Example 8 13 Determine the slope and deflection

Example 8 -13 Determine the slope and deflection at points C of the beam shown in the figure. Take E = 200 GPa and I = 250(106) mm 4 1 k. N/m B A C 8 m 8 m 1

SOLUTION 1 k. N/m B A C 4 k. N 12 k. N 8 m 8 m M Real beam B C x (m) A -32 B A C Conjugate beam -32/EI 8 m 8 m 2

85. 33/EI B´y Ax B A Ay 128/EI 8 m B´x -32/EI + MA = 0: 128 2 ( 8) 0 EI 3 85. 33 B' y EI 8 B' y B 8 m M´C C -32/EI V´C (3/4)(8) = 6 m 1 32 85. 33 (8)( ) 3 EI EI + Fy = 0: 170. 67 V 'C C EI 170. 67 0. 00341 rad (200)(250) + MC = 0: 85. 33 (8) (6) 0 EI EI 1194. 62 M 'C C 0. 024 m EI (200)(250) M 'C 3

1 k. N/m B A C 8 m Real beam 8 m A B C= 24 mm C C = 0. 00341 rad tangent C 4

Example 8 -14 (a) Determine the deflection and slopes at point B. (b) Draw shear, bending moment diagrams and deflected curve. E = 200 GPa I = 200(106) mm 4 10 k. N • m A Hinge I 4 m B 20 k. N C 2 I 3 m 3 m 5

SOLUTION 10 k. N • m 20 k. N Hinge A B I 4 m 3 m 10 k. N • m C 2 I 3 m 2. 5 k. N 0 20 k. N 75 k. N • m 0 2. 5 k. N V (k. N) -2. 5 -22. 5 10 M (k. N • m) x (m) + x (m) -7. 5 -75 Deflected Curve 6

10 k. N • m A 10 M (k. N • m) 20 k. N Hinge I 4 m B 3 m 3 m + x (m) -7. 5 M diagram EI 10 EI C 2 I Real Beam -75 x (m) + 3. 75 EI 10 EI 37. 5 EI Conjugate Beam 3. 75 EI 37. 5 EI 7

20 (EI) C B A 92. 08 139. 58 (EI) -5. 625 -11. 25 (EI) 4 m 67. 5 0. 00168 BR (200) V´ (k. N • m 2) - M´ (k. N • m 3) Conjugate Beam 92. 08 EI (EI) 3 m 67. 5 EI -50. 625 (EI) 3 m 61. 875 EI + 72. 08 = -0. 0018 rad. BL (200) EI BR = 0. 00168 rad BL = 0. 0018 rad 8

• Slope before support B • Slope after support B 20 20 (EI) B A (EI) M´B 92. 08 20 V ' BL 0 EI EI + Fy= 0: A 92. 08 20 139. 58 V ' EI EI EI 72. 08 EI V ' BR 72. 08 0. 0018 rad (200) V´BR (EI) V ' BL 139. 58 92. 08 (EI) + Fy= 0: B A V´BL M´B BR V ' BR 0 67. 5 EI 67. 5 0. 00168 rad (200) B C BR = 0. 00168 rad BL = 0. 0018 rad 9

20 • Deflection at point B (EI) B A M´B V´BR 92. 08 139. 58 (EI) + MB = 0: M ' B (EI) 20 92. 08 (2. 667) (4) 0 EI EI M 'B 4 m 2. 667 m A M 'B B B = 7. 88 mm 315 EI 315 7. 88 mm EI (200) C 10

Example 8 -15 The girder in the figure below is made from a continuous beam and reinforced at its center with cover plates where its moment of inertia is larger. The 3 -m end segments have a moment of inertia of I = 60(106) mm 4, and the center portion has a moment of inertia of I´ = 120(106) mm 4. Determine the slope and deflection at point C, the maximum deflection. Take E = 200 GPa. 6 k. N 8 k. N C A 6 k. N D E B I = 120(106) mm 4. I = 60(106) mm 4. 3 m 1. 5 3 m 11

SOLUTION Conjugate Beam Real Beam 6 k. N 8 k. N D C A 6 4 10 k. N I = 60(10 ) mm. 3 m V (k. N) 10 10 +30 E I = 60(106) mm 4. 1. 5 Deflected curve A A C 3 m 10 k. N -6 36 + -30 -10 x (m) 45 EI -10 A 30 x (m) B E 3 m 2. 25 EI 22. 5 45 EI EI C 69. 75 EI D 1. 5 3 m 4 -4 M (k. N • m) B I = 120(106) mm 4. +6 30 30 15 18 15 30 EI EI EI 6 k. N D E B 69. 75 EI B 12

45 EI A 22. 5 EI 22. 5 45 EI EI D 1. 5 • Slope and deflection at point C E 45 EI A 69. 75 EI 24. 75 EI 69. 75 EI x (m) C V 'C x (m) C=0. 002063 rad C V´C 45 69. 75 (1) (3) 0 + MC = 0: M 'C EI EI C M 'C C= 13. 69 mm M´C 69. 75 EI 3 m 3 m + - 1 m B 24. 75 EI V´ (k. N • m 2) M´ (k. N • m 3) 2. 25 EI C 69. 75 EI 3 m 69. 75 EI 2. 25 EI 164. 25 EI (200)(60) 24. 75 EI (200) = -13. 69 mm = -0. 002063 rad 13

45 EI A 2. 25 EI 22. 5 45 EI EI C 69. 75 EI 3 m D 24. 75 EI A C 3 m V´ = 0 M´ (k. N • m 3) 2. 5 m 4. 5 m 69. 75 EI x (m) max = max = 15. 3 mm 22. 5 EI 69. 75 EI + - 45 EI B E 1. 5 2. 25 EI • Maximum deflection 24. 75 EI V´ (k. N • m 2) 69. 75 EI 2. 25 EI M´D D V´D = 0 0. 5 m 0. 75 m + MD = 0: 2. 25 22. 5 (0. 5) (0. 75) EI EI 45 69. 75 (2. 5) (4. 5) 0 EI EI 183. 375 M 'D EI 183. 375 D M 'D = -15. 3 mm (200)(60) M 'D 14