013 5

Kinematika III • Vzhledem ke směru rychlosti je účelné rozložit zrychlení na tečné a normálové: Budiž = =v , potom 15. 10. 2013 6

Kinematika IV • Zde je poloměr křivosti. Je-li = , je obecně a jedná se o pohyb přímočarý. • Je-li hmotný bod v určitém místě vychýlen z přímočaré trajektorie, musí zde existovat nenulové normálové zrychlení směřující do okamžitého středu křivosti – dostředivé zrychlení. • Čím menší je poloměr křivosti, tím ‘ostřejší’ je zatáčka a tím větší musí být normálové zrychlení. 15. 10. 2013 7

Pohyb přímočarý I • Zavádíme souřadnou soustavu tak, aby se jedna osa (např. x) ztotožňovala se směrem pohybu, potom vystačíme se skalární rychlostí v a se skalárním zrychlením a. Pozůstatkem vektorové povahy těchto veličin je jejich orientace. • Pohyb rovnoměrný přímočarý v = dx/dt => x(t) = x 0 + v t , kde x 0 ≡ x(t=0) je integrační konstanta - počáteční podmínky. 15. 10. 2013 8

Pohyb přímočarý II • Pohyb přímočarý rovnoměrně zrychlený. • a = dv/dt => v(t) = v 0 + a t , kde v 0 ≡ x(t=0) je druhá integrační konstanta • x(t) = x 0 + v 0 t + a t 2/2. Po druhé integraci přibyla další integrační konstanta. Počáteční podmínky jsou určeny dvěma nezávislými parametry x 0 a v 0. • Na počátečních podmínkách záleží, zda se jedná o pohyb zrychlený nebo o pohyb zpomalený! 15. 10. 2013 9

Pohyb přímočarý III • Závisí to na zrychlení a i na počáteční rychlosti v 0! • Je-li v 0 > 0 znamená a > 0 pohyb zrychlený a < 0 pohyb zpomalený • Ale je-li v 0 < 0 je tomu naopak (!) a > 0 pohyb zpomalený a < 0 pohyb zrychlený 15. 10. 2013 10

Pohyb křivočarý • Normálová složka zrychlení musí být obecně alespoň někde nenulová a poloměr křivosti se může měnit. • Speciální případ je pohyb po kružnici. Odehrává se v jedné rovině a poloměr křivosti je konstantní = r. 15. 10. 2013 11

Časová závislost nemechanických veličin • Jedním z důvodů, proč se vyučuje již celkem probádaná kinematika jsou analogie kinematických a nemechanických veličin. • Porozumění časových průběhů takových veličin je značně usnadněno díky tomu, že vzhledem ke každodenní zkušenosti je chápání mechanických veličin je relativně nejsnadnější. • Příkladem může být radioaktivní rozpad. 15. 10. 2013 12

Pohyb po kružnici I • Pohyb rovnoměrný • • je konstantní a zrychlení směřuje neustále do středu otáčení je to tedy zrychlení dostředivé. Při zjednodušeném skalárním popisu ztotožníme osu otáčení s jednou z os souřadné soustavy (z). Hmotný bod prochází pravidelně kruhovou dráhu s = 2 r rychlostí o konstantní velikostí v. Doba jedné otáčky nebo-li perioda je T [s]. Počet otáček za jednotku času f = 1/T se nazývá frekvence f [s-1 Hz]. 15. 10. 2013 13

Pohyb po kružnici II • Při popisu pohybů bodů v konstantní vzdálenosti od středu otáčení je výhodné požívat úhlové veličiny: • ds = r d • v = ds/dt = r d /dt = r • = 2 f = 2 / T • Takto se zavádí úhlová rychlost [s-1], která je v tomto případě konstantní. 15. 10. 2013 14

Pohyb po kružnici III • Po integraci: • (t) = 0 + t • s(t) = s 0 + r t • 0 nebo s 0 jsou integrační konstanty opět dané počátečními podmínkami. • Skutečná dráha a rychlost mohou záviset na čase: • s(t) = r (t) • v(t) = r (t) 15. 10. 2013 15

