Etudes principales lois de probabilit Loi Binomiale probabilit

Etudes principales lois de probabilité Loi Binomiale • probabilité d’une variable aléatoire discrète • modèle : urne avec deux types de boules • effectuer n tirages équiprobables avec remise. • l’urne contient (N 1+N 2) boules dont N 1 sont blanches et N 2 sont noires. • probabilité de tirer une boule blanche B est

Etudes principales lois de probabilité • La probabilité de tirer une boule noire N est • L’univers des éventualités comprend uniquement deux éventualités : = {B, N} • on peut alors construire une V. A.

Loi binomiale : tirage d’une boule • L’univers des éventualités est = {B, N}. On a : • telle que X(B) = 1 avec une probabilité Pr{X = 1} = p • et X(N) = 0 avec une probabilité Pr{X = 0} = q

Loi binomiale : tirage de deux boules avec remise • L’univers des éventualités est = {BB, BN, NB, NN} • X(BB) = 2 avec une probabilité Pr{X = 2} = p² • X(BN) = 1 et X(NB) = 1 avec une probabilité Pr{X = 1} = 2 pq • X(NN) = 0 avec une probabilité Pr{X = 0} = q² • Les valeurs des probabilités sont obtenues par le développement de (p + q)² = 1

Loi binomiale : tirage de trois boules avec remise • L’univers des éventualités est = {BBB, BBN, BNB, NBB, BNN, NBN, NNB, NNN} • X(BBB) = 3 avec une probabilité Pr{X = 3} = p 3 • X(BBN) = 2, X(BNB) = 2, X(NBB) = 2 avec une probabilité Pr{X = 2} = 3 p²q • X(BNN) = 1, X(NBN) = 1, X(NNB) = 1, avec une probabilité Pr{X = 1} = 3 pq² • X(NNN) = 0 avec une probabilité Pr{X = 0} = q 3

Loi binomiale : tirage de quatre boules avec remise • Pour quatre tirages avec remise, les probabilités s’obtiennent par le développement de : • (p+q)4 = p 4 + 4 p 3 q + 6 p²q² + 4 pq 3 + q 4 = 1

Généralisation • on effectue n tirages avec remise (tirage non exhaustif). Les probabilités Pr(X = x), d’obtenir x boules blanches en effectuant n tirages avec remise s’obtiennent par le développement de : • (p+q)n = + +. . . + = 1

Loi binomiale • La probabilité Pr{X = x}, d’obtenir x boules blanches lors de n tirages • avec remise est : Pr {X = x} = • = loi binomiale • Propriétés : E(X) = Var(X) = F(X) = Pr(X x) =

Histogramme et fonction de répartition de la loi binomiale n = 6, p=q=0, 5 x Pr(X=x) 0 : 1 : 2 : 3 : 4 : 5 : 6 : 1(0, 5)0 (0, 5)6 = 1/64 = 0, 016 6(0, 5)1 (0, 5)5 = 6/64 = 0, 094 15(0, 5)2 (0, 5)4 = 15/64 = 0, 234 20(0, 5)3 = 20/64 = 0, 312 15(0, 5)4 (0, 5)2 = 15/64 = 0, 234 6(0, 5)5 (0, 5)1 = 6/64 = 0, 094 1(0, 5)6 (0, 5)0 = 1/64 = 0, 016

Fonction de répartition x x = 0 x = 1 x = 2 x = 3 x = 4 x = 5 x = 6 F(x) = Pr(X x) : 1/64 = 0, 016 : 7/64 = 0, 110 : 22/64 = 0, 344 : 42/64 = 0, 656 : 57/64 = 0, 890 : 63/64 = 0, 984 : 64/64 = 1, 000

0 1 2 3 4 5 6 F(X) = Pr(X x)

Exemple • On considère un test constitué de QCM pour lesquelles cinq réponses sont présentées dont une seule est correcte. Le test comprend n = 6 questions. Quelle est : • - la probabilité d’avoir au moins 4 bonnes réponses en répondant au hasard, soit Pr(X 4) • - la probabilité d’avoir moins de 4 bonnes réponses en répondant au hasard, soit Pr(X < 4) • - l’espérance mathématique E(X) • - la variance Var(X)

Exercice • Solution : En répondant au hasard à chaque question on a 1 chance sur 5 de répondre correctement à la question et 4 chances sur 5 de donner une réponse fausse. • p = 0, 2 d’avoir une réponse juste et une probabilité q = 0, 8 d’avoir une réponse fausse. • Le nombre de tirage est n = 6, le tirage peut être considéré avec remise puisqu’à chaque tirage les probabilités p et q ne changent pas.

Exercice • Donc loi binomiale : avec n = 6, p = 0, 2, q= 0, 8. • X ; Formule de calcul ; Pr(X=x) • • 0: 1: 2: 3: 4: 5: 6: 1(0, 2)0 (0, 8)6 = 0, 262 6(0, 2)1 (0, 8)5 = 0, 393 15(0, 2)2 (0, 8)4 = 0, 245 20(0, 2)3(0, 8)3 = 0, 082 15(0, 2)4 (0, 8)2 = 0, 015 6(0, 2)5 (0, 8)1 = 0, 001 1(0, 2)6 (0, 8)0 = 0, 00006

exercice • La probabilité Pr(X 4) est obtenue en faisant la somme des probabilités suivantes • Pr(X 4) = Pr(X=4) + Pr(X=5) + Pr(X=6) = 0, 015 + 0, 001 + 0, 000006 0, 017 • La probabilité Pr(X < 4) est obtenue en faisant la somme des probabilités suivantes • Pr(X < 4) = Pr(X=0) + Pr(X=1) + Pr(X=2) + Pr(X=3) = 1 - Pr(X 4) = 0, 983

exercice • Espérance mathématique : E(X) = np = 6 * 0, 2 = 1, 2 • Variance : Var(X) = npq = 6 * 0, 2 * 0, 8 = 0, 96

Exercice 2 • Epidémie de méningite à méningocoque • 7 sujets atteints • Purpura Fulminans dans 21% des cas en général • Probabilité d’avoir au moins 1 cas ? • Probabilité d’avoir plus de 3 cas ?

