Exponentialfunktionen Zunahme Zerfall Referat von Sara Fuchs und

Exponentialfunktionen Zunahme & Zerfall Referat von Sara Fuchs und Pamina Ernst

Definition p p p p Von Exponentiellem Wachstum bzw. Zerfall sprechen wir, wenn sich eine Menge während einer bestimmten Zeiteinheit immer um den gleichen Faktor vergrößert bzw. verkleinert. Dieses Verhalten kann mit der folgenden Funktion beschrieben werden: f (t) = c x a ^ t ^t - c Startmenge (zur Zeit 0) - f (t) Menge zur Zeit t - t Zeit - a Wachstumsfaktor für eine Zeiteinheit t (a > 1 bedeutet Wachstum, a < 1 bedeutet Zerfall)

Potenzgesetze

Beispiel für exponentielles Wachstum p p Bakterien vermehren sich mit dem Faktor 2 pro Stunde. Zu Beginn um 0 Uhr sind es 1000. Wie viel ist es um 1 Uhr, um 5 Uhr, um 0. 30 Uhr? 2 bekannte Werte einsetzen Ansatz f(t)= c x a ^ t Also: Zu Beginn ist: 1000 = f(0) = c x a ^ t Also folgt c=1000. Nach 1 Stunde: p 2000 = f(1) = 1000 x a ^ t p Das ergibt a = 2. Also lautet unsere Exponentialgleichung: f(t)= 1000 x 2 ^ t

Beispiel für exponentielles Wachstum Wie viel ist es um 0. 30 h? p f(1/2)= 1000 x 2 ^ ½ p = 1414, 21 = 1414 p A. : Um 0. 30 sind es ungefähr 1414 Bakterien. p f(5) = 1000 x 2 ^ 5 = 32000 p A. : Um 5 Uhr sind es 32000 Bakterien. p Der Wachstumsfaktor a ist = 2, die Zeitvariable ist t. p

Zerfallsfunktion p p p Arbeitslosenzahl zu Beginn : 4, 8 Mio. Soll innerhalb von 5 Jahren halbiert werden: f(0)=4, 8 ; f(5)=4, 8 xa^5 a^5=0, 5 a =0, 5^1/5 a =0. 8706 f(x)=4, 8 x 0, 8706^t

Weiteres Beispiel: Wachstum S. 182 A 1) p Funktion: f(x) = a^ t p f(t) = 2 ^ t p f(1)= 2 ^ 1 = 2 p f(2)= 2 ^ 2 = 4 p f(3)= 2^ 3 = 8 p f(4) =2 ^ 4= 16 p A. : Nach 4 Tagen kennen 16 Personen das Gerücht. p

Beispiel für Zerfall Die Halbwertszeit von radioaktivem Jod beträgt 8 Tage. Gib die Zerfallsfunktion an! N 0/2 = N 0·q 8 q = 8√(1/2) = 0, 917 N(t) = N 0· 0, 917 t p Wie viel Prozent der vorhandenen Menge zerfallen pro Tag? p q = 0, 917 = 91, 7% die Abnahme beträgt 8, 3%. Wann ist nur mehr 1% der ursprünglichen Menge vorhanden? p