Fabrice Vandebrouck Universit Paris Diderot Paris 7 IREM

Fabrice Vandebrouck Université Paris Diderot - Paris 7 IREM et équipe DIDIREM TICE et activité mathématique des élèves vandebro@math. jussieu. fr

Deux réductions / extensions • Construction de connaissances plutôt que construction de savoir – Vision plus large des apprentissages mathématiques – Des connaissances peuvent se construire qui ne sont pas étiquettables en savoirs • Mise en fonctionnement de connaissances plutôt que construction de connaissances – Pas de fixation sur la construction de connaissances nouvelles : il y a aussi un travail fondamental de consolidation, réorganisation, de liens… – Les mises en fonctionnement de connaissances sont à la fois critère de connaissances et source de connaissances

Début de l’exposé 1. Une réflexion préalable sur les mathématiques et leur travail possible avec les TICE 2. Comment penser la construction de connaissances avec des outils TICE ? 3. …

1. Une réflexion préalable sur les mathématiques et leur travail avec TICE • De nouvelles représentations offertes par les TICE - productrices et/ou - réductrices

1. Une réflexion préalable sur les mathématiques et leur travail avec TICE • De nouvelles actions offertes sur ces représentations – Changements de cadres (Douady) – Conversion de registres de représentations (Duval) – Jeu supplémentaire entre TICE papier-crayon • Des rétroactions offertes par les TICE à ces actions – tradition constructiviste puis socio constructiviste des apprentissages – Sensibilité au dialogue élève TICE

1. Une réflexion préalable sur les notions mathématiques et leur travail avec TICE • Les connaissances nouvelles peuvent-elles toujours s’introduire par un bon problème ? – Théorie des situations didactiques (Brousseau) – Dialectique Outil / Objet (Douady) • Les TICE peuvent-elles aider à introduire des notions qui s’introduisent mal par un bon problème ? – La notion de figure en géométrie en 6ème – La notion de formule en algèbre en 5ème • Toutes les notions sont-elles bonnes à travailler avec les TICE ? Ça dépend des notions, des mises en fonctionnements souhaitées et des TICE elles-mêmes.

Haspekian (2005) : le tableur à la transition arithmétique / algèbre • Le problème des chocolats • 3 groupes d’enfants se partagent 100 chocolats. Le deuxième groupe reçoit 4 fois le nombre de chocolats du premier. Le troisième groupe reçoit 10 chocolats de plus que le deuxième groupe. Combien de chocolats chacun des 3 groupes reçoit-il ?

Le problème des chocolats 3 groupes d’enfants se partagent 100 chocolats. Le deuxième groupe reçoit 4 fois le nombre de chocolats du premier. Le troisième groupe reçoit 10 chocolats de plus que le deuxième groupe. Combien de chocolats chacun des 3 groupes reçoit-il ? Arithmétique : Algébrique essai/erreur x + 4 x + ( 4 x + 10 ) = 100 x = 10, y = 40 et z = 50 Tableur 8

Haspekian : le tableur à la transition arithmétique / algèbre 4 pièces de tissu de 50 m chacune sont utilisées pour fabriquer 20 pulls nécessitant chacun 3 m de tissu. Le tissu restant est utilisé pour fabriquer des manteaux nécessitant 4 m chacun. Combien de manteaux seront-ils réalisés ? [ ( 4 x 50 ) - ( 20 x 3 ) ] / 4 9

2. Comment penser la construction de connaissances ? Un cadre organisateur Les résultats modifient l’état de la situation ; évolution de la situation Résultats de l’activité productive Situation déterminent Activité produit Effets de l’activité constructive sur le sujet lui-même Elève Les effets transforment l’état de l’élève : construction de connaissance

Des théorisations cohérentes avec ce cadre organisateur (Artigue, Lagrange…) • Techniques (vision institutionnelle de l’activité) – Rôle crucial de la dimension technique dans l’activité mathématique – Double valence pragmatique (tournée vers le productif) / épistémique (constructif) des techniques – Nouvelles techniques instrumentées doivent s’articuler (interagir) avec les techniques papier-crayon • Genèses instrumentales – Développement des connaissances liées aux l’outils, conjointement avec les apprentissages purement mathématiques – Instrumentalisation (tournée vers l’outil) / et instrumentation (tourné vers le sujet) – L’outil (ou artefact dans cette théorie) devient un instrument mathématique de l’élève

La suite de l’exposé : 3. La complexité des genèses instrumentales 4. La dialectique productif / constructif et des outils pour analyser et penser l’enrichissement des tâches mathématiques proposées aux élèves 5. Le rôle de l’enseignant

Haspekian (2005) sur le tableur • Distance « tableur / papier-crayon » qui s’ajoute aux difficultés algébriques classiques (5ème) – Une « variable » n en papier-crayon qui existe dans une « formule » f(n) =2 n+1 ; une seule notion de « paramètre » – Une « variable cellule » A 2 en environnement tableur • • Référence abstraite de la variable papier-crayon n Référence concrète particulière car dans A 2, il y a un nombre Références géographique (1ère colonne, 2ème ligne) Référence matérielle (une case du tableau) – Une « formule cellule » =2*A 2+1 dans B 2 – Une « formule colonne » dont l’écriture symbolique varie à chaque ligne quand on recopie =2*A 3+1; =2*A 4+1… – Des « paramètres ligne/colonne » A$2 ; $A 2 ou $A$2