Pohyb po kružnici IV • Při rovnoměrném pohybu po kružnici : • Jsou průměty určitého bodu do kolmých os harmonické kmity. Tedy souřadnice hmotného bodu jsou : x(t)=cos (t) = cos( 0 + t) y(t)=sin (t) = sin( 0 + t) 0 se zde nazývá počáteční fáze • Dostředivé zrychlení má konstantní velikost: ad = v 2/r = 2 r = v 15. 10. 2013 16

Pohyb po kružnici V • Pohyb rovnoměrně zrychlený po kružnici. • Hmotný bod se pohybuje s konstantním tečným at nebo úhlovým zrychlením : • = d /dt • at = r • Po integraci • (t) = 0 + t • (t) = 0 + 0 t + t 2/2 15. 10. 2013 17

Pohyb po kružnici VI • Zda se jedná o pohyb rovnoměrně zrychlený nebo zpomalený, opět závisí na počátečních podmínkách, konkrétně počáteční úhlové rychlosti 0 , která určuje smysl počáteční rotace : • Je-li 0 > 0 a > 0 jde o pohyb zrychlený. Při < 0 jde o pohyb zpomalený. • Je-li 0 < 0 je tomu samozřejmě naopak. 15. 10. 2013 18

*Pohyb po kružnici VII • Protože rovina kruhové dráhy může mít různou polohu v prostoru, je nutné pro úplný popis pohybu použít vektorů • Orientovaný úhel má směr normály ke kružnici, orientované tak, že je úhel vidět jako kladný nebo-li pravotočivý(!). • Obdobně je definován i směr a orientace úhlové rychlosti a úhlového zrychlení. 15. 10. 2013 19

*Pohyb po kružnici VIII • Jedná-li se o pohyb rovnoměrně zrychlený je orientace vektorů stejná v případě pohybu zpomaleného je jejich orientace opačná. • Vektorové vyjádření rychlosti a zrychlení: 15. 10. 2013 20

Pohyb v prostoru • Při obecném pohybu v prostoru je nutné pracovat s vektory a operace se provádějí ve vhodných souřadnicích. • Zpravidla se daří problém zjednodušit, když využijeme symetrie a snížíme počet složek, ve kterých dochází ke změně. • Příkladem jsou vrhy v blízkosti povrchu Země, odehrávající se ve svislé rovině x, z. 15. 10. 2013 21

Vrhy • U všech vrhů předpokládáme: • Zrychlení působí svisle dolů a má velikost tíhového zrychlení. Je vhodné ztotožnit svislý směr s jednou osou, například : = (0, 0, -g) • pohyb začíná z bodu = ( x 0, y 0, z 0) • s počáteční rychlostí = (vx 0, vy 0, vz 0) • Z pedagogických důvodů se vrhy dělí podle počátečních podmínek na speciální případy. 15. 10. 2013 22

Vrh svislý I • Počáteční podmínky: • = (0, 0, -g) • = (x 0, y 0, z 0), zpravidla volíme x 0= y 0 = 0 • = (0, 0, vz 0) • Smysl má soustředit se jen na svislou osu z : • vz(t) = vz 0 – g t • z(t) = z 0 + vz 0 t – g t 2/2 15. 10. 2013 23

Vrh svislý II • Speciální případ je volný pád, je-li vz 0 = 0. • Častý případ je vrh vzhůru : vz 0 > 0, z 0 = 0. • Rychlost se zmenšuje , až dosáhne nuly v čase tm = vz 0/g v horní úvrati z(tm) = v 2 z 0/2 g • Potom těleso padá a rychlost je záporná. Na zem dopadne v čase tn, který je řešením rovnice z(tn) = tnvz 0 –gt 2 n /2 = 0 => tn = 2 vz 0/g = 2 tm. • Rychlost dopadu v(tn) = – vz 0. 15. 10. 2013 24