Exercice 2 • • • Soit X le nombre de PF Pr(X = 0) = 1 * 0, 210 * 0, 797 = 0, 192 Pr(X = 1) = 7 * 0, 211 * 0, 796 = 0, 357 Pr(X = 2) = 21 * 0, 212 * 0, 795 = 0, 285 Pr(X = 3) = 35 * 0, 213 * 0, 794 = 0, 126 Pr(X = 4) = 35 * 0, 214 * 0, 793 = 0, 034

Exercice 2 • Pr(X = 5) = 21 * 0, 215 * 0, 792 = 0, 005 • Pr(X = 6) = 7 * 0, 216 * 0, 791 = 0, 0005 • Pr(X = 7) = 1 * 0, 217 * 0, 790 = 0, 00002 • Donc Pr(X >0) = 1 -0, 192 = 0, 808 • Pr(X>2) = 0, 166

Exemple : Essai Th. phase II • Développement médicaments : 4 phases Phase : I / III / IV • Phase II : Étudie l’efficacité thérapeutique (relation effet dose) • Efficacité « pharmacologique » (critère de substitution) : pharmacodynamie • médicament n ’a pas encore fait ses preuves : sécurité max et minimiser nombre de sujets

Exemple : Essai Th. phase II • Principe : • inclusion de n 1 sujets dans la première étape, • puis selon les résultats, ajout ou non d ’une seconde étape avec n 2 sujets. • On considère ici uniquement la première étape qui consiste à arrêter l’étude lorsque le nombre de succès du traitement est insuffisant. • Drogue jugée inefficace si série « longue » de patients sans succès thérapeutique ou sans effet pharmacologique.

Exemple : Essai Th. phase II • Habituellement, rejet d’une molécule si moins de 20% de succès. Donc : urne, p = 0, 2 • rejet de la molècule si n sujets consécutifs sans succès : si n « grand » : indicateur d ’un taux de succès insuffisant (d ’une efficacité insuffisante) • d ’où calcul du nombre de sujets n devant ne pas répondre au traitement justifiant l ’arrêt du développement de la molécule • Choisir un risque de rejeter à tort la molécule : 5%.

Exemple : Essai Th. phase II • • • On sait que : Pr{X = x} = Cxn pxqn-x Pr{X = 0} = C 00 p 0 qn = 0, 8 n < 0, 05 d ’où : n = ln(0, 05)/ln(0, 8) = 13. 42 et Pr(X=0|p=0, 2) = 0, 044. Donc, si 14 sujets sans efficacité, on rejete la molécule, considéré comme ayant un taux de succès inférieur à 0, 20.

Exemple : Essai Th. phase II • Quelques autres valeurs du risque si n<14 : – – n=13, p=0, 055 n=12, p=0, 069 n=11, p=0, 086 n=10, p=0, 107 • Si, parmi 14 sujets, un ou plusieurs sujets répondent, on passe à la deuxième étape de l’étude (non étudiée ici).

Loi de Poisson • C’est la loi des événements rares (événements se produisant peu souvent). • Ceci se traduit par une probabilité p faible (correspond à quelques boules blanches et un grand nombre de boules noires dans une urne). • Cette loi peut se déduire de la loi binomiale. • Définition : une loi de probabilité suit une loi de Poisson si Pr(X=x) =

Loi de Poisson • x est entier, • Exemple : E(X) = Var(X) = np = X=1 l = 0, 6 Pr(X=1) = = 0, 33 • On peut montrer que la loi Binomiale tend vers une loi de Poisson dans certaines conditions lorsque n et p 0 Pr{X = x} =

Densité de probabilité d ’une loi de Poisson

Loi de Poisson • Soit n = 600 • x • • • 0 1 2 3 4 p = 0, 001 ( np = 0, 6 et nq = 0, 4 ) Poisson Binomiale Pr{X = x} = 0, 5488 0, 3292 0, 0987 0, 0197 0, 00296 0, 5486 0, 3295 0, 0988 0, 0197 0, 00295

Loi de Poisson • Applications : • calcul du nombre de patients consultant aux urgences entre 22 et 23 h. • Soit 100 plages horaires • Objectif de plannification

Loi de Poisson • • • Si moyenne = = 3 Pr(X = 0) = 0, 0498 5% des tranches horaires Pr(X = 1) = 0, 1494 Pr(X = 2) = 0, 2240 Pr(X = 3) = 0, 2240 Pr(X = 4) = 0, 1680 Pr(X = 5) = 0, 1008 Pr(X = 6) = 0, 0504 Pr(X > 6) = 0, 0335

Exercice 2 (J. Bouyer) • Dpt Calvados : 600 000 h. et 15 cas par an de K thyroïde. • Proba d’observer 10 nouveaux cas en une année : Pr(X=10) = e-15 1510/10! • Plus long à calculer avec Binomiale