euler veya e says Cmp E 220 Gl

euler veya e sayısı Cmp. E 220 Gül Varol 2009400069 13. 12. 2010

e =2. 718 28182845904523536028747135266249775724709369995957496696762772407663035354759457138217852516642 74274663919320030599218174135966290435729003342952605956307381323286279434907632338298807531952510190115738341879307021 54089149934884167509244761460668082264800168477411853742345442437107539077744992069551702761838606261331384583000752044 93382656029760673711320070932870912744374704723069697720931014169283681902551510865746377211125238978442505695369677078 54499699679468644549059879316368892300987931277361782154249992295763514822082698951936680331825288693984964651058209392 39829488793320362509443117301238197068416140397019837679320683282376464804295311802328782509819455815301756717361332069 81125099618188159304169035159888851934580727386673858942287922849989208680582574927961048419844436346324496848756023362 48270419786232090021609902353043699418491463140934317381436405462531520961836908887070167683964243781405927145635490613 03107208510383750510115747704171898610687396965521267154688957035035402123407849819334321068170121005627880235193033224 74501585390473041995777709350366041699732972508868769664035557071622684471625607988265178713419512466520103059212366771 94325278675398558944896970964097545918569563802363701621120477427228364896134225164450781824423529486363721417402388934 41247963574370263755294448337998016125492278509257782562092622648326277933386566481627725164019105900491644998289315056 60472580277863186415519565324425869829469593080191529872117255634754639644791014590409058629849679128740687050489585867 17479854667757573205681288459205413340539220001137863009455606881667400169842055804033637953764520304024322566135278369 51177883863874439662532249850654995886234281899707733276171783928034946501434558897071942586398772754710962953741521115 13683506275260232648472870392076431005958411661205452970302364725492966693811513732275364509888903136020572481765851180 63036442812314965507047510254465011727211555194866850800368532281831521960037356252794495158284188294787610852639813955 99006737648292244375287184624578036192981971399147564488262603903381441823262515097482798777996437308997038886778227138 36057729788241256119071766394650706330452795466185509666618566470971134447401607046262156807174818778443714369882185596 70959102596862002353718588748569652200050311734392073211390803293634479727355955277349071783793421637012050054513263835 44000186323991490705479778056697853358048966906295119432473099587655236812859041383241160722602998330535370876138939639 17795745401613722361878936526053815584158718692553860616477983402543512843961294603529133259427949043372990857315802909 58631382683291477116396337092400316894586360606458459251269946557248391865642097526850823075442545993769170419777800853 62730941710163434907696423722294352366125572508814779223151974778060569672538017180776360346245927877846585065605078084 42115296975218908740196609066518035165017925046195013665854366327125496399085491442000145747608193022120660243300964127 04894390397177195180699086998606636583232278709376502260149291011517177635944602023249300280401867723910288097866605651 18326004368850881715723866984224220102495055188169480322100251542649463981287367765892768816359831247788652014117411091 36011649950766290779436460058519419985601626479076153210387275571269925182756879893027617611461625493564959037980458381 82323368612016243736569846703785853305275833337939907521660692380533698879565137285593883499894707416181550125397064648 17194670834819721448889879067650379590366967249499254527903372963616265897603949857674139735944102374432970935547798262 96145914429364514286171585873397467918975712119561873857836447584484235555810500256114923915188930994634284139360803830 91662818811503715284967059741625628236092168075150177725387402564253470879089137291722828611515915683725241630772254406 33787593105982676094420326192428531701878177296023541306067213604600038966109364709514141718577701418060644363681546444 00533160877831431744408119494229755993140118886833148328027065538330046932901157441475631399972217038046170928945790962 71662260740718749975359212756084414737823303270330168237193648002173285734935947564334129943024850235732214597843282641 42168487872167336701061509424345698440187331281010794512722373788612605816566805371439612788873252737389039289050686532 41380627960259303877276977837928684093253658807339884572187460210053114833513238500478271693762180049047955979592905916 55470505777514308175112698985188408718564026035305583737832422924185625644255022672155980274012617971928047139600689163 82866527700975276706977703643926022437284184088325184877047263844037953016690546593746161932384036389313136432713768884 10268112198912752230562567562547017250863497653672886059667527408686274079128565769963137897530346606166698042182677245 …(2 milyon basamak) 2

e SAYISI � Bu rakamlar Robert Nemiroff (George Mason University and NASA Goddard Space Flight Center) tarafından hesaplanmış, Jerry Bonnell (University Space Research Association and NASA Goddard Space Flight Center) tarafından kontrol edilmiştir. Hesaplama bir haftasonu VAX alfa sınıfı makinesi ile gerçekleşmiştir. Bir kez kontrol edilmiş olmasına rağmen doğruluğu garanti edilmemiştir. � http: //www. akademikmatematik. com/e-sayisi-euler. txt 3

