F 5 Kombinatorik KW 1 6 Ex P

F 5 Kombinatorik (KW 1. 6) • Ex. : På en matsedel finns tre förrätter, två huvudrätter och två efterrätter. På hur många olika sätt kan en trerätters måltid komponeras? • Svar: • Illustration: Träddiagram Grundlägande statistik, ht 09, AN 1

F 5 Kombinatorik (forts) • Man ska utföra k st operationer. Den första kan utföras på n 1 sätt, den andra på n 2 sätt o. s. v. • Multiplikationsprincipen: Totala antalet sätt att utföra de k operationerna i tur och ordning är: n 1 × n 2 × … × nk Grundlägande statistik, ht 09, AN 2

F 5 Kombinatorik (forts. ) • n olika element kan permuteras (ordnas) på • n·(n-1)·(n-2)·, , , · 3· 2· 1=n! olika sätt. • • • n! kallas ”n-fakultet” 1! = 1 2! = 2· 1 = 2 etc. Man definierar 0! = 1 Grundlägande statistik, ht 09, AN 3

F 5 Kombinatorik (forts. ) • Ordnade delmängder En mängd består av N element, av dem väljer vi n. Antalet ordnade delmängder är N·(N-1) ·, , , ·(N-(n-1)) Kan skrivas som T ex N=5. Vi kan då välja n=3 av dem på 5· 4· 3 = 60 olika sätt. Om vi inte tar hänsyn till ordningen blir antalet sätt Detta kallas kombinationer och skrivs som uttalas ”N över n” Grundlägande statistik, ht 09, AN 4

F 5 Räkneregler för väntevärde och varians • Antag att vi vet väntevärde och varians för slumpvariabeln X. Vi definierar en ny slumpvariabeln Y som är en linjär funktion av X. • Om Y = a + b·X, så gäller att • E(Y) = E(a + b·X) = a + b·E(X) • Var(Y) = Var(a + b·X) = b²·Var(X) • Ex. X är temp. mätt i grader Celsius. Y är temp. mätt i grader Fahrenheit Då gäller att Y = 9/5·X+32 E(Y)=? Var(Y)=? Grundlägande statistik, ht 09, AN 5

F 5 Väntevärde och varians för summor mm . • X och Y är två stokastiska variabler. • E(X + Y) = E(X) + E(Y) • E(X – Y) = E(X) – E(Y) • Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2 Cov(X, Y) • Var(X – Y) = Var(X) + Var(Y) – 2 Cov(X, Y) Specialfall: X och Y okorrelerade. Då är Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) Var(X – Y) = Var(X) + Var(Y) OBS om X och Y oberoende så är de också okorrelerade, dvs Cov = 0. Grundlägande statistik, ht 09, AN 6

F 5 Kontinuerliga stokastiska variabler • En kontinuerlig stokastisk variabel kan anta alla värden i ett intervall. • Sannolikhetsfördelningen för en kontinuerlig slumpvariabel, X, beskrivs genom en s. k. en funktion f(x), som brukar kallas täthetsfunktion. f(x) ≥ 0 för alla x. Hela ytan under f(x) är lika med 1. • P(a ≤X ≤ b) = ytan under f(x) mellan a och b. P(X=a) = 0. (Ytan över en punkt är lika med 0. ) Slutna, halvöppna och öppna intervall har samma sannolikhet. Dvs. P(a ≤X ≤ b)= P(a <X ≤ b) = P(a ≤X < b) = P(a < X < b) Grundlägande statistik, ht 09, AN 7

F 5 • Normalfördelningen Vad vi i praktiken behöver veta om normalfördelningens egenskaper är · fördelningen bestäms helt av μ och σ. · utfallsrummet är hela talaxeln. · fördelningen är symmetrisk kring μ. Svår att härleda men enkel att hantera Många fördelningar kan approximeras med normalfördelningen, t ex binomialfördelningen när n är stort Detta bygger på centrala gränsvärdessatsen. Grundlägande statistik, ht 09, AN 8