Evidncia e Credibilidade Teste Bayesiano de significncia para

Evidência e Credibilidade: Teste Bayesiano de significância para Hipóteses precisas

Evidência e Credibilidade: Teste Bayesiano de significância para Hipóteses precisas l l l Objetivo Definições Cálculo do teste Exemplo Comentários Bibliografia

Objetivo l Apresentar uma medida de evidência bayesiana (bayesiana porque trabalha com priores e posteriores) para hipótese nula precisa. l A intenção é dar uma alternativa bayesiana para testes de significância.

Definições l l l Hipóteses precisas: Temos uma hipótese precisa quando Ho (que chamamos de hipótes nula) apresenta um valor fixo. Exemplo: Ho : = 0. 3 vs H 1: 0. 3 , (onde representa a média de uma população) P-valor: medida de evidência dos dados , dado que a hipótese nula é verdadeira Probabilidade posteriori: probabilidade condicional de (parâmetro da distribuição) depois que observamos os dados.

Definições l Fator de Bayes: O fator de Bayes consiste na divisão entre a razão das densidades posteriores de 0 e 1 pela razão das priores 0 e 1. Essa medida é usada em favor da hipótese nula, como veremos abaixo: B= ( 0/x)/ ( 1/x) 0 / 1

Definições l Confiabilidade de um conjunto: Seja C um subconjunto de tal que, C= : ( /x) K( ) , onde K( ) é a maior constante tal que, P(C/x) 1 - P(C/x)= c ( /x)d , caso contínuo e = ( /x) , caso discreto C P(C/x) é a medida de confiabilidade do conjunto C.

Definições l Medida de evidência bayesiana - Ev (H) É uma medida de evidência dos dados a favor da hipótese nula, ou seja, quanto podemos acreditar que a hipótese nula proposta pelo teste é verdadeira. Ev (H)=1 – K*

Cálculo de Ev (H) l l l Definimos o teste de hipótese: Ho : = 0 vs H 1: 0 , 0 Rn, - representa a média de uma população X - espaço paramétrico Observamos uma amostra aleátoria de tamanho n da população X = (x 1 , x 2 , . . . , xn ) Consideramos como uma variável aleatória e definimos uma priori para que chamamos de 0

Cálculo de Ev (H) l Depois de observar os dados calculamos a função densidade posteriori , ( /x). Discutiremos nesse trabalho testes de hipótese precisa sob absoluta continuidade do modelo de probabilidade posteriore. l Definimos um conjunto T como sendo um subconjunto do espaço paramétrico, cuja a densidade posteriori é maior que .

Cálculo de Ev (H) l l Calculamos a confiabilidade de T : K*= T ( /x) , (integramos em todo cuja posteriore é maior que ) Calculamos f* (f*=f( *) ) que é o máximo da densidade posteriore sob a hipótese nula, ou seja, encontramos o * que maximiza a posteriore de , o valor f* será o definido anteriormente.

Cálculo de Ev (H) l Temos então o nosso T como o conjunto tangente à hipótese nula, cuja confiabilidade é K*, ou seja , temos o conjunto dos ’s, cuja posteriore é maior que f*= . l Calculamos Ev (H)=1 - K* e podemos concluir que : se temos T com alta probabilidade, significa uma baixa probabilidade para a região da hipótese nula.

Cálculo computacional de Ev (H) l Calculamos a medida de evidência em dois passos: 1. Calculamos * que maximiza a posteriori sob a hipótese nula. 2. Calculamos K*= ( /x) , onde ( /x) é igual a zero para todo , cuja ( /x) f( *) ou .

Exemplo Mostraremos um teste de proporção: Seja uma variável aleatória X com distribuição binomial (20, ) , seja “S” o número de sucessos observados. O espaço paramétrico será = 0 1 Usaremos como priori Pr =p =0. 5 e a densidade Uniforme para sob a hipótese alternativa. Teste : H 0: = 0. 5 vs H 1: 0. 5 Avaliaremos a medida de evidência apresentada no trabalho, o fator de Bayes, p-valor e PP(probabilidade posteriori de H 0)

Tabela de resultados: Exemplo

Comentários • A Medida de evidência em relação a Hipótese nula Ev(H) traz grandes vantagens por ter ser cálculo baseado nos dados da amostra, ou seja, dados observados, porém devemos levar em consideração a definição da priori dos parâmetros que deve ser adequada. • O p-valor tem a restrição de supor que a hipótese nula é verdadeira e não temos garantias para esta suposição.

Comentários • O valor da probailidade posteriori está diretamente ligada a priori definida para o parâmetro, tendo como vantagem ser uma medida calculada depois de observar os dados. • O fator de Bayes quando definimos uma priori igual a 1 pode ser considerada como uma razão de verossimilhanças que é bem aceito pela teoria frequentista, caso contrário precisamos definir prioris adequadas.

Bibliografia • James O. Berger: Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis. • Carlos alberto de Bragança Pereira and Julio Michael Ster: Evidence and Credibility-Full Bayesian Significance Test for Precise. • José M Bernardo and Raúl Rueda: Hypotheses Bayesian Hypothesis testing.