ESTRUTURAS HIPERESTTICAS Prof Pedro S Mtodo dos Esforos

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Deslocamentos em Estruturas Energia Potencial de Deformação: Nas seções transversais das barras de uma estrutura reticulada atuam os esforços N, Vx, Vy, T, Mx e My, . Desprezando as deformações devidas aos esforços cortantes, a energia potencial de deformação acumulada num elemento infinitesimal da barra de área A e comprimento dz (variação da energia) é: Universidade Federal do Espírito Santo

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Deslocamentos em Estruturas Energia Potencial de Deformação: Logo, Universidade Federal do Espírito Santo

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Deslocamentos em Estruturas Teorema de Castigliano: "A derivada parcial da energia potencial de deformação em relação a um esforço qualquer é igual ao deslocamento do ponto de aplicação do esforço na sua direção. " P 1 d 1 P 2 q 1 M 1 Universidade Federal do Espírito Santo

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Deslocamentos em Estruturas Teorema de Castigliano: P 1 d 1 P 2 d. P 1 d 2 d 1 d. P 1 dd 1 P 2 d 2 P 1 dd 1 Introduzindo um incremento d. P 1: P 2 Acrescentando o sistema original: d 2 Universidade Federal do Espírito Santo

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Deslocamentos em Estruturas Teorema de Castigliano: Igualando as duas expressões desprezível Universidade Federal do Espírito Santo

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Deslocamentos em Estruturas Integrais de Mohr: O teorema de Castigliano somente permite determinar o deslocamento do ponto de aplicação de um esforço na sua direção. Para se determinar os deslocamentos de qualquer ponto em qualquer direção pode-se utilizar o seguinte recurso: - aplica-se um esforço virtual no ponto desejado, na direção desejada; - determina-se a energia de deformação do sistema em função deste esforço; - aplica-se o teorema de Castigliano; - e anula-se o esforço virtual. Universidade Federal do Espírito Santo

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Deslocamentos em Estruturas Integrais de Mohr: Seja N, T, Mx e My os esforços internos numa seção, decorrentes de um sistema de esforços externos aplicados em uma estrutura e N, T , Mx, My os esforços internos decorrentes de um esforço virtual unitário aplicado na direção onde se deseja avaliar o deslocamento. onde Ev é o esforço virtual. Universidade Federal do Espírito Santo

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Deslocamentos em Estruturas Integrais de Mohr: As integrais de Mohr constituem o chamado Método da Carga Unitária. Exercícios Universidade Federal do Espírito Santo

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Deslocamentos em Estruturas Teorema da Reciprocidade (Betti-Maxwell): "O trabalho realizado por um esforço, durante o deslocamento do seu ponto de aplicação, devido à ação de outro esforço qualquer é igual ao trabalho realizado pelo segundo esforço, durante o deslocamento do seu ponto de aplicação, devido à ação do primeiro esforço. " P 1 P 2 deslocamento do ponto 1 d 12 d 21 d 22 deslocamento do ponto 2 dij: deslocamento do ponto i provocado pela ação de Pj Universidade Federal do Espírito Santo

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Deslocamentos em Estruturas Teorema da Reciprocidade (Betti-Maxwell): Pelo Princípio da Superposição dos Efeitos, aplicando-se inicialmente P 1 e posteriormente P 2 aplicando-se inicialmente P 2 e posteriormente P 1 d 11 d 21 P 2 d 11 d 12 d 21 d 22 P 2 d 12 d 22 Universidade Federal do Espírito Santo P 1 P 2 d 12 d 22 d 11 d 21

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Deslocamentos em Estruturas Teorema da Reciprocidade (Betti-Maxwell): Igualando os trabalhos realizados nas duas situações de carregamento, (reciprocidade dos trabalhos) P 1 P 2 d 11 d 12 d 21 d 22 Universidade Federal do Espírito Santo P 1 P 2 d 12 d 22 d 11 d 21

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Deslocamentos em Estruturas Teorema da Reciprocidade (Betti-Maxwell): Se P 1 = P 2, (reciprocidade dos deslocamentos) "O deslocamento do ponto 1 devido à ação de um esforço aplicado no ponto 2 é igual ao deslocamento do ponto 2 devido à ação de igual esforço aplicado no ponto 1. " P 2 P 1 1 2 M 1 d d 2 1 2 q q Universidade Federal do Espírito Santo M

