Experimentos Fatoriais Hierrquicos Alan Birck Ceclia Martins Introduo

Experimentos Fatoriais Hierárquicos Alan Birck Cecília Martins

Introdução • Experimento Fatorial: as características (fatores) não dependem entre eles. Todos fatores estão no mesmo nível. • Experimento Fatorial Hierárquico: quando um fator está dentro de outro fator. Os fatores estão em níveis diferentes.

Fatorial Hierárquico com 2 estágios • Os níveis do fator B são similares, mas não idênticos para diferentes níveis de outro fator A. • Ou seja, um fator está dentro de outro fator

Fatorial Hierárquico com 2 estágios • Exemplo: Uma companhia compra matéria-prima de 3 fornecedores diferentes. A companhia deseja determinar se a pureza da matériaprima é a mesma para cada fornecedor. Existe 4 lotes de matérias-prima disponível de cada fornecedor e 3 determinação de pureza em cada lote.

Exemplo Fornecedor 2 Fornecedor 1 Fornecedor 3 Lote 1 Lote 2 Lote 3 Lote 4 Y 111 Y 112 y 113 Y 121 Y 122 y 123 Y 131 Y 132 y 133 Y 141 Y 142 y 143 Y 211 Y 212 y 213 2121 Y 222 y 223 y 231 Y 232 y 233 Y 241 Y 242 y 243 Y 311 Y 312 y 313 Y 321 Y 322 y 323 Y 331 Y 332 y 333 Y 341 Y 342 y 343

Exemplo Fornecedor 3 Fornecedor 2 Fornecedor 1 Lote 2 Lote 3 Lote 4 Lote 5 Lote 6 Lote 7 Lote 8 Lote 9 Lote 10 Lote 11 Lote 12 Y 111 Y 112 y 113 Y 121 Y 122 y 123 Y 131 Y 132 y 133 Y 141 Y 142 y 143 Y 251 Y 252 y 253 Y 261 Y 262 y 263 Y 271 Y 272 y 273 Y 281 Y 282 y 283 Y 391 Y 392 y 393 Y 3101 Y 3102 y 3103 Y 3111 Y 3112 y 3113 Y 3121 Y 3122 y 3123

Fatorial Hierárquico com 2 estágios Modelo linear yijk = μ + αi + βj(i) + εijk μ é a média αi é o ef. do i-ésimo nível do fator A βj(i) é o ef. do j-ésimo nível do fator B dentro do i-ésimo nível do fator A εijk é o erro i= 1, 2, . . . , a j= 1, 2, . . . , b k=1, 2, . . . , r

2 fatores Fatores Mod. I ou Mod. II ou Mod. Misto Mod. Fixo Mod. Aleat. A Fixo Aleatório Fixo B fixo Aleatório

Modelo I (A e B fixos) • Suposições: εijk ~ N(0, σ2) independentes yijk ~N(μ + αi + βj(i) , σ2) independentes • Restrições: ; para todo i

Modelo I (A e B fixos) • Hipóteses H 0: α 1= α 2=. . . = do fator A) αa= 0 (não existe efeito H 0: β 1(i)= β 2(i)=. . . = βb(i)=0 (não existe efeito do fator B dentro do i-ésimo nível do fator A, para todo i )

Modelo II (A e B aleatórios) • Suposições: αi~N(0, σ2 A) independentes βj(i)~N(0, σ2 B) independentes εijk ~ N(0, σ2) independentes αi , βj(i) e εijk são independentes yijk ~N( μ ; σ2+σ2 A+σ2 B) e indep. se estão em caselas diferentes

Modelo II (A e B aleatórios) • Restrições: não tem restrições. • Hipóteses: H 0 : σ2 A =0 H 0 : σ2 B = 0

Modelo Misto (A fixo e B aleatório) • Suposições: βj(i)~N(0, σ2 B) independentes εijk ~ N(0, σ2) independentes βj(i) e εijk são independentes yijk ~N( μ+ αi ; σ2+σ2 B) e indep. se estão em caselas diferentes

Modelo Misto (A fixo e B aleatório) • Restrições: • Hipóteses: H 0: α 1= α 2=. . . = do fator A) H 0 : σ2 B =0 αa= 0 (não existe efeito

Análise de Variância para 2 fatores Causas de variação G. L. SQ QM A a-1 SQA QMA B(A) a(b-1) SQB(A) QMB(A) Erro ab(r-1) SQE QME Total abr-1 SQTotal

Análise de Variância para 2 fatores C. de var. A B(A) Erro Total Quadrados Médios Esperados Mod. II Mod. Misto

Análise de Variância para 2 fatores Causas de Variação A B(A) Erro Mod. I QMA QME QMB(A) QME F Mod. II e Misto QMA QMB(A) QME Regra para construção dos QM Esperados: o fator (A) terá o componente do subfator (B) se o subfator (B) for aleatório.

