Exerccios Anlise de algoritmos Ordenao Eduardo Laber Cap

Exercícios Análise de algoritmos & Ordenação Eduardo Laber

Cap 2 - Tardos Exercício 3 f 2 < f 3 < f 6 < f 1 <f 4 <f 5

Cap 2 - Tardos Exercício 4 g 3 < g 4 < g 1 < g 5 < g 2 < g 7 < g 6

Cap 2 - Tardos Exercício 5 a) Verdadeiro, assumindo g(n)>=1. log f(n) <= log (c. g(n)) <= log c + log g(n) <= d log g(n) para d > log c a) Falso. f(n)=4 n 2 e g(n)=n 2 b) Verdadeiro. f(n)2 <= c 2 g(n) 2 < d. g(n) 2 para d>c.

Cap 2 - Tardos Exercício 6 a) O(n 3) b) Para mostrar (n 3), considere i variando de 1 a n/4 e j variando de n/4 a n c) For i=1, 2, . . . , n do B[i, i] A[i] For i=1, 2, . . . , n For j=i+1, i+2, . . . , n B[i, j] B[i, j-1]+A[j] O(n 2)

Cap 2 - Tardos Exercício 8 • Enquanto o primeiro vazo não quebra, jogar de alturas n 0. 5, 2 n 0. 5, …, n 0. 5 • Se ele quebrar ao jogar de altura i. n 0. 5 – Jogar de alturas (i-1)n 0. 5 , (i-1)n 0. 5 +1 , (i-1)n 0. 5 +2, … até ele quebrar • Total de passo <= 2 n 0. 5

Exercícios Extras • Escreva o pseudo-código da operacão de remover o elemento A[i] de um heap armazenado em um vetor A[1. . n]

Exercício • Projete um algoritmo para fazer um merge de k listas ordenadas que execute em O(n log k), aonde n é o total de elementos nas k listas

Solução • Seja L(1), . . . , L(k) as k listas • Remova o primeiro elemento de cada lista e construa um heap com eles: O(k) • Para i=1, . . . , n – Remova o menor elemento do heap e insira na lista ordenada. Assuma que este elemento veio da lista j; O(log k) – Remova o primeiro elemento da lista L(j) e insira no heap. O(log k)

Exercício • Mostre como ordenar n inteiros no intervalo [1, n 2] em tempo linear O(n)

Solução • Solução – Crie vetores B e C com n posições, indexadas de 0 a n-1. Cada posição pode armazenar uma lista de inteiros – Percorra o vetor A inserindo A[i] na lista B[i mod n]. – Para i variando de 0 a n-1 • Para cada elemento x da lista B[i] faça Insira x no final da lista C[ x div n] Para i variando de 0 até n-1 • Para cada elemento x da lista C[i] faça Imprima [x]

Exercício • A) Mostre que para fazer o merge de duas listas com n elementos é necesário realizar pelo menos 2 n-1 comparações no pior caso. • B) Mostre que para fazer o merge de duas listas, uma com n elementos e outra com m elementos, é necesário realizar pelo menos comparações no pior caso.

Solução • Considere as duas listas A= a(1)<. . . < a(n) e B=b(1) <. . . < b(n) de n elementos • Seja X a ordem a(1)<b(1)<a(2)<b(2) <. . . <a(n)<b(n) • Seja Y(j), j=1, . . . , n, a ordem idêntica a ordem X, exceto pelo fato que a(j) > b(j) • Seja Z(j), j=2, . . , n, a ordem idêntica a ordem X, exceto pelo fato que a(j) < b(j-1)

Solução • Se o algoritmo não comparar a(j) com b(j) ele não tem como diferenciar X de Y(j) • Se o algoritmo não comparar a(j) com b(j 1) ele não tem como diferenciar X de Z(j) • Logo são necessárias 2 n-1 comparações

Exercício • Perdido em uma terra muito distante, você se encontra em frente a um muro de comprimento infinito para os dois lados (esquerda e direita). Em meio a uma escuridão total, você carrega um lampião que lhe possibilita ver apenas a porção do muro que se encontra exatamente à sua frente (o campo de visão que o lampião lhe proporciona equivale exatamente ao tamanho de um passo seu). Existe uma porta no muro que você deseja atravessar. Supondo que a mesma esteja a n passos de sua posição inicial (não se sabe se à direita ou à esquerda), elabore um algoritmo para caminhar ao longo do muro que encontre a porta em O(n) passos. Considere que n é um valor desconhecido (informação pertencente à instância). Considere que a ação composta por dar um passo e verificar a posição do muro correspondente custa O(1).

