Exkurs Statistische Methoden Wahrscheinlichkeiten Statistische Tests Abschtzung von

Exkurs: Statistische Methoden ● Wahrscheinlichkeiten ● Statistische Tests ● Abschätzung von Parametern ● Abschätzung von Intervallen Martin zur Nedden, HU Berlin Physik an Hadron-Collidern, WS 2006/2007 1

Ereignis-Selektion Wahrscheinlicheit innerhalb der Schnitte von: H 1 H 0 Martin zur Nedden, HU Berlin akzeptiert Physik an Hadron-Collidern, WS 2006/2007 2

Andere Möglichkeiten zur Selektion Or maybe use some other sort of decision boundary: linear nicht-nlinear H 1 H 0 accept How can we do this in an ‘optimal’ way? Martin zur Nedden, HU Berlin Physik an Hadron-Collidern, WS 2006/2007 3

Significanzniveau und Power eines Tests Wahrscheinlichkeit H 0 zu verwerfen, falls H 0 wahr wäre (Fehler der 1. Art): (Signifikanzniveau) Wahrscheinlickeit H 0 zu akzeptieren, falls H 1 war wäre (Fehler der 2. Art): (1 - b = Power) Martin zur Nedden, HU Berlin Physik an Hadron-Collidern, WS 2006/2007 4

Neuroale Netzwerke: Das Multi-Lagen Perzeptron Verwende logische Sigmoid-Aktivatorfunktion: Definiere Werte für ‘hidden nodes’ Der “Network output” ist dann: Martin zur Nedden, HU Berlin Physik an Hadron-Collidern, WS 2006/2007 5

Die Signifikanz eines Peaks Angenommen, wir messen einen Wert x für jedes Ereignis, und wir finden: Jedes beobachtete Bin ist Poisson-verteilt, Mittelwerte sind druch die gestrichelte Linie gegeben. In den beiden Bins mit dem Peak werden 11 Einträge mit b = 3. 2. gefunden. Der p-Wert für die s = 0 Hypothese ist: Martin zur Nedden, HU Berlin Physik an Hadron-Collidern, WS 2006/2007 6

Eigenschaften von Estimatoren Wenn wir die ganze Messun wiederholen würden, wären die Estimatarone durch eine pdf beschrieben: beste grosse Varianze gebiast Wollen kleinen (oder keinen) Bias (systematiche Fehler): → Mittelwert der wiederholten Messung sollte zum wahren Wert konvergieren. Wollen kleine Varianz (statistischer Fehler): → kkleiner Bias und Varianz sind typischerweise in Konflikt zueiander Martin zur Nedden, HU Berlin Physik an Hadron-Collidern, WS 2006/2007 7

Maximum Likelihood Estimatoren Hypothetisches q sei nahme beim wahren Wert: Hohe Wahrscheinlichkeit ähnliche Werte wie in den aktuellen Daten zu messen Definieren die Maximum-Likelihood (ML) Estimator(en) als die Werte der Parameter, für die Wahrscheinlichkeit maximal wird. Martin zur Nedden, HU Berlin Physik an Hadron-Collidern, WS 2006/2007 8

Methode der kleinsten Quadrate N gemessene Werte y 1, . . . , y. N, (Gauss-verteilt) Bekannte Werte von x 1, . . . , x. N Sowohl von deren Varianzen: Abschätzung von q mittels einer Fit-Funktion λ Likelihood-Funktion: Martin zur Nedden, HU Berlin Physik an Hadron-Collidern, WS 2006/2007 9