Estimação dos componentes de Variância

Soma de quadrados • As expressões são calculadas de forma usual:

exemplo(continuando o anterior) • Companhia compra matéria-prima, em lotes, de 3 diferentes fornecedores. A companhia deseja determinar se a pureza de matéria-prima é a mesma para cada fornecedor. Dos lotes existentes de cada fornecedor, selecionou-se aleatoriamente 4 lotes para cada um dos 3 fornecedores, e dos lotes selecionados foram tomadas 3 determinações de pureza. Os dados foram codificados: yijk= pureza – 93.

exemplo (dados já codificados) Fornecedor 1 Fornecedor 2 lote 1 lote 2 lote 3 lote 4 1 -2 -2 1 1 0 -1 -3 0 4 -2 4 0 3 0 -4 1 0 -3 2 -2 2 r=3; a=3; b=4 Fornecedor 3 lote 1 lote 2 lote 3 lote 4 2 -2 1 3 4 0 -1 2 0 2 2 1

exemplo • No SAS(Analyst): • Statistcs/ANOVA/mixed model/ dep: resposta class: A, B MODEL: Fixed effects: A; Random effects: B(A) OPTION: type 1 TE exemplo ST: type 1 e “test of variance components” PLOTS: RESIDUAL/Residual plot (including random effects) 1 -plot residuals x predicted 2 -plot residuals x independents

exemplo (resultados) c. v. g. l SQ QM fornec. 2 15, 06 lotes/fornec. 9 F p 7, 53 0, 97 0, 41 69, 92 7, 77 2, 94 0, 01 63, 33 2, 64 Erro 24 Total 35 148, 31 E(QM) • Não se evidencia diferença entre os fornec. quanto à pureza da matéria-prima fornecida; • A pureza da matéria-prima difere de lote a lote para um mesmo fornecedor, ou seja, existe variabilidade na pureza de lote a lote para cada fornecedor.

Gráfico dos resíduos x preditos

Gráfico dos resíduos x fornecedores

Observação • Interação → não podemos fazer interação pois se fizéssemos, estaríamos comparando, além de: Se há diferença entre os fornec. 1, 2 e 3(correto) • Compararíamos: Se há diferença entre os lotes 1, 2, 3 e 4 de cada fornecedor e se o fornecedor está na dependência do lote e vice-versa Essa comparação não pode ser feita pois cada lote pertence a um único fornecedor.

Fatorial Hierárquico com m estágios • É o mesmo raciocínio que o delineamento fatorial hierárquico com 2 fatores, com uma diferença que tem um fator C a mais, e esse fator C está dentro de um outro fator B, que por sua vez, está dentro de um fator A.

Fatorial Hierárquico com m estágios • Exemplo: Desejamos investigar a dureza de duas diferentes formulação de liga. Três calores de cada liga é preparado, duas barras de metal fundido são selecionada aleatoriamente dentro de cada calor testado, e duas medidas de dureza são medida em cada barra. (Delineamento fatorial Hierárquico em 3 estágios com 2 repetições).

exemplo Formulação da liga 1 calor 1 Barra 1 Formulação da liga 2 calor 2 Barra 2 Y 1111 y 1112 Barra 1 Y 1121 y 1122 calor 3 Barra 2 Y 1211 y 1212 Barra 1 Y 1221 y 1222 calor 1 Barra 2 Y 1311 y 1312 Y 1321 y 1322 Barra 1 calor 2 Barra 2 Y 2111 y 2112 Barra 1 Y 2121 y 2122 calor 3 Barra 2 Y 2211 y 2212 Barra 1 Y 2221 y 2222 Barra 2 Y 2311 y 2312 Y 2321 y 2322

