EXPRESIONES ALGEBRAICAS U D 3 Angel Prieto Benito
EXPRESIONES ALGEBRAICAS U. D. 3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 1
DIVISIÓN DE POLINOMIOS U. D. 3. 4 * 1º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 2
DIVISIÓN DE POLINOMIOS • El resultado de dividir monomios o polinomios entre sí no siempre va a ser un monomio o un polinomio. • Ejemplos: • 6. x 4 : 2. x = (6/2). x 3 = 3. x 3 , que es un monomio. • 6. x : 3. x 2 = 2 / x , que no es un monomio. • (6. x 4 - 2. x) : 2. x = 3. x 3 - 1, que es un polinomio • (4. x - 6. x 4 ) : 3. x = (4/3) – 2. x 3 , que es un polinomio • (6. x 4 - 2. x) : x 2 = 6. x 2 - 2/x, que no es un polinomio @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 3
DIVISIÓN ENTERA • DIVISIÓN ENTERA DE POLINOMIOS • Las reglas operativas son : • • • 1. ‑ Reducir dividendo y divisor. 2. ‑ Ordenador dividendo y divisor de forma decreciente. 3. ‑ Si el dividendo es incompleto, dejar huecos. 4. ‑ Aplicar el algoritmo correspondiente para dividir. 5. ‑ Terminar cuando el grado del resto sea menor que el grado del divisor. • 6. - Comprobar el resultado, pues siempre se cumplirá: • D(x) = d(x). c(x) + r(x). @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 4
ALGORITMO DE LA DIVISIÓN • ALGORITMO DE LA DIVISIÓN • Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor. Lo que da es el primer término del cociente. • Se multiplica el primer término del cociente hallado por todo el divisor. Lo que da hay que restárselo al dividendo. • Obtenemos así un nuevo dividendo. • Y se repiten las anteriores operaciones para conseguir los restantes términos del cociente. • DIVISIÓN EXACTA • • Si el resto se anula, es cero, la división se llama exacta. El polinomio dividendo habrá quedado factorizado: D(x) = d(x). c(x) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 5
Ejemplo_1 de división de polinomios • Sea P(x) = x 3 + 4. x 2 - 5 • y Q(x) = x + 5 • Hallemos P(x) : Q(x) • 1. - Están ya ambos reducidos. • 2. - Están ya ambos ordenados decrecientemente. • 3. - El dividendo es incompleto, luego hay que dejar hueco en el término de x. • 4. - Aplicamos el algoritmo para dividir: @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 6
• x 3 + 4. x 2 • -5 x +5 x 2 • Pues x 3 : x = x 2 • x 3 + 4. x 2 • - x 3 - 5. x 2 -5 x +5 x 2 • Pues se multiplica x 2. (x +5) • Y como vamos a restar lo que nos dé se cambia de signo. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 7
• x 3 + 4. x 2 -5 x +5 • - x 3 - 5. x 2 • - x 2 -5 • Se repite las operaciones: • x 3 + 4. x 2 • - x 3 - 5. x 2 • - x 2 • x 2 + 5. x • - 5. x • @ Angel Prieto Benito -5 x +5 x 2 – x + 5 -5 - 25 - 30 Matemáticas Aplicadas CS I 8
• 5. - Como el resto ( - 30) es de grado menor que el divisor (x + 5) se habrá terminado la división. • c(x) = x 2 - x + 5 • r(x) = - 30 • • • 6. - Se comprueba que D(x) = d(x). c(x)+r(x) x 3 + 4. x 2 - 5 = (x + 5). (x 2 - x + 5) + (-30) x 3 + 4. x 2 - 5 = x 3 - x 2 + 5. x 2 - 5. x + 25 -30 x 3 + 4. x 2 - 5 = x 3 + 4. x 2 - 5 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 9
