EXPRESIONES ALGEBRAICAS U D 3 Angel Prieto Benito

EXPRESIONES ALGEBRAICAS U. D. 3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 1

POLINOMIOS U. D. 3. 1 * 1º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 2

Expresión algebraica • • Una expresión algebraica es toda combinación de números y letras unidas por los signos de las operaciones aritméticas. Las letras se llaman variables (en polinomios), incógnitas (en ecuaciones) o indeterminadas (en general). • • EJEMPLOS a) 4. x 2 • • VALOR NUMÉRICO Es el número que se obtiene al sustituir las letras por números dados y realizar las operaciones indicadas. Si la expresión es un polinomio cobra especial importancia, pues si P(a) = 0 entonces decimos que a es una raíz del polinomio. • • EJEMPLOS a) 4. x 2 b) 2. π. r b) a. b c) y - 4 + x 2 d) 2. π. r Para x = 5 4. 52 = 4. 25 = 100 Para r = 10 2. 3, 1416. 10 = 62, 832 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 3

Monomio • Es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que afectan a las letras son la MULTIPLICACIÓN y la POTENCIACIÓN DE EXPONENTE NATURAL. • EJEMPLO • • El 4 es el coeficiente numérico. La a es el coeficiente no numérico. La letra x es la variable. El 3 es el exponente de la variable, que se llama GRADO del monomio. • • • CONTRAEJEMPLOS 4. a. x 3 - 3. x - 2 no es un monomio. 3 ----- no es un monomio. 2. x @ Angel Prieto Benito 5. (x / y) no es un monomio - 3. x. √y Matemáticas Aplicadas CS I 4

Polinomio • • • Es una expresión algebraica formada por la suma o diferencia de monomios. Cada monomio que forma el polinomio se le llama TÉRMINO, Grado es el mayor de los términos o monomios que lo forman. • • Aquel monomio que no contenga parte literal, sólo números, se le llama TÉRMINO INDEPENDIENTE. • • • EJEMPLOS • P(x) = - 7. x + 5 • P(x, y) = x 3 + 7. y 2 - 5. x. y • P(x) = 5. x 2 - 7. x + a P(x) = 4. x 3 + 7. x 2 - 5. x @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 5

Tipos de polinomios • • REDUCIDOS Tiene sumados los términos semejantes NO REDUCIDOS Contiene dos o más términos semejantes. • • COMPLETOS Sus términos tienen todos los grados, desde el del polinomio a cero. INCOMPLETOS Falta algún término de grado menor que el del polinomio. • • ORDENADOS Sus términos están ordenados por el grado de la variable. NO ORDENADOS Sus términos están desordenados según el grado de los mismos. • Es muy importante que un polinomio esté REDUCIDO y ORDENADO DECRECIENTEMENTE para poder operar correctamente con él. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 6

• REDUCIDOS • P(x) = 20. x 3 + 31. x 2 + 4. x – 6 • NO REDUCIDOS • P(x) = 2. x 3 + 7. x - 31. x 2 + 4. x – 6 • COMPLETOS • P(x) = x 3 + 3. x 2 + 4. x – 6 • INCOMPLETOS • P(x) = 3. x 3 + 4. x – 6 Falta término en x 2 • ORDENADOS • P(x) = x 3 - 3. x 2 – 6 Ordenado de forma decreciente. • NO ORDENADOS • P(x) = 7. x - 3. x 3 + 6. x 2 – 6 • Es muy importante que un polinomio esté REDUCIDO y ORDENADO DECRECIENTEMENTE para poder operar correctamente con él. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 7

Valor numérico de un polinomio • Dado un número real a y un polinomio P(x) se llama valor numérico de P(x) para x=a y se escribe P(a) al número que se obtiene al sustituir x por a. • EJEMPLOS • • a) P(x) = x 3 – 4. x + 5 Para x = 2 P(2) = 8 – 8 + 5 = 5 • b) P(x) = x 4 – 4. x 3 + 1 Para x = – 1 P(– 1) = 1 + 4 + 1 = 6 • c) P(x) = 3. x 3 – 4. x Para x = – 2 P(– 2 ) = – 24 + 8 = – 16 • d) P(x) = x 4 – 4. x 2 @ Angel Prieto Benito Para x = √ 2 Matemáticas Aplicadas CS I P(√ 2) = 4 – 8 = – 4 8

Raíces de un polinomio • Se llama raíz de un polinomio P(x) a cualquier valor de x para el que el valor del polinomio es cero. • • • EJEMPLOS a) P(x) = x 3 – 4. x • b) P(x) = x 4 + 4. x 3 – 5 • c) P(x) = 3. x 101 + 3 • d) P(x) = x 4 – 3. x 2 • d) P(x) = x 4 – e 2 @ Angel Prieto Benito Para x = 2 P(2) = 8 – 8 = 0 Para x = 1 P(1) = 1 + 4 – 5 = 0 Para x = – 1 P(– 1) = 3. (– 1) + 3 = 0 Para x = √ 3 P(√ 3) = 9 – 3. 3 = 0 Para x = –√e P(–√e) = e 2 – e 2 = 0 Matemáticas Aplicadas CS I 9

Aplicación geométrica 1 • Se quiere construir un depósito abierto por arriba de modo que el ancho mida 10 m más que el largo y de una altura suma de largo y ancho. Expresa el área del suelo, de las paredes y el volumen del depósito en función del menor número de variables. • Resolución: • • • Sea x = largo Sea x + 10 = ancho Sea x + 10 = 2. x + 10 = altura. • • • Suelo: A = largo. ancho Paredes: A = perímetro. altura Volumen: V =largo. ancho. altura @ Angel Prieto Benito 2. x+10 x x+10 • • • Suelo: A = x. (x+10) = x 2 + 10. x Perímetro de la base: P = 2. x + 2. (x+10) = 4. x + 20 Paredes: A = (2. x+20). (2. x+10) = A = 4. x 2 + 60. x + 200 Volumen: V = x. (x+10). (2. x+10) V = 2. x 3 + 30. x 2 + 100. x Matemáticas Aplicadas CS I 10

Aplicación geométrica 2 • • Se quiere construir un marco para una ventana rectangular. La diagonal de la ventana debe medir 3 metros. El largo del marco vale 7 €/m y el ancho vale 10 €/m. Expresa las dimensiones del marco, el área de la ventana y el coste total del mismo en función del menor número de variables. • Resolución: • • Sea x = largo Por Pitágoras: Ancho = √(Diagonal 2 – largo 2) √(32 – x 2) = √(9 – x 2) el ancho @ Angel Prieto Benito 3 y x • • Área: A = largo. ancho A = x. √(9 – x 2) = √(9. x 2 – x 4) Coste: C = 7. (2. x) + 10. (2. y) C = 7. 2. x + 10. 2. √(9 – x 2) C = 14. x + 20. √(9 – x 2) Matemáticas Aplicadas CS I 11

Aplicación geométrica 3 • • Se tiene un cilindro inscrito en un cono de 3 cm de radio de la base y de 5 cm de altura. Hallar el volumen del cilindro utilizando como única variable el radio de su base, r. 5 cm r h • Resolución: • • Por Thales: 5 5–h --- = -----3 r Operando queda: 5. r = 15 – 3. h 3 h = 15 – 5. r h = (15 – 5. r) / 3 = 5 – (5/3). r @ Angel Prieto Benito 3 cm • • • Volumen del cilindro: V = π. r 2. h V = π. r 2. [5 – (5/3). r] V = 5. π. r 2 – 5. π. r 3 / 3 V = 5. π. r 2. (1 – r / 3) Matemáticas Aplicadas CS I 12