F 8 Hypotesprvning Begrepp Nollhypotes Mothypotes Testfunktion Beslutsregel

F 8 Hypotesprövning. Begrepp • • • Nollhypotes Mothypotes Testfunktion Beslutsregel Signifikansnivå Kritiskt område Ensidigt/tvåsidigt test Typ-I-fel Typ-II-fel Styrka P-värde Grundläggande statistik, ht 09, AN 1

F 8 Hypotesprövning (Ex 5 sid. 186 KW) Är myntet symmetriskt? Vi har blivit ombedda att kontrollera om ett mynt är symmetriskt. Hur ska vi gå till väga? Hur många gånger behöver vi kasta myntet för att kunna uttala oss något så när säkert? 1. Vad innebär symmetri? 2. Kasta 1 gång? 2? 20? 40? 100? 3. Vad betyder att vara ”något så när säker”? 4. Vilka fel kan vi göra? Låt n=antal kast X= antal gånger vi får krona P=andelen gånger vi får krona Grundläggande statistik, ht 09, AN 2

F 8 • • Hypotesprövning av (= 0, 5 i detta ex. ) H 0: =0, 5 (kallas ofta 0) H 1: ≠ 0, 5 • Testfunktion: X som är Bi(n; 0, 5) om H 0 är sann. Alternativt om n stort, P som är Nf(0, 5; ) eller som är Nf(0; 1) om H 0 är sann. Om ensidigt test: H 1: > 0, 5 eller H 1: < 0, 5 Grundläggande statistik, ht 09, AN 3

F 8 Hypotesprövning Vill ha svar på frågan: Beror skillnaden mellan P och 0, 5 på slumpen? • Beslutsregel: Vi förkastar H 0 om vi får så höga eller låga värden på X (eller P eller Z) som vi sällan skulle få om är sann H 0. Kallas kritiskt område. • Signifikansnivå (α ): Pr (förkasta H 0 när den är sann). Definierar kritiska området. Att förkasta en sann H 0 kallas för typ-I-fel. • Styrkan (1 -β): Pr(förkasta H 0 när den inte är sann) där β = Pr(inte förkasta H 0 när den inte är sann). Att inte förkasta en falsk H 0 kallas för typ-II-fel. Grundläggande statistik, ht 09, AN 4

F 8 Hypotesprövning (forts) I verkligheten är Beslut H 0 förkastas inte H 0 förkastas H 0 sann Korrekt beslut Typ I-fel Sign. nivån Pr = α H 0 falsk Typ II-fel Pr = β Korrekt beslut Pr = 1 - β Styrkan Grundläggande statistik, ht 09, AN 5

F 8 Hypotesprövning av medelvärde Nf(µ ; σ) H 0: µ = µ 0 H 1: µ ≠ µ 0 Alternativt, om ensidigt test H 1 : µ > µ 0 eller H 1 : µ < µ 0 • Testfunktion: som är Nf(µ 0 ; ) eller som är Nf(0; 1) om H 0 är sann. Grundläggande statistik, ht 09, AN 6

F 8 Hypotesprövning av medelvärde Nf(µ ; σ) när σ är okänd H 0: µ = µ 0 H 1: µ ≠ µ 0 Alternativt, om ensidigt test H 1: µ < µ 0 eller H 1: µ ≠>µ 0 Skatta σ med Testfunktion som är t-fördelad med n-1 frihetsgrader om H 0 är sann. Grundläggande statistik, ht 09, AN 7

F 8 Hypotesprövning av medelvärde. Okänd fördelning, n stort H 0: µ = µ 0 H 1: µ ≠ µ 0 Alternativt, om ensidigt test H 1: µ < µ 0 eller H 1: µ ≠>µ 0 Testfunktion där Z är Nf(0; 1) om H 0 är sann och n stort. Enligt C G S. Grundläggande statistik, ht 09, AN 8

Hypotesprövning av (allmänt) H 0: = 0 H 1: ≠ 0 Alternativt, om ensidigt test H 1: < 0 eller H 1: > 0 Testfunktion där Z är Nf(0; 1) om H 0 är sann och n stort Grundläggande statistik, ht 09, AN 9

F 8 Hypotesprövning, p-värden • I många sammanhang anges ett s. k. p-värdet är ett mått på hur stor sannolikheten är att få ett minst lika extremt värde på testfunktionen som det vi faktiskt har fått, givet att H 0 är sann. Ju lägre p-värde, desto starkare stöd för mothypotesen. Om vi har bestämt oss för signifikansnivån 5%, så ska vi förkasta H 0 om vi får ett p-värde som är mindre än 0, 05. Om signifikansnivån är 1%, så ska vi förkasta H 0 om vi får ett p-värde som är mindre än 0, 01, o. s. v. Grundläggande statistik, ht 09, AN 10