*Vrh vodorovný I • Počáteční podmínky ve vhodné s. soustavě: • = (0, 0, -g) • = (x 0, y 0, z 0), zpravidla volíme x 0= y 0 = 0 • = (vx 0, 0, 0) • Pohyb je nyní nutno popsat ve dvou osách. Ve směru svislém se jedná o volný pád: • vz(t) = – g t • z(t) = z 0 – gt 2 /2 15. 10. 2013 25

*Vrh vodorovný II • Ve směru vodorovném o pohyb rovnoměrný. Rychlost je konstantní protože zrychlení má nenulovou jen svislou složku: • vx(t) = vx 0 • x(t) = x 0 + vx 0 t • Pohyb (v obou osách) je zpravidla současně ukončen dopadem hmotného bodu na zem. 15. 10. 2013 26

*Vrh šikmý I • Souřadnou soustavu zachováme. Poč. podmínky: • = (0, 0, -g) • = (x 0, y 0, z 0), zpravidla volíme x 0= y 0 = 0 • = (vx 0, 0, vz 0) • Počáteční rychlosti jsou spolu vázány: • vx 0 = v 0 cos( ) • vz 0 = v 0 sin( ) • Těleso je tedy vrženo počáteční rychlostí v 0 pod elevačním úhlem s vodorovnou rovinou. 15. 10. 2013 27

*Vrh šikmý II • Pohyb je opět nutno popsat ve dvou osách. Ve svislé jde o svislý vrh: • vz(t) = vz 0 – g t = v 0 sin( ) – g t • z(t) = z 0 + v 0 sin( ) t – g t 2 /2 Ve vodorovné o rovnoměrný pohyb • vx(t) = vx 0 = v 0 cos( ) • x(t) = x 0 + v 0 cos( ) t 15. 10. 2013 28

*Vrh šikmý III • Pohyb je opět ukončen dopadem na zem. Kdy k němu dojde je dáno počátečními podmínkami. Například pohyb zem-zem z 0 = 0 , zk = 0 : • z(tk) = v 0 sin( ) t – g t 2 /2 = (v 0 sin( ) – g/2 t) t =0 • tk 1 = 0 … počátek pohybu • tk 2 = 2 v 0 sin( ) /g … konec pohybu Dolet ve vodorovné rovině : • x (tk 2) = x 0 + 2 v 20 sin( )cos( ) 15. 10. 2013 29

*Vrh šikmý IV Horní úvrať (maximum výšky) : vz(tm) = vz(t) = v 0 sin( ) – g tm = 0 • tm = v 0 sin( )/ g • Dochází k ní v čase poloviny celkového letu • xm(t) = x 0 + v 20 sin( )cos( ) • zm(t) = v 20 sin 2( )/2 g 15. 10. 2013 30

Úvod do dynamiky • Mechanika by byla neúplná, kdyby se nezabývala, důvody proč se tělesa dávají do pohybu, zrychlují, zpomalují nebo se zakřivuje jejich dráha. • Pohybují-li se tělesa s nenulovým zrychlením, musí na ně působit nenulová výslednice sil. • Dojít k tomuto jednoduchému závěru bylo obtížné, protože síly, jako například tření, nemusí být patrné a navíc některé tzv. dalekodosahové sily působí na dálku bez přímého kontaktu těles. 15. 10. 2013 31

Hybnost • Pohybový stav hmotného bodu lze popsat vektorem hybnosti definovaným jako: • Význam hybnosti spočívá ve skutečnosti, že se zachovává, když je výslednice sil působících na hmotný bod nulová a mění se, když nulová není. Taková situace může nastat v důsledku interakce s jinými hmotnými body nebo se silovými poli. 15. 10. 2013 32

Newtonovy zákony • Isaac Newton (1642 -1727) geniálně shrnul poznatky klasické dynamiky do tří zákonů: • Zákonu setrvačnosti • Zákonu síly • Zákonu akce a reakce • Upřesnění těchto zákonů je nutné až za hranicemi klasické mechaniky, při vysokých rychlostech a v mikrosvětě. 15. 10. 2013 33

