Faculdade de Cincias da Universidade de Lisboa Departamento

Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa Departamento de Educação Mestrado em Educação Área de Especialização: Didáctica da Matemática Fundamentos de Didáctica da Matemática Estudo de Caso – Educação Matemática Realista 1. Grupo de investigação 2. ‘Realistic Mathematics Education’ 3. Exemplos da investigação 4. ‘Developmental Research’ 5. Bibliografia Ana Henriques, Ana Matos, Neusa Branco e Paula Costa 04/01/2005

1. Grupo de Investigação • A Holanda ‘resiste’ ao movimento da Matemática Moderna • Em 1970, o Instituto para o Desenvolvimento da Educação Matemática (IOWO), sob a direcção de Freudenthal, resulta da atitude crítica para com este movimento Freudenthal (1905 – 1990)

Grupo de Investigação • Foco: – Desenvolvimento Educacional com base nas práticas educacionais • Abordagem inovadora em vários campos: – Desenvolvimento curricular – Formação de professores – Investigação educacional – Feedback das escolas – Desenho e discussão de exemplos inspiradores (protótipos) • Em 1981, O IOWO é sucedido pelo grupo de investigação para a educação matemática e centro de computação educacional (OW&OC) • Em 1991, o seu nome é alterado para Instituto Freudenthal

Grupo de Investigação Staff FI – Executive Comitee • teaching methodology mathematics • language oriented mathematics education • research and curriculum development • longitudinal teaching-learning trajectories for mathematics • research and curriculum development • assessment • numeracy • ICT and didactics • digital learning environments • algebra • professional development of teachers • quality care • primary and secondary education • primary education, middle school, university • middle and high school

Grupo de Investigação Koeno Gravemeijer • Doutorado em educação matemática • Membro do Instituto Freudenthal desde 1986 • Coordenador de investigação e professor catedrático na Universidade de Utrecht • Autor de livros escolares para o ensino primário holandês • 1998 - 2001 - Trabalhou no Instituto Freudenthal e a tempo parcial como ‘Research Associate Professor’ na Univ. de Vanderbilt (USA) • Actividades • Publicações • Interesses de investigação (colaborativa – Cobb e Yackel) - “Developing realistic - Realistic mathematics educ. - Developmental work - Developmental research mathematics education” - Developmental research é um dos seus livros - Papel dos símbolos e - Evaluation research mais recentes. (…) modelos na ed. matemática

Projectos de investigação em curso Coordenador – Domain Specific Skills – Investigations with the computer – Mathematics and ICT – Students' contribution in realistic mathematics education – Mathematics and Information and Communication Technology – Mathematics education in vocational training – Middle School Design Collaborative – Science and mathematics teaching in upper secondary education (…) Grupo de Investigação Investigador – Algebra in context, learning and assessment – Information technology in secondary vocational education – Calculus and kinematics – Learning algebra using CAS – Minorities in realistic mathematics education – Integration of mathematics, biology and science – Jumping ahead: an innovative training programme up to 100 – Cooperation in a multi ethnic class – Reinvention of calculus and mechanics (…)

Grupo de Investigação Algumas questões de investigação do grupo • Como ‘desenhar’ actividades de ensino que façam a ligação com o conhecimento informal situado dos alunos e lhes permitam desenvolver um conhecimento mais formal, sofisticado e abstracto de acordo com os princípios básicos da autonomia intelectual? • Como se pode levar os alunos a reinventar o queremos que eles reinventem? [Como deve ser conduzido o processo de aprendizagem? ]

2. ‘Realistic Mathematics Education’ - RME Matemática como actividade humana (Freudenthal, 1971) Actividade matemática - Resolução de problemas - Procura de problemas - Organização de situações de acordo com padrões matemáticos (puramente matemáticas ou da realidade) Matematização – processo de “tornar mais matemático” - Generality (procura de analogias, classificação e estruturação) - Certainty (reflexão, justificação e prova) - Exactness (modelação, simbolização, definição) - Brevity (simbolização e esquematização)

‘Realistic Mathematics Education’ Importância da Matematização - É uma actividade principal dos matemáticos - Familiariza os alunos com a abordagem matemática que pode ser usada nas situações do dia-a-dia - Possibilita o processo de reinvenção matemática (os alunos experienciam um processo semelhante ao desenvolvido pelos matemáticos) Treffers (1978, 1987) explicita a ideia de dois tipos de matematização: - Matematização horizontal – Os alunos utilizam recursos que lhes permitem organizar e resolver um problema existente numa situação da vida real - Matematização vertical – Processo de reorganização, dentro do sistema matemático em si. Por exemplo, encontrar conexões entre conceitos, estratégias de resolução e aplicar essas descobertas