Fatorial Hierárquico com 3 estágios Modelo linear (DCC) yijkl = μ + αi + βj(i) + ck(j)+ εijkl μ é a média αi é o ef. do i-ésimo nível do fator A βj(i) é o ef. do j-ésimo nível do fator B dentro do i-ésimo nível do fator A ck(j) é o ef. do k-ésimo nível do fator C dentro do j-ésimo nível do fator B(e do i-ésimo nível do fator A-Montgomery) εijkl é o erro i= 1, 2, . . . , a j= 1, 2, . . . , b k=1, 2, . . . , c l=1, 2, . . . , r

3 fatores Fatores Mod. I ou Mod. Fixo Mod. II ou Mod. Aleat. A Fixo Aleatório Fixo B Fixo Aleatório Fixo C Fixo Aleatório Mod. Misto

Modelo I (A, B e C fixos) • Suposições: εijkl ~ N(0, σ2) independentes yijkl ~N(μ + αi + βj(i)+ck(j) , σ2) independ. • Restrições: ; para todo i ; para todo j

Modelo I (A, B e C fixos) • Hipóteses: H 0: α 1= α 2=. . . = α a= 0 H 0: β 1(i)= β 2(i)=. . . = βb(i)=0; para todo i H 0: c 1(j)= c 2(j)=. . . = cc(j)=0; para todo j

Modelo II (A, B e C aleatórios) • • Suposições: αi~N(0, σ2 A) independentes βj(i)~N(0, σ2 B) independentes c k(j) ~N(0, σ2 C) independentes εijkl ~ N(0, σ2) independentes αi , βj(i) , c k(j) e εijkl são independentes yijkl ~N( μ ; σ2+σ2 A+σ2 B+ σ2 C) e indep. se estão em caselas diferentes

Modelo II (A, B e C aleatórios) • • • Restrições: não tem restrições. Hipóteses: H 0: σ2 A = 0 H 0: σ2 B = 0

Modelo Misto(A fixo, B e C aleatórios) • • • Suposições: βj(i)~N(0, σ2 B) independentes ck(j)~N(0, σ2 C) independentes εijkl ~ N(0, σ2) independentes βj(i) ck(j) e εijkl são independentes yijkl ~N( μ+ αi ; σ2+σ2 B+ σ2 C) e indep. se estão em caselas diferentes

Modelo Misto(A fixo, B e C aleatórios) • Restrições: • Hipóteses: • H 0: α 1= α 2=. . . = αa= 0 (não existe efeito do fator A) • H 0: σ2 B = 0 • H 0: σ2 C = 0

Análise de Variância para 3 fatores Causas de variação G. L. SQ QM A a-1 SQA QMA B(A) a(b-1) SQB(A) QMB(A) C(B) ab(c-1) SQC(B) QMC(B) Erro abc(r-1) SQE QME Total abcr-1 SQTotal

Análise de Variância para 3 fatores Quadrados médios esperados c. v. A B(A) C(B) Erro Total Modelo II

Análise de Variância para 3 fatores c. v. A B(A) C(B) Erro Total Quadrado Médio esperado Modelo Misto

Análise de Variância para 3 fatores Causas de Variação A B(A) C(B) Erro F Mod. I QMA QME QMB(A) QME QMC(B) QME Mod. II e Misto QMA QMB(A) QMC(B) QME • Regra para construção dos QM Esperados: o fator (A) terá o componente do subfator (B) e do subsubfator C, se o subfator e o subsubfator forem aleatórios. O subfator (B) terá componente do subsubfator(C) se o subsubfator for aleatório.

Soma de quadrados • As expressões são calculadas de forma usual:

exemplo (super fictício) • 2 fazendas, uma em cada região • escolhidas, aleatoriamente, 3 árvores em cada fazenda • dentro de cada árvore, foram escolhidas 3 folhas, aleatoriamente • de cada folha foi medida, em 2 lugares diferentes, a quantidade de fungo • var. resposta: quantidade de fungos • fator fixo: fazendas • fatores aleatórios: árvores e folhas

exemplo Fazenda 1 árvore 2 árvore 3 Folha 1 Folha 2 Folha 3 Fazenda 2 Y 1111 y 1112 Y 1121 y 1122 Y 1211 y 1212 Y 1221 y 1222 Y 1311 y 1312 Y 1321 y 1322 árvore 1 árvore 2 árvore 3 Folha 1 Folha 2 folha 3 Y 1111 y 1112 Y 1121 y 1122 Y 1211 y 1212 Y 1221 y 1222 Y 1311 y 1312 Y 1321 y 1322

exemplo • • No SAS(Analyst): Statistcs/ANOVA/mixed model/ dep: resposta class: A, B, C MODEL: Fixed effects: A; Random effects: B(A), C(B) OPTION: type 1 TE exemplo ST: type 1 e “test of variance components” • PLOTS: RESIDUAL/Residual plot (including random effects) • 1 -plot residuals x predicted • 2 -plot residuals x independents