Ejemplo 2 de división de polinomios • Sea P(x) = x 3 + 4. x 2 - 2. x + 5 • y Q(x) = x 2 + 5 • Hallemos P(x) : Q(x) • 1. - Están ya ambos reducidos. • 2. - Están ya ambos ordenados decrecientemente. • 3. - Ambos son polinomios completos, luego no hay que dejar huecos. • 4. - Aplicamos el algoritmo para dividir: @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 10
• x 3 + 4. x 2 - 2. x + 5 • x 2 + 5 x • Pues x 3 : x 2 = x • x 3 + 4. x 2 - 2. x + 5 • - x 3 - 5. x x 2 + 5 x • Pues se multiplica x. (x 2 +5) • Y como vamos a restar lo que nos dé se cambia de signo. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 11
• x 3 + 4. x 2 - 2. x + 5 x 2 + 5 • - x 3 - 5. x x • 4. x 2 - 7. x + 5 • Se repite las operaciones: • x 3 + 4. x 2 - 2. x + 5 • - x 3 - 5. x • 4. x 2 - 7. x + 5 • - 4. x 2 - 20 • - 7. x - 15 @ Angel Prieto Benito x 2 + 5 x+4 Matemáticas Aplicadas CS I 12
• x 3 + 4. x 2 - 2. x + 5 x 2 + 5 • - x 3 - 5. x x+4 • 4. x 2 - 7. x + 5 • - 4. x 2 - 20 • - 7. x - 15 • 5. - Como el resto ( -7. x – 15) es de grado menor que el dividor (x 2 + 5) se habrá terminado la división. • C(x) = x+4 • R(x) = - 7. x – 15 • 6. - Se comprueba que D(x) = d(x). C(x)+R(x) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 13
Problemas • PROBLEMA 1 • • Hallar el valor de a para que la siguiente división sea exacta: 2. x 3 + 4. x 2 - 5. x + a : x 2 + x • • • 2. x 3 + 4. x 2 - 5. x + a - 2 x 3 - 2 x 2 2. x 2 -5. x - 2. x 2 - 2. x - 7. x + a • • • Para a = 0 el resto es R(x) = - 7. x Para a <> 0 el resto es R(x) = - 7. x + a Luego no hay ningún valor de a que haga R(x) = 0 @ Angel Prieto Benito x 2 + x 2. x + 2 Matemáticas Aplicadas CS I 14
Problemas • PROBLEMA 2 • • Hallar el valor de a para que la siguiente división sea exacta: 2. x 3 + 4. x 2 - 5. x + a : x+ 5 • • 2. x 3 + 4. x 2 - 5. x + a x +5 - 2 x 3 – 10. x 2 2 x 2 – 6. x + 25 - 6. x 2 - 5. x + 6. x 2 +30. x 25. x + a - 25. x - 125 a – 125 Para a = 125 el resto es R(x) = 0 División exacta @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 15
Problemas • PROBLEMA 3 • • Hallar el valor de a para que la siguiente división sea exacta: x 3 + 4. x 2 - a. x + 5 : x 2 + 5 • • • x 3 + 4. x 2 - a. x + 5 - x 3 - 5. x 4. x 2 - (5+a). x + 5 - 4. x 2 - 20 - (5+a). x - 15 • • • Para a = - 5 el resto es R(x) = - 15 Para a <> - 5 el resto es R(x) = - (5+a). x - 15 Luego no hay ningún valor de a que haga R(x) = 0 @ Angel Prieto Benito x 2 + 5 x+4 Matemáticas Aplicadas CS I 16
Problemas • PROBLEMA 4 • • Hallar el valor de a y de b para que la siguiente división sea exacta: x 3 + 4. x 2 - b. x + a : x– 1 • • x 3 + 4. x 2 – b. x + a x– 1 – x 3 + x 2 + 5. x + (5 – b) 5. x 2 – b. x – 5. x 2 + 5. x (5 – b). x + a – (5 – b). x + (5 – b) a+5–b R(x) = 0 División exacta a – b + 5 = 0 b – a = 5 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 17
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