Solução p=0 Enquanto não encontrar o muro Ande até a posição 2 p. Se encontrar o muro no caminho pare Ande até a posição -2 p. Se encontrar o muro pare p++ Fim Enquanto Assuma que a porta esta na posição + n. Seja p* tal que 2 p*-1<n<=2 p* O algoritmo anda no máximo 3 2 p*+1 +4. 2 p*+1 para encontrar o muro. Esse valor é menor que 14 n.

Exercício Analise a complexidade do algoritmo abaixo Leia(n); x 0 Para i 1 até n faça Para j i+1 até n faça Para k 1 até j-i faça x x + 1

Exercício • Projete o algoritmo mais eficiente que você conseguir para encontrar a mediana de um vetor de n elementos. Análise sua complexidade.

Solução • Ordene os elementos e retorne o elemento n/2 da lista ordenada – Complexidade: O(n log n) • Mais adiante no curso mostraremos um algoritmo O(n)

Exercício Dizemos que um vetor P[1. . m] ocorre em um vetor T[1. . n] se P[1. . m] = T[s+1. . s+m] para algum s. O valor de um tal s é um deslocamento válido. Projete um algoritmo para encontrar todos os deslocamentos válidos de um vetor e analise sua complexidade.

Exercício Seja A[1. . n] um vetor que pode conter números positivos e negativos. Projete um algoritmo complexidade O(n 3) determinar os índices i e j, com i<=j, tal que A[i] +. . . +A[j] é máximo. Tente reduzir a complexidade para O(n 2), depois para O(n log n) e então para O(n)

Exercício Resolvas as equações abaixo encontrando uma função f(n) tal que T(n) = (f(n)) a) b) c) d) T(n)=2. T(n/2) + n 2 para n>1; T(1)=1 T(n) = 2. T(n/2) + n, para n>1; T(1)=1 T(n)=T(n/2) + 1, para n>1; T(1)=1 T(n)=T(n/2) + n, para n>1; T(1)=1

Exercício Seja uma matriz quadrada A com n 2 números inteiros que satisfaz as segintes propriedades (i) A[i, j] <= A[i+1, j] para 1<=i<=n-1 e 1<=j<=n (ii) A[i, j]<=A[i, j+1], para 1<=i<=n e 1<=j<=n-1 a) Dado um elemento x, descreva um procedimento eficiente para determinar se x pertence a A ou não. Analise a complexidade do algoritmo proposto. b) Mostre que este problema é (n)

Solução a) Considere o procedimento abaixo Seja y o elemento do canto superior direito da matriz. Compara y e x • Se x>y, descarte a primeira linha e aplique o procedimento recursivamente para matriz restante. • Se x<y, descarte a última coluna e aplique o procedimento recursivamente para matriz restante. • Se x=y devolva a posição de y

Solução Análise • A cada passo o número de linhas ou de colunas da matriz diminui de 1, portanto o algoritmo executa no máximo 2 n passos.

Solução Lower Bound • Considere a seguinte entrada matriz: A[i, j] =0 se i+j<n+1, A[i, j] =n+1 se i+j>n+1 A[i, j] é um inteiro entre 1 e n se i+j=n+1 • Se x é um número entre 1 e n que não pertence a A, qualquer algoritmo tem que examinar todas as entradas A[i, j], com i+j=n+1 para concluir que x não esta em A. Logo, o problema é (n)

Exercício Seja A={a(1) < . . < a(n)} uma lista de números reais. A proximidade entre a(i) e a(j) é definida como |a(i)-a(j)|. a) Dados os inteiros j e k, encontre os k elementos de A mais próximos de A[j] em O(k).

Exercício Seja A[1. . n] um vetor com n números positivos e seja S[i]=A[1]+. . . +A[i]. • Encontre o índice i que minimiza Minimiza | S[i] – (A[i+1] +. . . +A[n]) |

Exercício Mostre que

Solução