‘Realistic Mathematics Education’ Princípios que caracterizam a RME: - Actividade – Os alunos devem ser confrontados com situações problemáticas e participar activamente na sua resolução, porque a melhor maneira de aprender é fazendo (Freudenthal) - Realidade – Os alunos devem começar por analisar contextos ricos que possam ser matematizados, em vez de começarem por abstracções e definições. Um dos objectivos é o de que os alunos sejam preparados para usar a Matemática na resolução de problemas - Nível – Aprender Matemática implica que os alunos passem por diferentes níveis de entendimento. A reflexão sobre as actividades desenvolvidas pode permitir essa passagem ao nível seguinte

‘Realistic Mathematics Education’ - Inter-relação – A Matemática é tida como uma disciplina que não está dividida em capítulos estanques, uma vez que para resolver problemas em contextos ricos, vários conhecimentos e ferramentas matemáticas podem ser necessários - Interacção – A Matemática é entendida como uma actividade social. A escola deve proporcionar aos alunos a oportunidade de partilhar as suas estratégias e descobertas com outros. No entanto, as crianças continuam a ser consideradas como indivíduos, e deve ser feita a adaptação a cada um (proposta de problemas solúveis a diferentes níveis) - Orientação – Deve ser dada aos estudantes a oportunidade de ‘re- inventar’ a Matemática. Professores e programas educacionais têm um papel crucial na forma como os alunos apropriam conhecimentos, porque proporcionam cenários com potencial para os alunos trabalharem e atingirem os novos objectivos

Exemplos da investigação 3. Exemplos da investigação “Um livro tem 64 páginas das quais já li 37. Quantas páginas me faltam ler? ” A investigação foi realizada, utilizando esta tarefa, com 44 estudantes holandeses que se encontravam no final do 3º ano. (dados recolhidos por Vuurmans, 1991)

Exemplos da investigação • Os dados recolhidos mostram uma grande variedade de estratégias de resolução, que se podem categorizar como: – Sequência – adicionando por passos ou subtraindo por passos – Divisão – dividindo as unidades e as dezenas e combinando os resultados no final – Competência de cálculo – usando as características dos números envolvidos – Algoritmo (coluna) – execução mental do algoritmo em coluna • O primeiro método é o mais popular e o mais efectivo • Os ‘bons’ resultados neste problema de cálculo são alcançados por. este método Contudo, este método não é ensinado nas escolas – é uma estratégia que os próprios jovens ‘inventam’, isto é, uma estratégia informal

Exemplos da investigação Muitos alunos resolvem o problema fazendo: 37 + 10 = 47 47 + 10 = 57 57 + 3 = 60 60 + 4 = 64 Faltam ler 27 páginas. A operação é feita por partes, numa sequência de adições, o que os investigadores associam a movimentações numa linha numérica Este facto sugere que pode fazer sentido levar os alunos a simbolizar a sua resolução através de saltos numa linha numérica

Exemplos da investigação Treffers (1990) propõe uma corrente de contas e uma linha numérica vazia: 100 contas em duas cores contrastantes Exemplo 1: 37 + 10 = 47 47 + 10 = 57 57 + 3 = 60 60 + 4 = 64 Faltam ler 27 páginas.

Exemplos da investigação Exemplo 2: 65 - 38 Tirando 38 de 65

Exemplos da investigação Exemplo 2: 65 - 38 Comparando 65 e 38 e estabelecendo a diferença Treffers defende que a linha numérica vazia pode ser uma boa ferramenta didáctica para a adição e subtracção de números menores que 100

Exemplos da investigação • Tendo em conta a ideia de usar a linha numérica vazia como modelo, a Developmental Research é necessária para: – Perceber como uma tarefa pode ser construída de modo a explorar esta ideia – Verificar se a ideia realmente funciona • As respostas às duas questões anteriores constitui a justificação da ideia inicial, agora elaborada numa teoria local, de como utilizar a linha numérica vazia como um modelo de aprendizagem da adição e da subtracção de números com dois dígitos

Exemplos da investigação A justificação para a ideia de usar a linha numérica vazia está relacionada com a resposta às questões seguintes: 1. Porque houve a necessidade de desenvolver algo novo? Que problema era necessário resolver? 2. Por que motivos foi escolhida a linha numérica vazia? 3. Como, exactamente, foi elaborada a abordagem da linha numérica vazia e porquê desta forma particular? 4. Até que ponto existe confirmação experimental das expectativas?