Ressources disponibles imprécises quant à la gestion des genèses instrumentales des élèves => A partir des nombres de la colonne A, trouver une formule qui génère des nombres impairs dans la colonne B. => On n’utilise pas la recopie, ce qui est attendu. => On utilise la recopie mais avec plusieurs lignes à la fois dans la formule. 14

Genèses instrumentales en géométrie dynamique la distinction dessins / figure et le déplacement • Le déplacement n’est pas spontanément utilisé par les élèves (6ème) – Déplacements limités géographiquement, avec allersretours, positions par positions (instrumentalisation limitée) – Pas de construction de la notion mathématique de « figure » chez les élèves (instrumentation limitée)

Genèses instrumentales en géométrie dynamique la distinction dessins / figure et le déplacement Soury-Lavergne (2006)

Laborde : l’évolution des situations proposées par des professeurs sur 3 ans Différents rôles attribués à Cabri, progressivement, pas chez tous les professeurs… – Facilitateur matériel sur des tâches papier-crayon : construire un triangle : le logiciel n’est ni source de la tâches, ni utile dans la démonstration attendue ensuite – Facilitateur de tâches mathématiques papier-crayon : aide à faire des conjectures par la possibilité de déplacer – Tâches papier-crayon modifiées en Cabri : constructions avec suppression de commandes dans le menu – Tâches qui n’existent qu’en Cabri : constructions « boites noires » ; constructions « molles » (Lulu Healy)

Constructions dures / constructions molles

Une construction très molle : le lieu des points d’où l’on voit [A, B] sous un angle droit

Analyse des activités potentielles des élèves pour la preuve (sens direct) - Introduire le milieu I de [A, B] ; - Reconnaître deux triangles isocèles (AMI) et (IMB) ; - Disponibilité des propriétés angulaires des triangles isocèles : les angles à la base sont égaux ; - Disponibilité de la somme des angles du (AMB) ; - Introduire des inconnues (passage du cadre géométrique au cadre algébrique) ; - Écrire la somme du triangle AMB vaut 180 degrés ; - Faire une manipulation algébrique pour avoir que la somme vaut 90 degrés. - Retour au cadre géométrique pour conclure

Une alternative Restent la reconnaissance de triangles isocèles (facilitée), la disponibilité de leurs propriétés, le changement de cadre….

Introduction du barycentre par un problème de lieu géométrique « mou »

Analyse des activités potentielles des élèves • Introduire I milieu de [A, B] (aidé par la conjecture) • Disponibilité MA+MB=2 MI en vecteurs (connaissances anciennes supposées disponibles) • Manipulation des normes : ||2 MI|| = 2 ||MI|| puis ||MI|| = 1 • Interprétation géométrique pour conclure (changement de cadre algébrique géométrique aidé par la conjecture) • Question de l’indépendance du lieu aux points A et B VERS UN NOUVEAU PROBLEME : ||MA+3 MB||=2 • L’idée du cercle est déjà là, introduction expérimentale du barycentre comme centre du lieu • Aller-retour conjecture-logiciel : ||MA+3 MB|| doit se transformer en k ||MG|| puisqu’on voit un cercle • Valeur de k donnée par des positions particulières de A et B et le rayon du cercle apparent – manipulation algébrique • Vérification expérimentale de la conjecture par une construction dure du cercle et d’un point sur ce cercle

Dialectique productif / constructif e-Co. Lab - 2 nde (Barroux D. , Hérault F. )

2 scénarios :

Résultats sur l’activité des élèves • Ce qui est commun – Exploration géométrique en premier, impossibilité d’égaler les deux aires dans la fenêtre géométrique conduit à rejeter cette application comme pertinente – Exploration graphique : les coordonnées du ou des points d’intersection s’affiche sur le graphe conduit à accepter le nombre décimal affiché comme la solution exacte – Exploration tableur : elle semble artificielle, beaucoup plus de difficultés instrumentales – Calcul formel : pas de problème apparent • Ce qui est différent dans le 2ème scénario – Les élèves vont spontanément vers l’exploration graphique et vers le calcul formel après l’exploration géométrique – Ils prennent en charge plus correctement le lien entre valeurs approchées et valeurs exactes, mettant en lien géométrique / graphique – L’exploration géométrique, non guidée par des questions, plus rapide, ne permet plus de faire émerger l’idée de continuité du phénomène.

Une situation issue d’un énoncé de BAC pour l’épreuve pratique

L’énoncé transformé par un enseignant

Les commentaires de l’enseignant

Phénomènes d’instrumentation

Sur les rétroactions : Casyopée (Lagrange) Peut-on construire un rectangle MNPQ d’aire maximale dans le triangle donné (par fichier) ?

