Examen partiel 1 Mercredi le 4 octobre de

Examen partiel #1 • Mercredi le 4 octobre de 13 h 30 à 15 h 20 • Salle 2850 du pavillon Vachon. • Matière de l'examen: - Livre de Lay: sections 1. 1 à 1. 9, 2. 1 à 2. 5. - Notes de cours (guide d'études): sections 1 à 5. - Devoirs: 1 à 3.

Rappel. . . • Opérations élémentaires sur les matrices: A+B, r. A, AB, AT, Ak • Inverse d’une matrice: A-1 • Caractérisation des matrices inversibles

Aujourd’hui • Matrices bloc. • Décomposition des matrices: – décomposition LU – application: réseau de résistances

5 a -Matrices bloc • Jusqu’à maintenant, nous avons considéré une matrice comme étant un ensemble de vecteurs colonne. • Nous allons examiner une autre façon de diviser une matrice.

Opérations sur les matrices bloc • A + B : on additionne bloc par bloc. • r. A : on multiplie chaque bloc de A par le scalaire r. • AB : on utilise la méthode habituelle ( « li-col » ). Il faut évidemment que la division selon les colonnes de A soit compatible avec la division selon les lignes de B.

Exemple de produit

Expansion de la matrice AB Si A est une matrice m n et B est une matrice n p, alors

Inverse d’une matrice bloc Soit une matrice bloc ayant la forme suivante où A 11 est une matrice p p et A 22 est une matrice q q. Son inverse est donné par

5 b. Décomposition des matrices • Décomposition LU Il est parfois utile de pouvoir séparer une matrice en un produit de matrices. Une des décompositions les plus utilisées est la décomposition LU, ou triangularisation. Il y en a d’autres; nous les verrons plus tard.

Décomposition LU • LU: « lower-upper » . • Une matrice admet une décomposition LU si: A = LU où

Pourquoi LU? • Ax = b Facile à résoudre si on connaît L et U. Ax = b LUx = b En posant Ux = y on obtient 2 systèmes simples car ils sont triangulaires.

Ux = y et Ly = b A x b U y L

Comment faire cette triangularisation? • Réduction de A sous forme échelon par des manipulations sur les lignes. – Mettre A sous forme échelon U par des opérations de remplacement de lignes (pas d’échange de ligne, sinon « LU permuté » ). – Choisir L tel que la même séquence d’opérations va produire I.

Application: circuits résistifs en cascade • Quadripôles résistifs. • Matrice de transfert. • Lois d’Ohm et de Kirchhoff.

Synthèse de circuits • La matrice de transfert décrit les propriétés d’entrée-sortie du circuit (réseau). • Un ingénieur doit d’abord déterminer si un tel circuit est réalisable. • Ensuite, il pourra décomposer la matrice, si possible en des composants déjà disponibles.

Applet Java http: //www. gel. ulaval. ca/~fortier/MAT 19961/Demo/resistance/

Prochain cours. . . • Solution itérative de systèmes linéaires. - Méthode de Jacoby - Méthode de Gauss-Seidel • Application à l’infographie.

Devoir 3 2. 4. 9 2. 4. 15 2. 4. 23 [M] 2. 5. 3 2. 5. 13 Problème Matlab Refaire le problème Matlab du devoir 2, mais en ajoutant la possibilité de tracer six courbes différentes i. e pour deux valeurs de a et trois valeurs de b. 2. 5. 25 2. 5. 29 [M] Lire les sections 2. 6 et 2. 8 du livre de Lay.