1. Que problema é necessário resolver? Exemplos da investigação Verificaram-se alguns problemas em relação à aritmética de números com dois dígitos: – A frequente utilização meramente instrumental dos manipuláveis da base 10 (Dienes blocks) – O uso corrente de procedimentos incorrectos, especialmente na execução do algoritmo standard da subtracção 2. Porquê a linha numérica vazia? – A representação linear é apropriada para a contagem de números (tem a ver com a noção de distância) – Favorece o surgimento de processos de solução informais – O novo modelo dá liberdade aos alunos para desenvolverem os seus próprios procedimentos de solução e proporciona-lhes o desenvolvimento de estratégias cada vez mais sofisticadas

Exemplos da investigação 3. Como foi construída esta abordagem? • A linha numérica surgiu em situações de medida, e por isso, associada a uma régua rígida com distâncias dadas previamente. No entanto, nem todas as experiências efectuadas foram bem sucedidas • Foi necessário encontrar uma outra forma de introduzir a linha numérica • Treffers propôs o uso inicial de uma corrente de contas estruturada. Os números são representados colocando uma marca junto à última contada 28

Exemplos da investigação 3. Como foi construída esta abordagem? (continuação) • A forma como a corrente de contas está estruturada ajuda os alunos a encontrar o número dado. As dezenas servem como ponto de referência de duas maneiras: – Existem 6 dezenas em 64 – Existem quase 7 dezenas em 69 • Depois deste trabalho, a linha numérica vazia pode ser introduzida como um modelo para a corrente de contas e as acções na mesma: – Os alunos marcam apenas os números essenciais em cada situação – Os alunos escolhem o local onde querem marcar esses números

Exemplos da investigação 4. Existe confirmação experimental das expectativas? Estudos experimentais realizados com alunos tomados individualmente e posteriormente por estudos empíricos realizados nos Estados Unidos da América: Resultados encorajadores: • Os alunos eram capazes de trabalhar bastante bem com a linha numérica vazia e desenvolviam uma larga variedade de procedimentos de solução, o que mostra que o que faziam tinha sentido para eles (Treffers & De Moor, 1990) • A linha numérica vazia realmente funciona como um modelo flexível que estimula uma aritmética flexível

Exemplos da investigação Foram notados, no entanto, alguns problemas na subtracção. Problema 1 • Quando eram dados dois números e pedida a diferença tudo correu bem • Os problemas apareceram foram pedidas descontextualizadas, como por exemplo, 63 – 49 subtracções – Muitos alunos colocaram o 63 no início da linha o que lhes tornou difícil retirar 46 – Este problema foi facilmente superado

Exemplos da investigação Problema 2 • Outros alunos colocaram ambos os números na linha e não souberam o que fazer a seguir, o que constituiu um problema mais difícil de resolver Os investigadores concluíram que: Ø A introdução de subtracções descontextualizadas deveria ser feita apenas após a introdução de problemas contextualizados, em que a situação pudesse ser representada na linha de uma forma mais natural

Exemplos da investigação Exemplo: O Jim fez um passeio de Franklin para Madisson. A distância de Franklin a Madisson é de 86 milhas. No regresso, ficou sem gasolina depois de percorrer 78 milhas. Qual a distância até Franklin, naquele momento? Representação mais natural da situação: - Contar de 86 para trás. Processo mais eficiente de resolução: - Comparar 78 e 86. Ø Só numa fase final deverá surgir o distanciamento da situação e o uso generalizado da linha numérica vazia

Conclusões retiradas desta investigação: Exemplos da investigação • As actividades com a corrente de contas destinam-se a criar situações que possam ser modeladas pela linha numérica vazia. Devem ser também introduzidos problemas contextualizados que possam ser modelados de forma semelhante • Depois a linha numérica vazia pode funcionar como um esquema de notação formal para a adição e subtracção • A linha numérica funciona primeiro como um modelo de situações reais e depois para cálculos abstractos [Ou seja, o papel da linha numérica mudou de “modelo de” para “modelo para”, através dos processos de generalização e formalização] • Enquanto o algoritmo em coluna prescreve a forma como os alunos devem pensar, a notação na linha numérica é flexível e acompanha a maneira como os alunos pensam

“ 4. ‘Developmental Research’ • Método de investigação que surgiu como uma resposta à necessidade de desenvolver um novo tipo de educação matemática. O seu objectivo é constituir uma teoria para a ‘realistic mathematics education’ que seja coerente com os seus princípios • É vista como uma forma de investigação de base para o trabalho dos profissionais em desenvolvimento curricular • Consiste numa mistura de desenvolvimento curricular e investigação educacional, em que o desenvolvimento de actividades de ensino é usado como um meio para elaborar e testar uma teoria de instrução

‘Developmental research’ “ “ • Tem sido o método de investigação que tem estado no coração do processo de inovação na Holanda desde os anos 70 • Faz uma integração de desenvolvimento e investigação que pode ser descrita também como desenvolvimento pela investigação e investigação pelo desenvolvimento Filosofia da Developmental Research - Prática Developmental Research - Metodologia