Scénario Français ère (1 S) Sensibilité aux genèses instrumentales Travail dans le cadre fonctionnel : fenêtre graphique puis symbolique (3 séances) Travail dans le cadre géométrique et création de fonctions (2 séances) Optimisation (1 séance)

En vert : changements de fenêtres du binôme 1 en autonomie. Binôme faible avec l’aide du prof Cadre géométrique Covariation . Aide majeure. Besoin du numérique Registre algébrique Registre numérique Registre graphique

Vert : binôme 1 ; Rouge: binôme 2 Noir : binôme 3 ; Bleu : binôme 4. Pas du tout de travail algébrique. Maximum trouvé graphiquement Cadre géométrique Covariation Registre algébrique Registre numérique Registre graphique

Scénario Italien Activités avec Casyopée Discussion orchestrée par l’enseignent

Notion de chaîne « sémiotique » Sur les aides constructives 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. La notion de fonction émerge en discussion collective après le travail sur Casyopée Sam: il faut toujours prendre un point libre, qui fait varier les aires considérées […] Ens: Donc nous avons une figure qui est ? Luc: Mobile. Ens: Mobile, dynamique […]. Andrea, quelle est le prochain pas ? And: […] il faut étudier cette figure et observer ce que le déplacement de la variable cause… Ens: ok, et après ? Tout le monde a fait ça, c’est vrai? ” Sil: […] en déplacent le point mobile on observe comment la somme des aires change.

Retour sur Haspekian (2005) et le tableur • • 2002 -2003 2 classes de 5ème avec deux enseignantes 5 séances sur le tableur pour introduire l’algèbre Genèses instrumentales « orchestrées » – Construction graduelle articulant connaissances algébriques et connaissances tableur (formules puis formules et variables puis résolutions algébriques de problèmes) – Accent sur l’articulation travail machine et travail papier-crayon • Les élèves tirent bien partiellement parti de l’ingénierie dans les 2 classes – Technique de recopie d’une formule qui s’installe mal, ralentissant la classe et empêchant l’établissement de techniques plus globales • Insuffisante organisation de phases collectives et d’articulation avec les séances ordinaires – Importances de genèses collectives et institutionnelles

Une petite synthèse • Des outils avec des potentialités mais aussi des contraintes que l’on peut essayer d’exploiter • Une réflexion nécessaire sur les genèses instrumentales : prise en main très progressive associée à des connaissances sur l’outil et à des connaissances mathématiques • Les dimensions productives et constructives de l’activité • L’importance des adaptations de connaissances (choisir, introduire, interpréter…) pour induire des activités constructives – sensibilité à renforcer avec l’usage des TICE • L’imbrication possible des activités instrumentées et des activités papier-crayon • Le rôle du professeur pour le choix des situations et notamment la gestion (notamment aspect collectif des genèses instrumentales, dialectique aides productives / aides constructives…)

« La classe de mathématiques : activités des élèves et pratiques des enseignants » • Bases de la Théorie de l’Activité (Rogalski) • Outils d’analyse des activités des élèves (Robert) – Les variables retenues en lien avec les apprentissages (scénarios / déroulements) – Réflexions sur les types de notions mathématiques et leurs introductions auprès des élèves – Réflexion sur les scénarios globaux et les formes de travail des élèves – Outils d’analyse des tâches : niveaux de mises en fonctionnement des connaissances (disponibilité) ; mises en fonctionnement immédiates (applications) ou avec des adaptations (introduire des intermédiaires, mélanger, choisir…) – Outils d’analyse des déroulements (réflexions sur les aides procédurales / aides constructives) • Étude de pratiques enseignantes (Robert et Rogalski) : prise en compte de la dimension « métier » avec ses contraintes (institutionnelles, sociales, personnelles)

Des élèves de 2 nde qui travaillent sur des bases d’exercices • De l’activité productive mais… • Des décalages entre l’activité attendue et l’activité développée par les élèves, avec des nécessaires interventions de l’enseignant. – Dus à la complexité mathématique des exercices – Dus aussi à des implicites sur l’activité attendue – Dus parfois à des détournements intentionnels • Des rétroactions logicielles insuffisantes ou inadaptées, souvent difficiles à comprendre par les élèves, qui ne leur permettent pas toujours de réguler correctement leur activité • Des apprentissages (activité constructive) observés quand les situations deviennent problématiques et que la réponse attendue par le logiciel ne peut pas être obtenue à moindre effort.

Alice passe d’une logique d’action à une logique constructive à Q 6 - elle lit attentivement l’aide en ligne à Q 6 - elle sort et consulte son cours à Q 6 puis Q 7, Q 8 - elle finit par appeler l’enseignante (Q 9) disponible de suite Plus tard les connaissances sur image et antécédent sont devenues adaptables dans les exercices 8 et 9

Comparaison d’une séance GD et d’une séance papier-crayon en 3ème sur le même thème Établir un théorème sur des rapports d’aires et de volumes Analyse de l’activité des élèves (par l’analyse des énoncés et des déroulements) L’enseignant doit s’adapter à l’activité des élèves en séance TICE alors qu’il poursuit son projet dans la séance classique. La séance TICE est plus différenciatrice sans possibilités de phases collectives.

• Merci !