Felkszt matematikbl a XII osztly szmra 1 Polinomok

Felkészítő matematikából a XII. osztály számára 1. Polinomok: - érettségi típusfeladat; - osztása X-a alakú binommal; - a Horner-séma; - oszthatósága; - Bézout tétele. 2. Feladatok 3. Összegzés 4. Házi feladat Polinomok/Érettségi feladat/1

Felkészítő matematikából a XII. osztály számára Érettségi feladat: Adottak az és polinomok. a) Határozzuk meg az f polinom szabadtagját. b) Igazoljuk, hogy az f polinom együtthatóinak összege egy négyzetszám. c) Határozzuk meg az f polinomnak a g polinommal való osztási maradékát. Érettségi feladat/2

Felkészítő matematikából a XII. osztály számára Érettségi feladat: Adottak az és polinomok. a) Határozzuk meg az f polinom szabadtagját. Megoldás: Az polinom algebrai alakja Kiszámítva az értéket megkapjuk az polinom szabadtagját. Tehát a szabadtag. Érettségi feladat/3

Felkészítő matematikából a XII. osztály számára Érettségi feladat: Adottak az és polinomok. b) Igazoljuk, hogy az f polinom együtthatóinak összege egy négyzetszám. Megoldás: Felhasználjuk az f polinom algebrai alakját , kiszámítjuk értékét és megkapjuk az polinom együtthatóinak összegét. Alkalmazva a gondolatmenetet kapjuk, hogy: Érettségi feladat/4

Felkészítő matematikából a XII. osztály számára Adatok: Ismeretlen: a maradék. , . Megoldás: A maradékos osztás tételéből kapjuk, hogy: Mivel legyen. Fentiek alapján A két polinom egyenlőségéből Felírhatjuk az egyenletrendszert: , . . Érettségi feladat/Polinom osztása X-a-val/5

Felkészítő matematikából a XII. osztály számára Polinomok osztása alakú binommal Tétel Bármely , polinomnak az osztási maradéka. elsőfokú polinommal való Példa: Az polinomnak az binommal való osztási maradéka: , tehát. Polinom osztása X-a-val /Horner –séma/6

Felkészítő matematikából a XII. osztály számára A Horner-séma Egy polinom -val való osztásakor legtöbbször nem csak a maradékra, hanem a hányadosra is szükségünk van. A h hányados meghatározására szolgál a Horner-séma: Példa: Határozzuk meg az polinomnak az maradékát! binommal való osztási hányadosát és Horner-séma/Feladat/7

Felkészítő matematikából a XII. osztály számára Megoldás: Az osztási hányados , tehát és a maradék Horner-séma/Oszthatóság/8 .

Felkészítő matematikából a XII. osztály számára Polinomok oszthatósága Értelmezés Adottak , nullától különböző polinomok. A g osztja az f polinomot, ha létezik olyan , amelyre. Megjegyzés: Használjuk még az , , f osztható g-vel”. Jelölések: , olvasd: g osztja az f polinomot; , olvasd: f osztható a g polinommal. Megjegyzés: Az az f-nek a g-vel való osztási maradéka 0. Oszthatóság/Feladat/9

Felkészítő matematikából a XII. osztály számára Feladat Határozzuk meg az m valós paraméter értékét úgy, hogy polinom osztható legyen a polinommal. Megoldás: Az az f-nek a g-vel való osztási maradéka 0. . Feladat/Bézout-tétele/10

Felkészítő matematikából a XII. osztály számára Bézout tétele Tétel Az , polinomnak az szám akkor és csak akkor gyöke az f polinomnak, ha az f polinom osztható - val. Bézout-tétele/Feladat/11

Felkészítő matematikából a XII. osztály számára Feladat A Bézout tételét alkalmazva határozzuk meg az m és n valós paraméterek értékét úgy, hogy az polinom osztható legyen a polinommal. Megoldás: A g polinom felírható A Bézout tétele szerint Ahonnan kapjuk, hogy: alakban. . . Feladat/12

Felkészítő matematikából a XII. osztály számára Feladat: Határozzátok meg az a és b komplex paraméterek értéket úgy, hogy az polinom osztható legyen a polinommal. Feladat/13

Felkészítő matematikából a XII. osztály számára 1. módszer – a közvetlen osztás módszere: Az az f-nek a g-vel való osztási maradéka 0. . Feladat/14

2. módszer – a határozatlan együtthatók módszere: Feladat/15

Felkészítő matematikából a XII. osztály számára Feladat: Igazoljuk, hogy az polinom osztható a polinommal. Megoldás: Mivel Kiszámítjuk: . Hasonlóan Feladat/Összegzés/16

Felkészítő matematikából a XII. osztály számára Összegzés: A mai óra után: - megtudom határozni az osztási maradékot az osztás elvégzése nélkül; - tudok osztani binommal; - felismerem, hogy két polinom mikor osztható egymással; - meg tudom határozni a polinom együtthatóit adott feltételekből kiindulva; - képes vagyok igazolni a polinomok oszthatóságát különböző esetekben; Összegzés/Házi feladat/17

Felkészítő matematikából a XII. osztály számára Házi feladat 1. Határozd meg polinomnak az polinommal való osztási maradékát! 2. Számítsd ki az polinomnak polinommal való osztási maradékát! 3. Határozd meg az m komplex paramétert úgy, hogy az polinom -vel való osztási maradék 15 legyen! 4. Határozzuk meg az m valós paramétert úgy, hogy az polinom osztható legyen -gyel! 5. Határozzuk meg az a, b és c valós paraméterek értékét úgy, hogy az polinom osztható legyen az polinommal! 6. Igazold, hogy az polinom osztható a polinommal! Házi feladat/18

Köszönöm a figyelmet! Mátéfi István a marosvásárhelyi Bolyai Farkas Elméleti Líceum matematika tanára