Experimento Aleatrio Experimento aleatrio um procedimento cujo resultado

Experimento Aleatório • Experimento aleatório é um procedimento cujo resultado é incerto – Exemplos: • Jogar uma moeda • Sortear um número inteiro de um a cem • Lançar um dado

Espaço amostral (ou de probabilidades) • O conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório é o espaço amostral (S) – Jogar uma moeda • S = {cara, coroa} – Sortear um número inteiro de um a cem • S = {1, 2, . . . , 100} – Lançar um dado • S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Evento • Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral – E = {cara} – E = {25, 27, 26} – E = {3, 5, 1} (sortear cara) (sortear no. entre 24 e 28) (lançar no. impar no dado)

União de eventos • Ocorre quando pelo menos um dos eventos A e B ocorre A B

Interseção de Eventos • Ocorre quando os dois eventos A e B ocorrem simultaneamente A B

Complemento do evento • Ocorre quando não ocorre o evento a A’

Eventos mutuamente excludentes A e B são eventos mutuamente excludentes se a ocorrência de um deles ocorre, implica necessariamente na não-ocorrência do outro (i. e. , não há elementos comuns entre eles) • Exemplo: os resultados cara e coroa ao jogar uma moeda.

Probabilidade (objetiva) • Proporção de ocorrência de um evento • Freqüência relativa: (resultados favoráveis) / (resultados possíveis) • Assume valores entre 0 e 1

Probabilidade (subjetiva) • Interpretação subjetiva: é uma estimativa do que o indivíduo pensa que seja a viabilidade de ocorrência de um evento. – Exemplo: Há 30% de chance de chuva nas próximas 24 horas

Probabilidade da União • Eventos mutuamente excludentes, i. e. , P(A B) =0 P(A B) = P(A) + P(B) • Eventos não excludentes P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)

Probabilidade do complemento • Complemento de A: qualquer evento que não seja A P(não A) = 1 – P(A), ou P(A’) = 1 – P(A)

Probabilidade Condicionada • Probabilidade de um evento A, dado que aconteceu um outro evento B P(A | B) = P(A B) / P(B)

Probabilidade da Interseção • Ocorrência simultânea de A e B P(A B) = P(A | B) * P(B)

Eventos independentes • A e B são independentes se a ocorrência de um deles não altera a probabilidade de ocorrência do outro. Formalmente: P(A | B) = P(A) • Pela expressão anterior, se A e B são independentes: P(A B) = P(A). P(B) – Note que neste caso A B denota a possibilidade de ocorrência simultânea dos dois eventos

Exercício: Cálculos com probabilidade União e interseção de eventos; probabilidade condicional Exercício em planilha de cálculo

Variável aleatória • O resultado de um experimento aleatório é designado variável aleatória (X)

Função densidade de probabilidade A função densidade de probabilidade associa cada possível valor da variável aleatória (X) à sua probabilidade de ocorrência P(X)

Tipos de Variável Aleatória • Variável aleatória discreta – Os resultados possíveis são finitos e podem ser enumerados (jogadas de moedas, dados, etc. ) • Variável aleatória contínua – Os resultados possíveis são infinitos e não podem ser enumerados (ex. : peso, altura, rendimento, saldo, duração de percurso, etc. )

Cálculos com distribuições de probabilidade • Distribuição binomial • Distribuição normal

Distribuição Binomial (discreta) • De cada 5 clientes que entram numa certa loja, 2 realizam uma compra. P(compra) = P(C) = 0, 40 • Qual a probabilidade dos dois primeiros clientes realizarem compras? S = {(CC), (CC’), (C’C’)}

Binomial: forma geral • E se quisermos saber as probabilidades de X compras dos 10 primeiros clientes? Ou dos 100 primeiros? P(x) = Cn, x px q(n-x) Onde Cn, x = n! / (x!(n-x)!) p = probabilidade de sucesso q = (1 –p) = probabilidade de insucesso

Binomial: parâmetros • Para uma variável com probabilidade de sucesso p, em n tentativas: • Média = np • Desvio-padrão = (npq)1/2

Exercício: distribuição binomial Funções de planilha: Função DISTRBINOM

Distribuição Normal

Distribuição Normal

Distribuição Normal • Expressão formal

Distribição Normal: propriedades • Área total sob a curva é 1 • Cálculos de probabilidades dentro de intervalos (distr. Contínua) • P(a X b) é a área sob a curva entre a e b • Distribuição simétrica: – P(X a) = P(X -a) – P(X<μ) = 0, 50 = 50%

Distribição Normal: mais propriedades • P(a X b) = P(X b) - P(X a) – Figura • Maior concentração de freqüências no centro da distribuição • Cálculo das probabilidades notáveis sob a curva normal: função DIST. NORM – (11 dist. prob)

Normal Reduzida • Antes dos aplicativos de estatística, cálculos da distribuição normal eram feitos com uma tabela • Essa tabela dava os valores da normal reduzida ou padronizada – Média zero – Variância e desvio-padrão 1 • Hoje a normal reduzida não é mais tão necessária, mas ajuda a perceber os valores notáveis

Normal Reduzida

Exercício • Braule: 11 exercícios Braule • Cálculo das probabilidades notáveis sob a curva normal: função DIST. NORM