Zákon setrvačnosti • Nepůsobí-li na hmotný bod síla, pohybuje se rovnoměrně přímočaře nebo je v klidu. • Přesněji: Je-li síla působící na hmotný bod nulová, je jeho hybnost konstantní. • Silou se zde a dále obecně rozumí výslednice všech působících sil. • V této formulaci jsou zahrnuty i speciální pohyby, kde se mění hmotnost, jako raketový. 15. 10. 2013 34

Zákon síly I • Síla působící na hmotný bod je rovna časové změně jeho hybnosti. • Za předpokladu, že hmotnost zůstává konstantní, platí formulace jednodušší : • Jednotkou síly je 1 newton : N = kg m s-2 15. 10. 2013 35

Zákon síly II • Předchozí vztahy jsou vektorové. Platí tedy i v příslušných složkách. Například: • Nenulová druhá složka síly je rovna změně druhé složky hybnosti v čase. • Je-li třetí složka síly nulová, je třetí složka hybnosti konstantní, atd. 15. 10. 2013 36

Zákon akce a reakce • Působí-li těleso 1 na těleso 2 silou působí i těleso 2 na těleso 1 silou • Obě síly jsou stejně velké, ale opačně , . orientované: . • Každá působí na jiné těleso a proto se tyto síly spolu nedají obecně složit. • Složit se dají jen když je mezi tělesy tzv. vazba, Tedy jsou spojena. Potom je účinek sil nulový. 15. 10. 2013 37

Časový účinek síly - impuls • Působí-li konstantní síla, dostáváme integrací 2. Newtonova zákona vztah : Změna hybnosti se rovná impulsu síly. • Je tedy důležité jak dlouho síla působí. • Vztah platí samozřejmě opět i ve složkách. 15. 10. 2013 38

Dráhový účinek síly – práce I • Pro jednoduchost předpokládejme konstantní sílu a hmotnost a pohyb v jednom rozměru (po jedné přímce = ose x). • V důsledku působení síly se stav hmotného bodu změní (t 1, x 1, v 1) -> (t 2, x 2, v 2). • Použijeme vztahu pro souřadnici v čase t : 15. 10. 2013 39

*Dráhový účinek síly - práce II • V čase t 2 tedy platí: • Nyní dosadíme za zrychlení a rozdíl časů : • a = F/m • (t 2 – t 1) = (v 2 – v 1)/a = (v 2 – v 1)m/F • Po úpravě : 15. 10. 2013 40

Dráhový účinek síly – práce III Tedy : A = F x = v 22 m/2 – v 21 m/2 = Ek A je práce, kterou vykoná síla F na dráze x mv 2 /2 = Ek je kinetická (pohybová) energie Obě veličiny mají rozměr energie a v SI jednotku 1 joule : J = Nm = kg m 2 s-2 • Obecně se musí uvažovat průmět síly do směru pohybu. Práce je tedy skalární součin : • • 15. 10. 2013 41

** Dráhový účinek síly I • Uvažujme opět jednorozměrný případ působení konstantní síly na kompaktní hmotný bod. V obecnějším případě bychom ztotožnili osu x se směrem posunu a uvažovali pouze složku síly do tohoto směru. • Použili jsme: • Lze ukázat: 15. 10. 2013 42

Výkon působící síly • Často je důležité, za jakou dobu došlo k vykonání určité práce. To charakterizujeme výkonem, který chápeme jako rychlost konání práce a definujeme analogicky jako ‘klasickou’ rychlost : • Průměrný výkon : <P> = A/ t • Okamžitý výkon : P = d. A/dt • Jednotkou výkonu v SI je 1 watt W = Js-1 15. 10. 2013 43

Skalární součin Ať Definice I (ve složkách) Definice II Skalární součin je součin velikosti jednoho vektoru krát průmět velikosti vektoru druhého 15. do 10. 2013 44 jeho směru. ^

Dostředivé zrychlení při rovnoměrném pohybu po kružnici Průvodič určitého bodu oběhne za jednu periodu T kružnici o poloměru r. Když umístíme všech vektorů rychlosti do jednoho bodu, oběhnou koncové body kružnici o poloměru v. Můžeme tedy uvažovat jednoduchou analogii: 15. 10. 2013 ^ 45