Exponenciln rovnice Vypracoval Mgr Luk Bik TENTO PROJEKT

  • Slides: 8
Download presentation
Exponenciální rovnice Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A

Exponenciální rovnice Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Exponenciální rovnice Je obecné označení pro rovnice, ve kterých se neznámá vyskytuje v exponentu

Exponenciální rovnice Je obecné označení pro rovnice, ve kterých se neznámá vyskytuje v exponentu (mocniteli, resp. v odmocniteli). Typů těchto rovnic je celá řada. Při jejich řešení se používají následující postupy: 1) běžné ekvivalentní i neekvivalentní úpravy rovnic (sečtení členů, vytknutí před závorku, přičtení výrazu k rovnici, vynásobení nenulovým výrazem apod. ), 2) úprava výrazů pomocí vzorečků pro počítání s mocninami, 3) zlogaritmování rovnice, 4) zavedení substituce. Poznámka: – jednotlivé postupy se nemusí použít všechny, – postupy nemusí být použity právě v tomto pořadí, – stejný typ postupu se při řešení rovnice může vyskytnout několikrát.

Běžné úpravy Cílem těchto úprav je rovnici zjednodušit a/nebo převést do součinového tvaru, tedy

Běžné úpravy Cílem těchto úprav je rovnici zjednodušit a/nebo převést do součinového tvaru, tedy do tvaru, kdy jsou obě strany rovnice tvořeny jedním členem nebo součinem dvou (či více) výrazů. Součinový tvar je výhodný z toho důvodu, že na součin lze aplikovat vzorce pro práci s mocninami (viz následující strana) nebo zlogaritmování (a následně použití vzorců pro práci s logaritmy), a tím rovnici dále zjednodušit. Příklad zjednodušení exponenciální rovnice pomocí běžných úprav: Dořešení rovnice je již triviální (x = 3).

Úpravy rovnice pomocí vzorců pro práci s mocninami Cílem těchto úprav je opět rovnici

Úpravy rovnice pomocí vzorců pro práci s mocninami Cílem těchto úprav je opět rovnici zjednodušit. Lze použít tyto vzorce: Příklad zjednodušení exponenciální rovnice pomocí vzorců:

Zlogaritmování rovnice Cílem je převedení neznámé z exponentu „na řádek“ pomocí vzorce logabx =

Zlogaritmování rovnice Cílem je převedení neznámé z exponentu „na řádek“ pomocí vzorce logabx = x·logab (tím převedeme exponenciální rovnici na lineární či kvadratickou. Lze použít i další vzorce pro úpravu logaritmů. Jelikož neexistují vzorce pro logaritmus součtu a rozdílu, má smysl logaritmovat pouze rovnici upravenou do tvaru, ve kterém se nevyskytuje sčítání či odčítání. Zpravidla se zlogaritmování rovnice provádí až v okamžiku, kdy jiné úpravy nejsou možné, tedy na rovnici maximálně zjednodušenou. Příklad zlogaritmování rovnice:

Substituce Smyslem substituce je zpřehlednit zápis rovnice tím, že místo složitého výrazu zapisujeme zpravidla

Substituce Smyslem substituce je zpřehlednit zápis rovnice tím, že místo složitého výrazu zapisujeme zpravidla pouze nějaké písmeno. Po vyřešení zjednodušené rovnice je nutné substituci „vrátit“ a dopočítat původní neznámou! Příklad užití substituce:

Aplikace a praktické využití exp. rovnic Exponenciální rovnice lze v praxi využít tam, kde

Aplikace a praktické využití exp. rovnic Exponenciální rovnice lze v praxi využít tam, kde se vyskytuje exponenciální růst či pokles, např. amortizace, zhodnocování, úmrtnost atd. Příklad: Cena uměleckého předmětu meziročně roste o 5 %. Za jak dlouho bude jeho cena trojnásobná? Řešení: Cenu předmětu označme jak c, počet roků jako x. Cena předmětu bude vždy 105 % z ceny, kterou měl předmět před rokem, tedy 1, 05 násobek původní ceny. Sestavme rovnici: Odpověď: Předmět bude mít trojnásobnou cena asi za 22 a půl roku.

Shrnutí Při řešení exponenciálních rovnic používáme několika postupů. Jejich smyslem je rovnici co nejvíce

Shrnutí Při řešení exponenciálních rovnic používáme několika postupů. Jejich smyslem je rovnici co nejvíce zjednodušit a upravit do tvaru ab = c, případně přes substituci převést na rovnici jiného (jednoduššího) typu. Pomocí jednotlivých postupů se snažíme sjednotit exponenty v rovnici, nebo sjednotit základy mocnin (pak můžeme použít vzorce pro práci s mocninami), v ideálním případě sjednotit obojí a zavést substituci. Pokud rovnice obsahuje pouze součiny a podíly, lze logaritmovat, ale vhodnější je logaritmovat až po vyčerpání jiných postupů. Podmínky řešitelnosti nevyplývají ze samotného exponentu, jelikož v exponentu může být libovolné číslo. Podmínky však mohou vyplývat ze zlomků a odmocnin (viz definiční obory), obdobně jako u jiných typů rovnic.