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Formulação do Método Seja a viga abaixo representada. O seu grau de hiperestaticidade é: X 1 SP X 1 é o hiperestático, isto é, o esforço incógnito abundante. Universidade Federal do Espírito Santo

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Formulação do Método A Equação de Compatibilidade dos Deslocamentos é: onde d 1 é o deslocamento, na direção de X 1, da seção onde foi retirado o apoio. Usando o PSE, carregamento real = + hiperestático X 1 Universidade Federal do Espírito Santo

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Formulação do Método Para cada um destes carregamentos, a seção onde foi retirado o apoio se deslocará. d 10 carregamento real d 11 X 1 hiperestático d 10 é o deslocamento, na direção de X 1, devido ao carregamento real na viga e d 11 é o deslocamento, na direção de X 1, devido ao hiperestático X 1 = 1. Universidade Federal do Espírito Santo

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Formulação do Método Assim, Os deslocamentos d 10 e d 11 são determinados pelo Método da Carga Unitária. Os demais esforços incógnitos (reações de apoio e esforços internos) são, então, calculados pela Equações de Equilíbrio da Estática aplicáveis. Universidade Federal do Espírito Santo

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Formulação do Método Usando o SP abaixo, a equação de compatibilidade dos deslocamentos será: ou X 1 SP onde d 1 e é o deslocamento angular, na direção de X 1, da seção onde foi introduzida a rótula, na parte esquerda e d 1 d é o deslocamento angular, na direção de X 1, da seção onde foi introduzida a rótula, na parte direita. Universidade Federal do Espírito Santo

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Formulação do Método Usando o PSE, carregamento real X 1 + = X 1 hiperestático Deslocamentos no SP: d 10 e d 10 d carregamento real d 10 e – d 10 d é o deslocamento, na direção de X 1, devido ao carregamento real e d 11 e – d 11 d é o deslocamento, na direção de X 1, devido ao hiperestático X 1 = 1. d 11 e. X 1 d 11 d. X 1 Universidade Federal do Espírito Santo hiperestático

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Formulação do Método Logo, onde Os deslocamentos d 10, e d 11 são determinados pelo Método da Carga Unitária. Esta formulação é a base do processo denominado Equação dos Três Momentos, aplicável a vigas contínuas. Os demais esforços incógnitos (reações de apoio e esforços internos) são , então, calculados pela Equações de Equilíbrio da Estática aplicáveis. Universidade Federal do Espírito Santo

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Formulação do Método Seja o pórtico abaixo representado. O seu grau de hiperestaticidade é: Vy M M x x X 2 X X 3 3 N N Vy X 1 X 1 X 2 SP Universidade Federal do Espírito Santo X 1 = N, X 2 = Vy, X 3 = Mx são os hiperestáticos.

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Formulação do Método As Equações de Compatibilidade dos Deslocamentos são: ou ou X 2 X X 3 3 X 1 X 2 ou onde SP die é o deslocamento, na direção de Xi, da seção cortada, na parte esquerda e did é o deslocamento, na direção de Xi, da seção cortada, na parte direita. d 1 e, d 1 d, d 2 e e d 2 d são deslocamentos lineares enquanto d 3 e e d 3 d são deslocamentos angulares Universidade Federal do Espírito Santo

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Formulação do Método Usando o PSE, X 2 X X 3 3 X 1 X 2 + = (a) X 1 (b) + X 2 (c) (a): SP submetido ao carregamento real da estrutura hiperestática; (b): SP submetido ao hiperestático X 1; (c): SP submetido ao hiperestático X 2; (d): SP submetido ao hiperestático X 3. Universidade Federal do Espírito Santo + X 3 (d)

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Formulação do Método Para cada um destes carregamentos a seção cortada se deslocará, à esquerda e à direita. di 0 e – di 0 d é d 20 e d 30 e d 10 d d 20 d Y Z SG X deslocamento da seção cortada, na direção de Xi, devido ao carregamento real; dije – dijd é d 2 je. Xj d 3 je. Xj d d 1 je. Xj d 1 jd. Xj d 2 j Xj Y Z SG X Universidade Federal do Espírito Santo deslocamento da seção cortada, na direção de Xi, devido ao hiperestático Xj = 1.

