Felkszt matematikbl a XII osztly szmra 1 Polinomok

Felkészítő matematikából a XII. osztály számára 1. Polinomok: - algebrai alakja; - két polinom egyenlősége; - behelyettesítési értéke; - összeadása és kivonása; - szorzása és osztása; 2. Feladatok 3. Összegzés 4. Házi feladat Polinomok/1

Felkészítő matematikából a XII. osztály számára Polinomok algebrai alakja Értelmezés Az alakú kifejezést az f polinom algebrai alakjának nevezzük, ahol. Elnevezések: • számok az f polinom együtthatói; • szabadtag; • főegyüttható; • X egy matematikai objektum, melyet határozatlannak nevezünk. Polinom algebrai alakja/2

Felkészítő matematikából a XII. osztály számára Példák: 1. 2. Példák/3

Felkészítő matematikából a XII. osztály számára Polinomok halmaza/4

Felkészítő matematikából a XII. osztály számára Polinom fokszáma Polinomok fokszáma/5

Feladat Tárgyald az polinom fokszámát az m valós paraméter függvényében! Megoldás: Feladat/6

Felkészítő matematikából a XII. osztály számára Sajátos polinomok Elnevezések 1. Az alakú polinomot elsőfokú polinomnak nevezzük. 2. Az alakú polinom neve: állandó (konstans) polinom. 3. Az polinomot zéruspolinomnak (nullpolinom) nevezzük. Sajátos polinomok/7

Feladat Határozzuk meg az m, n és p valós paramétereket úgy, hogy nullpolinom legyen! Megoldás: Az f nullpolinom vagy zéruspolinom, ha minden együtthatója nulla. Feladat/8

Felkészítő matematikából a XII. osztály számára Két polinom egyenlősége Értelmezés Az és polinom egyenlő egymással, ha Két polinom egyenlősége/9

Felkészítő matematikából a XII. osztály számára Feladat Határozzuk meg az m, n és p valós paramétereket úgy, hogy polinom egyenlő legyen a polinommal! Megoldás: Az f polinom algebrai alakja Feladat/ 10

Felkészítő matematikából a XII. osztály számára Polinom helyettesítési értéke Értelmezés Ha az , polinomban az X-et egy x számmal helyettesítjük, a kapott számot az f polinom x pontban vett helyettesítési értékének nevezzük. Példa: Az polinom számértéke a 2 pontban: . Polinom helyettesítési értéke/11

Felkészítő matematikából a XII. osztály számára Polinom gyöke Értelmezés Egy olyan számot gyökének nevezzük. , amelyre Példa: Az 1 egész szám gyöke az polinomnak, mivel , az f polinom . Polinom gyöke/12

Felkészítő matematikából a XII. osztály számára Feladat: Határozzuk meg az m valós számot úgy, hogy az polinom együtthatóinak összege legyen! Megoldás: Egy f polinom együtthatóinak összege az helyettesítési értékkel egyenlő. Tehát kiszámítjuk az , mivel a polinom együtthatónak összege felírhatjuk, hogy , ahonnan kapjuk, hogy m = 3. Feladat/13

Felkészítő matematikából a XII. osztály számára Polinom összeadása és kivonása Értelmezés Adottak az A két polinom és polinomok. összege, értelmezés szerint: , ahol Polinomok összeadása és kivonása/14

Polinom összeadása és kivonása Értelmezés Két , polinom különbsége: Polinomok összeadása és kivonása/15 .

Felkészítő matematikából a XII. osztály számára Polinom összeadása és kivonása Példa: és. Polinomok összeadása és kivonása/16

Felkészítő matematikából a XII. osztály számára Polinom szorzása Értelmezés Adottak az és polinomok. A két polinom szorzata értelmezés szerint: Polinomok szorzása/17

Felkészítő matematikából a XII. osztály számára Polinomok szorzása Példa: 1. 2. Polinomok szorzása/18

Felkészítő matematikából a XII. osztály számára Polinom osztása Polinom maradékos osztásának tétele Ha két polinom, akkor léteznek olyan polinomok, amelyre , ahol. A h és r polinomok egyértelműen meg vannak határozva. Elnevezések: f - osztandó, g - osztó, h - hányados, r - maradék. Polinomok osztása/19

Felkészítő matematikából a XII. osztály számára Megoldott feladat: Határozzuk meg az polinomnak a polinommal való osztási hányadosát és maradékát. Feladat/20

Felkészítő matematikából a XII. osztály számára Feladat/21

Felkészítő matematikából a XII. osztály számára Összegzés: A mai óra után: - fel tudom írni egy polinom algebrai alakját; - tudom, hogy mikor egyenlő két polinom; - felismerem a sajátos polinomokat; - meg tudom határozni egy polinom fokszámát; - ki tudom számítani két polinom összegét, különbségét és szorzatát; - meg tudom határozni két polinom osztási hányadosát és maradékát. Összegzés/22

Házi feladat 1. Határozd meg az m, n és p valós paramétereket úgy, hogy az polinom egyenlő legyen a polinommal! 2. Írd fel algebrai alakban az alábbi polinomokat: a) ; b) ! 3. Számítsd ki az polinom számértékét az alábbi pontokban: a) 1 ; b) 2 ; c) ! 4. Határozd meg az m, n és p valós paramétereket úgy, hogy az , állandó polinom legyen! 5. Határozd meg az m valós paramétert úgy, hogy az 6. Számítsd ki az és polinom gyökeinek összege 31 legyen! polinomokat tudva, hogy: ! Házi feladat/23

Házi feladat 7. Számítsd ki az polinomokat tudva, hogy: ! 8. Határozd meg az polinomnak a polinommal való osztási hányadosát és maradékát! 9. Az g polinommal való osztási hányados , és maradéka. Melyik ez a g polinom? 10. Adottak az polinomok. a) Határozd meg az értékét úgy, hogy a két polinom egyenlő legyen! b) Számítsd ki az !. Házi feladat/24

Köszönöm a figyelmet! Mátéfi István a marosvásárhelyi Bolyai Farkas Elméleti Líceum matematika tanára