Experimento Fatorial Hierárquico Cruzado • Esse delineamento é usado quando temos um fator dentro de outro e também temos dois fatores que podem ser cruzados (pois estão no mesmo nível).

Experimento Fatorial Hierárquico Cruzado • Exemplo:

Experimento Fatorial Hierárquico Cruzado Modelo linear i=1, 2, . . . , a ; j=1, 2, . . . , b ; k=1, 2, . . . , c ; l=1, 2, . . . , r

Experimento Fatorial Hierárquico Cruzado • Hipóteses: H 0: A 1= A 2 =. . . =Aa =0 H 0: B 1= B 2 =. . . =Bb =0 H 0: AB 11=. . . =ABab =0 H 0 : σ2 C = 0 H 0: σ2 AC = 0

Análise de variância para experm. fatorial hierárquicos cruzados c. v. A B AXB C(B) Ax. C(B) Erro Total g. l. a-1 b-1 (a-1)(b-1) b(c-1) b(a-1)(c-1) abc(r-1) abcr-1 SQ SQA SQB SQAx. B SQC(B) SQAx. C(B) SQE QM QMA QMB QMAx. B QMC(B) QMAx. C(B) QME

Análise de variância para experm. fatorial hierárquicos cruzados c. v. A B Ax. B C(B) Ax. C(B) Quadrado Médio esperado F QMAx. C(B) QMB QMC(B) QMAx. B QMAx. C(B) QME

Análise de variância para experm. fatorial hierárquicos cruzados • Regras para obtenção dos expressões de soma de quadrados e graus de liberdade: Regra 1: subtrai-se uma das letras que não aparecem dentro dos parênteses no índice dos efeitos; Regra 2: desenvolve-se algebricamente as expressões obtidas pela regra 1; • g. l. : substituindo-se os índices pelas suas dimensões na regra 1 obtém-se os g. l. ; • SQ: considerando-se G e os índices de operação da regra 2 obtem-se as expressões das SQ.

exemplo Fator A: fixture (1, 2 e 3) Fator B: layouts (1 e 2) Fator C: operadores (4 para cada layout) 2 repetições

exemplo layout 1 layout 2 oper. 1 2 3 4 Fix. 1 22 23 28 25 26 27 28 24 24 24 29 23 28 25 25 23 30 29 30 27 29 30 24 28 27 28 32 25 28 27 23 30 25 24 27 26 24 28 21 22 25 23 25 24 27 27 Fix. 2 Fix. 3

exemplo • • • No SAS(Analyst): Statistcs/ANOVA/mixed model/ dep: resposta class: A, B MODEL: Fixed effects: A, B, A*B Random effects: C(B), A*C(B) A*C+A*B*C OPTION: type 1 TE exemplo ST: type 1 e “test of variance components” PLOTS: RESIDUAL/Residual plot (including random effects) 1 -plot residuals x predicted 2 -plot residuals x independents

exemplo c. v. g. l. SQ QM F fixture 2 82, 80 41, 40 7, 54 0, 01 layout 1 4, 08 4, 09 0, 34 0, 58 operator(layout) 6 71, 91 11, 99 5, 15 <0, 01 fixture*layout 2 19, 04 9, 52 1, 73 0, 22 fixture*oper(layout) 12 [F*O + F*L*O] Erro 24 65, 84 5, 49 2, 36 0, 04 56, 00 2, 33 Total 299, 67 47 p

exemplo • Conclusões: • Olhando nos totais das fix. podemos notar que as fix. 1 e 3 são menores que a 2. • Um operador é melhor se ele usar um tipo de fixação • Pode ser que esses oper*fix pode sumir se nós treinarmos os operadores.