O processo – ‘desenho preliminar’ de um conjunto de actividades de ensino para um tópico matemático específico. O investigador pode retirar ideias de diversas fontes [currículo, textos de educação matemática relatórios de investigação, …] – re-construção das sequências de ensino com base em dados empíricos e de uma teoria de instrução local (justificação das opções tomadas) para possibilitar o entendimento por outsiders, a discussão alargada e o acordo generalizado. – construção de uma teoria de domínio específico e de um conjunto de protótipos de sequências de ensino, consistentes com os princípios da RME, com base nas teorias locais [de cada um dos pequenos projectos de investigação que fazem parte do programa global de investigação] Theory-guided bricolage ‘Developmental research’

‘Developmental research’ “ teoria de instrução local conjecturada exp reflexão Currículo e Teoria são construídos conjuntamente exp ensino unidade = actividade de ensino Relação reflexiva entre teoria e experiências

‘Developmental research’ “ • O paradigma da ‘developmental research’ abandona a ideia de testar ‘ready-made courses’ em favor de uma experiência em que o tratamento seja aberto a adaptação e elaboração. Isto resulta num processo de aprendizagem para o ‘developmental researcher’ • Os professores tomam como ponto de partida (conjecturas) as teorias dos investigadores, as quais podem ser modificadas na sua própria sala e de acordo com as suas experiências. Desta forma, os professores podem produzir a sua própria contribuição para o desenvolvimento dessas teorias, em vez de serem consumidores passivos do conhecimento produzido por outros • Este tipo de investigação situa-se numa categoria de investigação que pode ser chamada de ‘investigação transformista’ (Research Advisory Committee of NCTM, 1988)

‘Developmental research’ • As ideias de Freudenthal de matemática como uma ‘actividade humana’ e de educação matemática como ‘reinvenção orientada’ constituem o ponto de partida para o desenvolvimento de sequências de protótipos (materiais de ensino). Este é um processo iterativo e cumulativo de desenho, exprimentação, reflexão, (re)desenho e teste de actividades instrucionais que dá origem a uma ‘teoria de instrução local’, empiricamente baseada, para cada tópico • As características comuns a estas teorias constroem uma teoria mais geral, ‘teoria de domínio específico’ para a ‘realistic mathematics education’ e um conjunto de protótipos de sequências instrucionais que se ajusta aos seus princípios

Questões para discussão Que perspectiva parece ter o grupo de investigação em relação: • • • à Matemática? ao currículo de Matemática? ao tipo de tarefas mais importantes a propor ao aluno?

5. Bibliografia Gravemeijer, K. P. E. (1993). The empty number line as an alternative means of representing addition and subtraction. In J. De Lange, I. Huntley, C. Keitel, & M. Niss (Eds. ), Innovation in maths education by modelling and applications (pp. 141 -150). New York, NY: Ellis Horwood. Gravemeijer, K. P. E. (1994). Developing realistic mathematics education (tese de doutoramento). Gravemeijer, K. P. E. (1994). Educational development and developmental research in mathematics education. Journal for Research in Mathematics Education, 25(5), 443 -471. Gravemeijer, K. P. E. (1998). Developmental research as a research method. In A. Sierpinska & J. Kilpatrick (Eds. ), Mathematics education as a research domain: A search for identity (pp. 277 -296). Dordrecht: Kluwer. Gravemeijer, K. P. E. (1998). Developmental research: Research for the sake of educational change. In G. Cebola & M. A. Pinheiro (Eds. ), Desenvolvimento curricular em matemática (pp. 41 -66). Lisboa: SEM-SPCE. Gravemeijer, K. P. E. & Van Galen, F. (2003). Facts and algorithms as products of student’s own mathematical activity. In J. Kilpatrick, G. M. Martin & D. S. Schifter (Eds. ), A research companion to principles and standards for school mathematics (pp. 114 -122). Reston, VA: NCTM. Van den Heuvel-Panhuizen, M. (2000). Mathematics education in the Netherlands: A guided tour. Freudenthal Institute Cd-rom for ICME 9. Utrecht: Utrecht University.

5. Bibliografia Endereços electrónicos http: //peabody. vanderbilt. edu/depts/tandl/mted/collaborators/Gravemeijer. html http: //www. fi. uu. nl/ http: //www. apm. pt/emce_pa/port/programa_pbio. html#rijkjie http: //math. twoday. net/stories/9878/ http: //www-history. mcs. st-and. ac. uk/~history/Pict. Display/Freudenthal. html http: //www. niwi. knaw. nl/en/oi/nod/organisatie/ORG 1235806/