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Formulação do Método A equação geral de compatibilidade de deslocamentos é ou onde g é o grau de hiperestaticidade da estrutura. Assim, para o pórtico plano do exemplo, tem-se o seguinte sistema de equações lineares: onde Os deslocamentos di 0, e dij são determinados pelo Método da Carga Unitária. Universidade Federal do Espírito Santo

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Formulação do Método Determinação de Deslocamentos: Como o SP equivale à estrutura hiperestática, estática e geometricamente, os deslocamentos dos pontos das seções desta estrutura são exatamente os mesmos verificados no SP. Logo, após conhecidos os hiperestáticos, pelo Método dos Esforços, pode-se determinar qualquer deslocamento em qualquer seção da estrutura hiperestática, pelo Método da Carga Unitária, na seção equivalente no SP. d=? X 1 Exercícios Universidade Federal do Espírito Santo d

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Formulação do Método Equação dos Três Momentos: O processo denominado Equação dos Três Momentos é aplicável a vigas contínuas. Advém do Método dos Esforços, tomando-se, como SP, a viga isostática derivada da viga contínua dada por introdução de rótulas sobre os apoios intermediários. M 1 M 5 L 1 R 1 M 1 L 2 L 4 R 2 R 3 R 4 X 1=M 2 X 2=M 3 X 3=M 4 L 1 R 1 L 3 L 2 R 2 L 3 R 3 viga contínua R 5 M 5 L 4 R 5 Universidade Federal do Espírito Santo SP g = n-2, onde n é o número de apoios da viga.

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Formulação do Método Equação dos Três Momentos: O SP é um conjunto de vigas biapoiadas submetidas ao carregamento real e aos hiperestáticos Xi=Mi+1. As equações de compatibilidade dos deslocamentos serão ou onde i = 1, n-2. Como todos os hiperestáticos são momentos fletores, os deslocamentos são rotações. Assim, ou Universidade Federal do Espírito Santo

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Formulação do Método Equação dos Três Momentos: i = 1, n-2. Desenvolvendo as equações acima: . . . . . . . . . Universidade Federal do Espírito Santo

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Formulação do Método Equação dos Três Momentos: As rotações à esquerda e à direita do nó j são determinadas como indicado abaixo. Mi-1 Mi Mi Li-1 Mi+1 Li Mi Mi Mi+1 Assim, a equação acima se resume a (Equação dos Três Momentos) Universidade Federal do Espírito Santo

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Formulação do Método Equação dos Três Momentos: rotações, no SP, à esquerda e à direita do nó i, respectivamente, devidas ao carregamento real. Mi-1=1 rotação, no SP, à esquerda do nó i, devida a Mi-1=1. rotações, no SP, à esquerda e à direita do nó i, respectivamente, devidas a Mi=1. Li Li-1 Mi=1 Li-1 rotação, no SP, à direita do nó i, devida a Mi+1=1. Universidade Federal do Espírito Santo Li Li Mi+1=1

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Formulação do Método Equação dos Três Momentos: Resolvendo pelo Método da Carga Unitária ou por qualquer outro método (integração da linha elástica ou Analogia de Mohr): Convenção de Sinais: Assim, a equação fica: ou A cada apoio interno corresponde uma equação. Universidade Federal do Espírito Santo

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Formulação do Método Equação dos Três Momentos: Observações: a) Utilizando os valores absolutos das rotações devidas ao carregamento real, a equação fica: b) Caso as rotações sejam calculadas pela Analogia de Mohr, corresponderão às reações nos apoios da viga conjugada. A equação, então, fica: . Universidade Federal do Espírito Santo

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Formulação do Método Equação dos Três Momentos: Observações: c) Se a rigidez EIx for constante, a equação se simplifica: ou d) Caso haja um balanço, pode-se reduzir as cargas no balanço ao apoio correspondente. V 3 d M 1 L 1 R 1 L 2 R 2 M 3 L 1 L 3 R 1 Universidade Federal do Espírito Santo L 2 R 3

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Formulação do Método Equação dos Três Momentos: Observações: e) Caso haja um engaste em alguma extremidade, haverá mais uma incógnita (o momento fletor no engaste) e a equação de compatibilidade de deslocamentos correspondente será para engaste no primeiro apoio ou para engaste no último apoio. Estas expressões podem ser obtidas da equação geral, considerando no primeiro caso, e no segundo. Universidade Federal do Espírito Santo

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS Prof. Pedro Sá Método dos Esforços Formulação do Método Fim do Capítulo Universidade Federal do Espírito Santo