Exploiter la fonction fft de Scilab JeanPaul Stromboni

Exploiter la fonction fft(. ) de Scilab Jean-Paul Stromboni, pour les élèves SI 3, nécessite un vidéo projecteur, durée 50 mn , septembre 2015 J. B. Fourier, séries de Fourier, etc Joseph Jean Baptiste Fourier (1768 -1830) résout une équation différentielle sans solution jusque là en décomposant le second membre s(t) en une somme de signaux sinusoïdaux. Il invente les séries de Fourier, la composition fréquentielle, et l’analyse harmonique. Séries de Fourier : avec Transformée de Fourier est le spectre de s(t), quantité complexe Spectre d’amplitude Transformée inverse Transformée de Fourier Discrète (TFD) • X(f) est fe-périodique • X(f) est une quantité complexe Algorithmes de Transformée de Fourier Rapide (FFT en anglais) Utiliser la fonction fft(. ) de Scilab, séance 4 SSII, sept. 2015 - page 1

Calcul de la TFD avec la fonction fft de Scilab q Les logiciels tels Audacity ou Scilab … calculent la composition fréquentielle en utilisant un algorithme de transformée de Fourier rapide (en anglais FFT) : q Il faut noter : Ø Si s contient N échantillons, S contient N valeurs de S(f) calculées aux fréquences fk Ø Résolution fréquentielle (écart entre deux valeurs calculées) Ø Problème de synchronisation Ø Taille de la fenêtre de FFT : N Ø S(f) est une quantité complexe, il faudra calculer le module. Avec Scilab, c’est : ü S= abs ( fft (s) ); q On étudie maintenant la fonction fft de Scilab Composition fréquentielle du signal audio, séance 4 SSII, oct. 2013 - page 2

Utiliser fft() sur un signal constant Dans TD n° 1, on a calculé la TFD d’un signal constant Retrouver a, fe, N, fréquence du signal, résolution fréquentielle ? Composition fréquentielle du signal audio, séance 4 SSII, oct. 2013 - page 3

Calculer plus de N valeurs de la TFD de s On calcule et on trace M=256 valeurs au lieu de 16. On divise le spectre affiché par N. Pourquoi ? Retrouver a, fe, N, fréquence du signal, résolution fréquentielle ? Composition fréquentielle du signal audio, séance 4 SSII, oct. 2013 - page 4

Augmenter la taille N de la fenêtre FFT On calcule et on trace N=64 valeurs au lieu de 16. Retrouver a, fe, N, fréquence du signal, résolution fréquentielle ? Composition fréquentielle du signal audio, séance 4 SSII, oct. 2013 - page 5

Effet de la forme de la fenêtre de FFT On remplace la fenêtre rectangulaire précédente par la fenêtre de Hamming. Composition fréquentielle du signal audio, séance 4 SSII, oct. 2013 - page 6

Tracé du spectre entre –fe/2 et fe/2 ou entre 0 et fe/2 On peut choisir la période de TFD(s) entre –fe/2 et fe/2 au lieu de 0 et fe, ou d’afficher une demi période seulement Composition fréquentielle du signal audio, séance 4 SSII, oct. 2013 - page 7

Signal composé d’une fréquence non nulle Forme et taille de fenêtre ? Résolution fréquentielle ? a 0 ? fe ? Composition fréquentielle du signal audio, séance 4 SSII, oct. 2013 - page 8

Plusieurs composantes fréquentielles Forme et taille de fenêtre ? Résolution fréquentielle ? a 0 ? fe ? Composition fréquentielle du signal audio, séance 4 SSII, oct. 2013 - page 9

Tracé du spectrogramme avec Scilab Composition fréquentielle du signal audio, séance 4 SSII, oct. 2013 - page 10

Représentation 3 D du spectrogramme q pour le signal vocal, on sait que la durée de la fenêtre d’analyse ne doit pas dépasser 30 ms (? ) Ø Ø si fe=8 k. Hz, c’est une fenêtre de 240 échantillons. On calcule la TFD de la fenêtre, on déplace la fenêtre et on recommence On regroupe les résultats dans un spectrogramme, en 3 D (cf. ci-dessous) ou en 2 D (cf. Goldwave) Ø Quelle est ici la résolution fréquentielle ? q Comment obtenir une fenêtre de 20 ms, sachant que fe=22050 Hz ? Donner la résolution fréquentielle. q Voici le spectrogramme de piano_c 3. wav tracé par Wave. Lab : retrouver les informations de fréquence fondamentale, durée du signal, enveloppe … Composition fréquentielle du signal audio, séance 4 SSII, oct. 2013 - page 11

Exploitation du tracé du spectre d'amplitude q sur les tracés suivants, retrouver : fe, N, a 0 et f 0, la durée de la fenêtre temporelle et l'axe de symétrie. Que vaut Df ? Quelle est la relation entre les deux tracés ? fe=8000, N=32, s=0. 25*cos(2*pi*500*t) Composition fréquentielle du signal audio, séance 4 SSII, oct. 2013 - page 12