Tarihi � e sabitine dolaylı olarak ilk değinen, İskoç matematikçi John Napier olmuştur. Napier, 1618'de logaritmalar üzerine yayımladığı bir kitabın ekinde, e sabitini kullanarak bazı hesaplar yapmıştır, fakat sabitin kendisiyle fazla ilgilenmemiştir. � e sayısını gerçek anlamda ilk keşfeden Jakob Bernoulli olmuştur. Bernoulli, e sayısını 1683'te birleşik faiz problemini incelerken keşfetmiş ve bu sayının yaklaşık değerini hesaplamıştır. � Sabite e ismini veren ise İsviçreli matematikçi Leonhard Euler'dir. Euler ilk olarak 1731'de Christian Goldbach'a yazdığı bir mektupta bu sabitten "e sayısı" diye bahsetmiştir. Euler öncesi ve sonrasında bu sabit için b ve c harfleri de kullanılmışsa da, sonuçta kabul edilen isim e olmuştur. 4

e SAYISI � Euler e sayısını, virgülden sonra 23. basamağına kadar hesaplayabilmiştir. Günümüzde ise e sayısının milyarlarca basamağı bilinmektedir. e'nin irrasyonel bir sayı olduğu Euler tarafından, aşkın bir sayı olduğu ise Fransız matematikçi Charles Hermite tarafından kanıtlanmıştır. 5

Nedir e sayısı? 6

1. � e sayısı doğal logaritmanın tabanıdır. � Diferansiyel denklemini sağlayan tek pozitif reel sayıdır. 7

2. � Aşağıdaki diferansiyel denklemi sağlayan tek pozitif reel sayıdır. 8

3. � Aşağıdaki limite eşittir. 9

4. � Aşağıdaki sonsuz toplama eşittir. 10

5. � Denklemini sağlayan tek pozitif reel sayıdır. 11

Bazı Uygulamalar 12

Birleşik Faiz Problemi � Jakob Bernouilli, e sabitini birleşik faiz problemini incelerken keşfetmiştir. Bu problem, basit bir örnekle anlatılabilir: � Elinde 1 lirası olan bir yatırımcı, parasını yılda %100 faiz veren bir bankaya yatırırsa, bir sene sonra 2 lirası olacaktır. Diğer yandan bu yıllık faiz %50 – %50 şeklinde yılda iki kez işlerse, yatırımcının yıl sonundaki parası (1 + ½)² = 2, 25 lira olacaktır. Benzer şekilde eğer faiz yılda dört kez %25 oranında işlerse, yatırımcının yıl sonundaki parası (1 + 1/4)4 = 2, 4414. . . lira olacak, faiz her ay %8, 333. . . oranında işlerse yıl sonundaki para (1 + 1/12)12 = 2, 6130. . . lira olacaktır. Faizin işleme süresini daha da kısaltırsak, her hafta işleyen faiz yıl sonunda 2, 6925. . . lira, her gün işleyen faiz yıl sonunda 2, 71453. . . lira verecektir. Faizin işleme süresi kısaldıkça, yıl sonundaki para 2 ve 3 arasında belli bir değere yakınsamaktadır. � Yakınsanan değer e sayısıdır. 13 �

Bernoulli Denemeleri e sayısı olasılık kuramında da çeşitli şekillerde karşımıza çıkar. Örneğin bir kumarcı, kazanma şansı 1/n olan bir oyunu n kere oynarsa, yaklaşık 1/e (%36, 787. . . ) ihtimalle hiçbir seferde kazanamayacaktır. n ne kadar büyükse, hiç kazanmama ihtimali 1/e, ye o kadar yakın olur. � Kumarcının n seferde k kere kazanma olasılığı, binom dağılımına göre aşağıdaki değere eşittir: � � Buna göre, n seferde k = 0 kere kazanma olasılığı, (1 - 1/n)n dir, ve bu ifade, n büyüdükçe 1/e, ye yaklaşır. 14

Şapka Problemi � Bir restorana giren ve girişte şapkalarını vestiyere bırakan n tane müşteri düşünelim. Vestiyer, şapkalara etiket takmayı unutunca hangi şapkanın hangi müşteriye ait olduğunu unutuyor, ve çıkışta şapkasını isteyen her müşteriye rastgele bir şapka seçip veriyor. Bu durumda, n müşteriden hiçbirinin kendi şapkasını almaması olasılığı, aşağıdaki toplama eşittir: � Müşteri sayısı n büyüdükçe, bu toplam 1/e değerine yaklaşacaktır. 15

Leonhard Euler (1707 -1783) Protistan papazı olan babasının isteği üzerine Basel Üniversitesi’nde ilahiyat, İbranice ve Yunanca eğitimi aldı. � Bernoulli müdahale etmeseydi Euler bir papaz olacaktı. Ama Bernoulli, oğlunun büyük bir matematikçi olabilecek yeteneğe sahip olduğunu söyleyerek baba Paul Euler'i ikna etti. � 7 Ocak 1734 tarihinde Academy Gymnasium' dan bir ressamın kızı olan Katharina Gsell ile evlendi. On üç çocukları oldu ve bunlardan sekiz tanesi çocukluk yıllarında hayatını kaybetti. Euler ikinci evliliğini ilk eşinin üvey kız kardeşi ile yaptı. � 16

Euler… � e’nin faydasını, tutarlılığını ve bir sanal sayının üssünü almakta nasıl kullanılacağını Euler formülü ile tanımlamıştır. � Bu formül tüm fonksiyonların, üstel fonksiyonların ya da polinomların varyasyonu olduğu temel analizdeki üstel fonksiyon tanımının merkez rolünü oluşturur. Formül Richard Feynman tarafından "matematikteki en olağanüstü formül" olarak adlandırıldı. Bunun özel bir hali olan Euler özdeşliği: 17

Yararlanılan İnternet Sayfaları � http: //www. wmueller. com/precalculus/e/e. ht ml � http: //www-history. mcs. standrews. ac. uk/Hist. Topics/e. html � http: //www. akademikmatematik. com/kelime/ euler-sayisi � http: //www. jstor. org/stable/2968971 � http: //agutie. homestead. com/files/Eulerformu la. htm 19